115函数展开成幂级数.docx
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115函数展开成幂级数
§11.5函数展开成幂级数
一、泰勒级数
如果在处具有任意阶的导数,我们把级数
(1)
称之为函数在处的泰勒级数。
它的前项部分和用记之,且
这里:
由上册中介绍的泰勒中值定理,有
当然,这里是拉格朗日余项,且
。
由有
。
因此,当时,函数的泰勒级数
就是它的另一种精确的表达式。
即
这时,我们称函数在处可展开成泰勒级数。
特别地,当时,
这时,我们称函数可展开成麦克劳林级数。
将函数在处展开成泰勒级数,可通过变量替换,化归为函数在处的麦克劳林展开。
因此,我们着重讨论函数的麦克劳林展开。
【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。
证明:
设在的某邻域内可展开成的幂级数
据幂级数在收敛区间内可逐项求导,有
把代入上式,有
从而
于是,函数在处的幂级数展开式其形式为
这就是函数的麦克劳林展开式。
这表明,函数在处的幂级数展开形式只有麦克劳林展开式这一种形式。
二、函数展开成幂级数
1、直接展开法
将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行
求出函数的各阶导数及函数值
若函数的某阶导数不存在,则函数不能展开;
写出麦克劳林级数
并求其收敛半径。
考察当时,拉格朗日余项
当时,是否趋向于零。
若,则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式;
若,则函数无法展开成麦克劳林级数。
【例1】将函数展开成麦克劳林级数。
解:
于是得麦克劳林级数
而
故
对于任意,有
这里是与无关的有限数,考虑辅助幂级数
的敛散性。
由比值法有
故辅助级数收敛,从而一般项趋向于零,即
因此,故
【例2】将函数在处展开成幂级数。
解:
于是得幂级数
容易求出,它的收敛半径为
对任意的,有
由例一可知,,故
因此,我们得到展开式
2、间接展开法
利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质(如:
加减,逐项求导,逐项求积)将所给函数展开。
【例3】将函数展开成的幂级数。
解:
对展开式
两边关于逐项求导,得
【例4】将函数展开成的幂级数。
解:
而
将上式从到逐项积分得
当时,交错级数
收敛。
故
下面,我们介绍十分重要牛顿二项展开式
【例5】将函数展开成的幂级数,其中为任意实数。
解:
于是得到幂级数
因此,对任意实数,幂级数在内收敛。
下面,我们证明,该幂级数收敛的和函数就是函数。
设上述幂级数在内的和函数为,即
两边同乘以因子,有
即
引入辅助函数
因此,在内,我们有展开式
注记
在区间端点处的敛散性,要看实数的取值而定,这里,我们不作进一步地介绍。
若引入广义组合记号,牛顿二项展开式可简记成
最后,我们举一个将函数展开成的幂级数形式的例子。
【例6】将函数展开成的幂级数。
解:
作变量替换,则,有
而
于是
作业:
P223习题11—4
2(3)(4)(5)、3
(1)、5、6
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