高考数学复习研讨会发言材料高考函数复习doc.docx
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高考数学复习研讨会发言材料高考函数复习doc
解读•分析•展望
……谈高考函数复习
函数是高中数学的主干知识,数列、三角、解析几何、立体几何等都可以与函数建立联系,要么I韦I绕函数这一主线展开,要么可化归为函数问题.对函数内容的考查是数学高考中考杳能力的重要手段,新课标清晰地阐述了函数的重要地位和广泛应用,并强调了它的基础性和工具性,是中学数学的核心组成部分.从历年我省的高考试题來看,涉及函数的试题不仅强调函数本质属性的考查,也注重函数的工具性,既有小巧灵活的容易题,也有新颖别致的中等题,更冇内涵丰富的压轴题,解决方法和手段也一改以往的单一,与数学思想方法紧密相结合(尤其是函数与方程思想,数形结合思想,分类讨论思想),其屮的不少问题的解决对考牛■有较高的能力要求.
一、浙江省高考考试说切解读(函数部分)
根据2012版的《浙江省普通高屮学科教学指导意见》和《浙江省普通高屮高考考试说明》,函数的主要考查内容可概括如下:
1.理解函数的概念,会求一些简单的函数定义域和值域;2.理解函数的奇偶性和单调性,会判断函数的奇偶性,会讨论和证明函数的单调性;3.理解指数函数、对数函数和幕函数的概念、图象和性质,并学会运用函数图象理解、研究函数的性质;4.了解函数零点的概念,理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法;5.认识不同函数模型的增长差杲,并了解函数模型在解决实际问题中的作川;6.关注思想方法的渗透,如数形结合、分类讨论、化归等思想方法.
二、近期各地市期末、一模以及参考卷试题(函数部分)分析
1.各地市期末、一模试题(函数部分)
/1Y
1(温州一模)设函数fM=\|^2),X~°,贝'J/(-2)=;使f(a)<0的实数a的
log2>0
取值范围是•
2(丽水一模)定义在实数集R上的奇函数/(x),对任意实数x都有
333
r(?
+x)=r(?
_兀),且满足/
(1)>_2,/
(2)=^--,则实数〃?
的収值范用是()
44m
A.-lv加v3B.0
vTD.加>3或加v-1
f(x^y<7
3(台州期末)已知函数/G)=-F-x+a,g(x)=q''一,且函数/(x-l)+2,x〉2
y=gM-ax恰有三个不同的零点,则实数a的収值范围为・
4(湖州期末)己知二次函数/(x)=x'+bx+c(b,ceR).
(I)/(-l)=/
(2),且不等式x(x)<2|x-l|+l对兀w[0,2]恒成立,求函数/(x)的解析式;
(II)cvO,且函数/(x)在[-1,1]上有两个零点,求2b+c的収值范围.
5(嘉兴一模)设二次函数fW=cix1+bx+c(a,beR)满足条件:
①当xw/?
时,/(x)的最人值为(),且f(x-l)=f(3-x)成立;②二次函数/(x)的图象与肓线y=-2交于力、B两点,且\AB|=4.(I)求/(x)的解析式;(II)求最小的实数使得存在实数/,只要当xg[h,-1]时,就W/(x+r)>2x成立.
2.参考卷中函数部分的试题
12.若函数/(x)(xeR)是奇函数,则()
A./(”)是奇两数B・[/(x)]2是奇函数C.f(x)-x2是奇函数D/CO+X是奇函数
x?
+xr 211・设函数f(x)=\,“’则/(/(I))=;方程/(/■(X))=1的解 一厂x$0・ ■ 是. 32().已知二次函数/(x)=ax'+hx+c(a>0),方程/(兀)・x=()的两个根x},兀2满足 0 a (II)设函数/(x)的图象关于直线x=x0对称,证 2 从以上试题的考查内容和形式來看,高中函数重点关注的仍然是对函数性质的考查, 而作为具体的考查载体,二次函数的地位和作用相对丁内容调整Z前来说有增无减,考查方式的多向性和难度都会得到淋漓尽致的体现.同时,就思想方法的题型来说,数形结介和恒成立或存在性问题始终占据着函数最难最重要的位置。 可以说内容调整后,作为主T知识之一的函数所占比例显然会有所增加,而口随着导数内容的退出,涉及函数部分的考查会更加强调函数的本质. 三、函数部分命题展望 从历年的高考试题來看,函数作为高中数学的垄础知识,在数学的其他分支中冇着极其广泛的应用,所以函数一肓是高考屮主干题型和热点内容.对于函数性质及基本初等函数的考查,在的浙江省高考数学试卷中,试题形式将在选样题、填空题以及解答题小都会有所体现,其命题的重点主要有两个方而,一是考查函数的概念、图象、性质或者是儿个方而的综合;二是考查交汇性问题,主耍是幕函数、指数函数、对数函数知识块间的交汇,或与抽彖函数、复合函数、函数零点、数列、不等式、三角等知识交汇來考查.总的來说,函数的考杳可以归纳为: 一式两域四性质(内容),二次双勾绝对值(模型),数形结合百般好(方法),范围存在恒成立(题型).那么,二轮复习过程中,函数部分我们在教学中可以做哪些工作,我们应该如何突破考查中的重难点? 1.一道例题对函数复习教学的启示 例1.设抛物线尹=/+加X+2与线段AB有两个相界交点,端点他标为A(0,1),B(2,3),求m的取值范围. 分析: 此题对我们来说,很口然会想到连列方程组,消元转化为二次函数零点分布问题,但学牛是否这么考虑? 生一: 画出抛物线f(x)=x2+mx+2与线段AB: g(x)=x-^\(0 m 0<-—<2 2 丿>g(0) 可知f (2)>g (2) -4 2>1 、3 2 1+后或m<1-V5 <1-75(tn误,不完整) 2 生二联列方程组,消元,得到x2+(m-i)x+l=0 0 2解得,一三<加<一1,这才是正确答案. <>g(Q)2 f(v>叫) J>0 主三: 既然消元得到F+(加一1丿兀+1=0, 转化为一元二次方程严+伽_1丿兀+1二0在区间[0,2]上有两个不等实根, 亦即二次函数f(x)=x2+(m-\)x+1在区间[0,2]上有两个零点 />0 0<-— 结合图像有2 f(0)>0 fa)>o 解得一- 牛•四: 既然求m的范围,何不分离参数m? 兀=0时,1=0,不合舍去,兀工0时,m--(x+丄丿+1 =x+-即直线y=l-m与双勾函数y=x+丄图像冇两个交点XX 由图,尹=兀+丄在[0,1吐递减,在[1,2]±递增, X 553 生五: 只需稍微进行一点变化,还是町以川线段和抛物线的交点问题來解 决。 只要合理的改变变最的位置即可. 解法四: x2+(m-l)x-^-l=O 口J转化为x24-1=(\-m)x 即为抛物线y=x2+\和宜线y二(\-m)x在闭区间[0,2]上有两个交点, 结合图像,易得k0A<\-m 3 2 教学反思: (1)在课堂教学小我们应该关注师牛思维的差异性,只有真正了解学牛的所 思所想,并在此基础上加以巩固提高,这样的教学对■学生才是有效的; (2)关于函数复习,在教 学过程中我们应该始终关注以下几个方而: ①等价转化的重耍性;②数形结合的必要性;③ 二次函数的普遍性;④双勾函数的简洁性;⑤与不等式的关联性. 2•立足根木,玩转二次函数 二次函数是高屮数学学习永恒的主题,考查方式的多向性和难度也必将有所增加,常与 绝对值、恒成立存在性问题放在一起,考査对函数性质的学握程度. 例2 (1)二次函数f(x)=x2+ax+b,当xw[o,l]时,yw[0,l],求的值. (2) /(oro,解得 L/O)=l 已知不等式05x2+ax+b<\的解集为[0,1],求的值. ①当一£<0,即ano时,函数/⑴在[0」]上单调递增,可得 a=-2 b=\ 2 ②当一£>1,即时,函数/Xx)在[0,1]上单调递减,可得q 2 ③当0<-纟V丄,即一1VQV0吋, 22 ④当丄纟VI,即一2vqW—1时,’2~2 /(I)=1 a,解得/(--)=<) /(0)=1 解得 空)" 爲或 (7=0 —(舍去) a=±2(舍去) b=\ 综上, a=-2 b=l 对于问题 (1)的思考,其实没有多少技巧可言,主要考查学生分类讨论的完整性与题意转化的等价性,,但是就是这样的题FI,平时教学过程中应该重点关注,町以说这种最本质的考查是函数学习中非常重耍的要求. 很多学生都会将问题 (2)转化为第一个问题,其实两个问题完全不同,其实两个问题并不同。 问题⑵的常规思路有: 解法1: (不等式思想)由题意得,不等式组 x2+ax+bnoz/,fr1 。 的解集为[0」] +ax+/? W0 分4b>0与a2-4b<0讨论当a2-4b>0\\寸,不合题意,舍去。 当a2-^h<0时,不等式x2^ax+b>0恒成立,只需不等式x2+ax^b<1解为 0 这种思路比较符合学生已有知识基础,立足根本,非常口然,也很实效. 解法2: (方程思想)要使不等式+1的解集为[0,1], 0,1必为方程/+0¥+/? =0或/+血+/? =1的根 (1)若0,1均为方程x2+ax+h=0的根,易得d=_i,b=0,代入检验不合适,舍去. (2)若0,1都为方程/+Q+b—l=0的根,易得a=—l,b=l,经检验,符合题意. (3)若0为方程X? +ax+b二0的根,1为方程X? +ax+/? -l二0的根则tz=0,Z? =0, 代入检验,不合舍去 ⑷若0为方程x2+67x+A-1=0的根,1为方程x2+ax-^b=0的根,则a=_2,b=l, 亦不合,舍去 综上, 这种思路比较准确地理解了不等式与方程的联系,并且能注意到根的校验问题,运算 能力扎实可靠. 解法3: (函数思想)此题即求函数.徊=兀2+QX+b的图像夹在肓线尹=0与y=iz T•: 间的交点位置问题,如图,若与两条肓线都有交点,则解集为氐兀3心卜2,兀],要使解集为[0,1],如图,只能x2-^ax+b=0中A<0,\Lx2+ax+h=\两根为x=0,x=1,由韦达定理可得,a=-l,b=1 (或者也可以结合图像得到,对称轴为x=-,且/(0)=/⑴=1) 显然,三个“二次问题”的内在联系及以形助数的思想不可忽视,这是函数学习过程 中不町或缺的数学思想,在课堂教学中,应该引导学生全面理解和掌握三个二次问题”的内 在联系,并加强以函数为核心的思想方法的灵活应川,这样不管遇到怎样的二次函数问题,学工在解决这类问题的过程小将会变得游刃行余. 例3(2014年浙江省数学竞赛第18)已知人胆乩二次函数./(x)=x2+bx+c在(0,1)上与 x轴有两个不同的交点,求c2+(lW的収值范围. /(0)>0 / (1)>0 r(丄)>0,可以得到< 2 0<--<1 2 此题如果按常规的实根分布来处理,所求涉及非线性规划以及双变量问题,非常麻烦: c>0 1严+c>0,如何求圧+“+眺的范围,儿何意义很难找至lj。 h2-4c>0 -2 鮫好的解法有: /(0)>0 / (1)>0 心)>0,可以得到・ 2 o 2 Oo l+b+c>0 b• /(--)>0>0 2 -2 c2+(1+b)c=c(l+b+c)二,/(0)/(l)(O)—/(一£)].[/(O)-/(-£)二占伊+2b)2 然后只需求h2+2b的范围即可,比较容易,但整个放缩消元过程还是有一定的技巧性,不是很容易能发现. 若能关注“两根”这个要素,利用零点式处理,则非常轻松. 设/(X)=0的两个根X],X2,且0 )(x-x2),所以有 c'+(l+h)c=c(}+ft+c)=/(O)/(l)=(0-xi)(0-X2)(l-xi)(l-x2)=xix2(l-xi)(l-x2)<丄 16 在解决函数与不等式问题时,要充分挖掘函数的零点与方程根之间的关系,在处理这类问题时常常会用到一下儿种方法: 函数性质法、分离参数法、主参换位法、数形结合法等。 而木题中采用的笫三种方法,利用两根式处理问题的方式与参考卷中的最后一题函数如出一辙. 当然在理解和掌握三个二次问题的革础上,我们还需关注二次函数与绝对值结合在一起的综合性问题. 例4.E1知函数f(x)=x2-1,g(x)=ax-]\ (I)若|/(x)|=g(x)只有一个实根,求Q的范围; (II)若当xgR,y(x)>g(x)恒成立,求a的范围; (III)求A(x)=|/(x)|+g(x)在[-2,2]上的最人值. 本题涉及到一次函数、二次函数、绝对值问题、零点判断、恒成立问题参数取值范围的求解,综合性较强,对学生分类讨论思、想、零界点的选取、数形结合思想的运川等方面能力有较深入的考杳。 近期各地市的模拟卷屮都冇涉及到这方面的题型,可以说二轮复习屮应该重点关注此类题目的分析和讲解. 此题中第(I)、(II)问重点考察了函数图象的灵活应用,对于第(III)问,可做如下分析: (Ill)可化为 ° —cix+a—1厂25兀v—1 h(x)=<-x2-ax+a+1,-1 x2+ax-a-\,\ 解法1: (分类讨论)学生一般会考虑q与-4-3-2,0,2比较,需要分六段讨论,每一段分别需耍结合图像求解,对数形结合意识的考查耍求比鮫高•对操作起来确实有点困难,而月•就算考虑全了,真正把它写全也是很不容易的. 解法2: (立足于绝对值的实质)若能合理的选取突破口,可以得到较人的简化: 再次应用端点效应,比较/(-1),/ (1),/(-2),/ (2)大小即可;当然其间也要结合图像,并考虑/(--)的情况•具体如下 ・・・/ (1)=0,/(-1)=2a,/ (2)=a+3,/(-2)=3。 +3 (1)当a>0,则/(-2)=3a+3最大 (2)当avO,只需比较/⑴-与/ (2) .•・av—3时,/(I)=0最大
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