861 直线与直线垂直解析版.docx
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861直线与直线垂直解析版
8.6.1直线与直线垂直
导学案
编写:
廖云波初审:
谭光垠终审:
谭光垠廖云波
【学习目标】
1.了解空间中两条直线的三种位置关系,理解异面直线的定义,会用平面衬托来画异面直线.
2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角,会在直角三角形中求简单异面直线所成的角
【自主学习】
知识点1异面直线所成的角
(1)定义:
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围:
0°<θ≤90°.
(3)当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b.
【合作探究】
探究一异面直线所成的角
【例1】如图,已知正方体ABCDA′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直?
[解]
(1)由异面直线的定义可知,棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
(2)由BB′∥CC′可知,∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角,∠B′BA′=45°,所以直线BA′和CC′的夹角为45°.
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.
归纳总结:
“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性,即过空间任一点,作两条直线分别平行于两条异面直线,它们所成的锐角(或直角)都是相等的,而与所取点的位置无关.
【练习1】如图,已知在长方体ABCDA′B′C′D′中,AB=2
,AD=2
,AA′=2.
(1)BC和A′C′所成的角是多少度?
(2)AA′和BC′所成的角是多少度?
[解]
(1)因为BC∥B′C′,所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中,A′B′=2
,B′C′=2
,所以∠B′C′A′=45°.
(2)因为AA′∥BB′,所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.
在Rt△BB′C′中,B′C′=AD=2
,BB′=AA′=2,
所以BC′=4,∠B′BC′=60°.
因此,异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
探究二直线与直线垂直的证明
【例2】如图所示,正方体AC1中,E、F分别是A1B1、B1C1的中点,求证:
DB1⊥EF.
[解] 法一:
如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.
则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
∴DB1⊥EF.
法二:
如图所示,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,
则HE
DB1.于是∠HEF为所求
异面直线DB1与EF所成的角或其补角.连接HF,设AA1=1,
则EF=
,HE=
,
取A1D1的中点I,连接HI,IF,
则HI⊥IF.
∴HF2=HI2+IF2=
.
∴HF2=EF2+HE2.∴∠HEF=90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
∴DB1⊥EF.
归纳总结:
证明两条异面直线垂直的步骤
(1)恰当选点,用平移法构造出一个相交角.
(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角).
(3)把相交角放在平面图形中,一般是放在三角形中,通过解三角形求出所构造的角的度数.
(4)给出结论:
若求出的平面角为直角,垂直得证.
【练习2】空间四边形ABCD,E,F,G分别是BC,AD,DC的中点,FG=2,GE=
,EF=3.
求证:
AC⊥BD.
[证明] ∵点G,E分别是CD,BC的中点,
∴GE∥BD,同理GF∥AC.
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角.
在△EFG中,∵FG=2,GE=
,EF=3,
满足FG2+GE2=EF2,
∴∠FGE=90°.
即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
课后作业
A组基础题
一、选择题
1.已知直线a,b,c,下列三个命题:
①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;
②若a∥b,a和c相交,则b和c也相交;
③若a⊥b,a⊥c,则b∥c.
其中,正确命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
【答案】A
[①不正确如图;②不正确,有可能相交也有可能异面;③不正确.可能平行,可能相交也可能异面.]
2.如图正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成角为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
【答案】C
[连接BC1、A1C1(图略),∵BC1∥AD1,∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.
在△A1BC1中,A1B=BC1=A1C1,∴∠A1BC1=60°.
故异面直线A1B与AD1所成角为60°.]
3.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE,B1C1是异面直线
D.AE与B1C1所成的角为60°
【答案】C
[由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.综上所述,故选C.]
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,面对角线中与AD1成60°的有( )
A.4条B.6条
C.8条D.10条
【答案】C
[如图所示在正方体ABCDA1B1C1D1中,△AD1B1是等边三角形,故B1D1,AB1与AD1所成的角是60°,同理△ACD1也是等边三角形,AC,CD1与AD1也成60°角,则在面对角线中,与AC,CD1,B1D1,AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角.]
5.在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=
BB1,则AB1与BC1所成的角的大小是( )
A.60°B.75°
C.90°D.105°
【答案】C
[设BB1=1,如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,连接B1C2,则B1C2∥BC1,所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).连接AC2,因为AB1=
,B1C2=
,AC2=
,所以AC
=AB
+B1C
,则∠AB1C2=90°.]
二、填空题
6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.
【答案】90°
[如图,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).
设正方体的棱长为a,则A1M=
a,ME=
a,A1E=
a,
所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,则异面直线A1M与DN所成的角为90°.]
7.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN等于________.
【答案】5
[取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角,∴∠MPN=90°,PN=
AC=4,PM=
BD=3,∴MN=5.]
8.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________.
【答案】①③
[把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.]
三、解答题
9.如图所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD
的中点,求EF和AB所成的角.
[解] 如图所示,取BD的中点G,连接EG,FG.
∵E,F分别为BC,AD的中点,AB=CD,
∴EG∥CD,GF∥AB,且EG=
CD,GF=
AB.
∴∠GFE就是EF与AB所成的角,EG=GF.
∵AB⊥CD,∴EG⊥GF.∴∠EGF=90°.
∴△EFG为等腰直角三角形.
∴∠GFE=45°,即EF与AB所成的角为45°.
10.如图,已知长方体ABCDA1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点.求证:
CD1⊥EF.
[解] 取CD1的中点G,连接EG,DG,
∵E是BD1的中点,
∴EG∥BC,EG=
BC.
∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,
∴DF∥BC,DF=
BC,
∴EG∥DF,EG=DF,
∴四边形EFDG是平行四边形,
∴EF∥DG,
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A=AB,
∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形.
且G为CD1的中点,∴DG⊥CD1.∴∠D1GD=90°,
∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.
∴CD1⊥EF.
B组能力提升
一、选择题
1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A.0°<θ<60°B.0°≤θ<60°
C.0°≤θ≤60°D.0°<θ≤60°
【答案】D
[如图,连接CD1,AC,因为CD1∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即θ=∠D1CP.当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP∥BA1,与CP与BA1为异面直线矛盾,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.]
2.(多选题)如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,则EF与AB所成角的大小可以是( )
A.15°B.30°
C.60°D.75°
【答案】AD
[取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,且EG=
AB,FG∥CD,且FG=
CD,由AB=CD知EG=FG.
易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°.
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;
当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.]
二、填空题
3.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,则异面直线EF与B1D1所成的角为________.
【答案】60°
[连接BC1,AD1,AB1,
则EF为△BCC1的中位线,
∴EF∥BC1.
又∵AB
CD
C1D1,
∴四边形ABC1D1为平行四边形.
∴BC1∥AD1,∴EF∥AD1.
∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角.
在△AB1D1中,易知AB1=B1D1=AD1,
∴△AB1D1为正三角形,∴∠AD1B1=60°.
∴EF与B1D1所成的角为60°.]
三、解答题
4.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2
,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长.
[解] 连接CD1,AC.由题意得四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,
∴A1B∥CD1,
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°,
∴∠AD1C=90°.
∵四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2
,
∴△ACD1是等腰直角三角形,∴AD1=
AC.
∵底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2
,∠ABC=120°,
∴AC=2
×sin60°×2=6,AD1=
AC=3
,
∴AA1=
=
=
.
5.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?
最大面积是多少?
[解] ∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.
设AE∶AB=x,则
=
=x.又BC=a,∴EF=ax.
由
=
=1-x,得EH=a(1-x).
∴S四边形EFGH=EF×EH×sin60°=ax×a(1-x)×
=
a2(-x2+x)=
a2-x-
2+
.
当x=
时,S最大值=
a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为
a2.
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