一元二次方程.docx
- 文档编号:5501903
- 上传时间:2022-12-17
- 格式:DOCX
- 页数:9
- 大小:61.67KB
一元二次方程.docx
《一元二次方程.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一元二次方程.docx(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
一元二次方程
一元二次方程
只含有一个未知数,并且未知数的最高指数幂是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有4种解法,即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
直接开平方法可以解所有的一元二次方程,公式法不能解没有实数根的方程(也就是b²-4ac<0的方程)。
因式分解法,必须要把等号右边化为0。
配方法比较简单:
首先将方程二次项系数a化为1,然后把常数项移到等号的右边,最后后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方。
早在公元前2000年左右,古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了
1满足条件
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,这点请注意!
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数是2。
[1]
2方程形式
一般式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的形式。
这种形式叫一元二次方程的一般形式。
一次项系数b和常数项c可取任意实数,而二次项系数a必须是不等于0的实数。
要先确定二次项系数,再确定一次项系数和常数项,必须先把一元二次方程化成一般形式。
[2]
变形式
(a、b是实数,a≠0);
(a、c是实数,a≠0);
(a是实数,a≠0).
注:
a≠0这个条件十分重要.
配方式
两根式
3求解方法
开平方法
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
如果方程化成
的形式,那么可得
。
如果方程能化成
(p≥0)的形式,那么
,进而得出方程的根。
注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
配方法
步骤
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法。
用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为一般形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是非负数,即可进一步通过直接开平方法求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解。
配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²
配方法的关键是:
先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
举例
例一:
用配方法解方程3x2-4x-2=0
解:
将常数项移到方程右边3x2-4x=2
将二次项系数化为1:
方程两边都加上一次项系数一半的平方:
配方:
直接开平方得:
∴
,
.
∴原方程的解为
,
.
求根公式法
步骤
用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式
,确定a,b,c的值(注意符号);
②求出判别式
的值,判断根的情况;
③在
的前提下,把a、b、c的值代入公式
进行计算,求出方程的根。
推导过程
一元二次方程的求根公式导出过程如下:
(为了配方,两边各加)
(化简得)。
一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。
一元二次方程中的判别式
根号下b²-4ac
应该理解为“如果存在的话,两个自乘后为的数当中任何一个”。
在某些数域中,有些数值没有平方根。
推导过程2
一元二次方程的求根公式导出过程如下:
a的取值范围任意,c取值范围任意,b=(a+1)√c。
从abc的取值来看可出1亿道方程以上,与因式分解相符合。
因式分解法
因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原
图解法
方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题(数学化归思想)。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。
[1]
图像解法
一元二次方程
的根的几何意义是二次函数
的图像(为一条抛物线)与x轴交点的X坐标。
当
时,则该函数与x轴
图解法
相交(有两个交点);当
时,则该函数与x轴相切(有且仅有一个交点);当
时则该函数与x轴相离(没有交点)。
另外一种解法是把一元二次方程
化为:
的形式。
则方程的根,就是函数和
交点的X坐标。
通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。
计算机法
在使用计算机解一元二次方程时,和人手工计算类似,大部分情况下也是根据下面的公式去解
可以进行符号运算的程序,比如软件Mathematica,可以给出根的解析表达式,而大部分程序则只会给出数值解(但亦有部分显示平方根及虚数)。
5方程解
含义
(1)一元二次方程的解(根)的意义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。
一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)。
(2)一元二次方程一定且最多有两个解,也有可能没有解,那就要看判别式(△=b²—4ac)
判别式
利用一元二次方程根的判别式(
)可以判断方程的根的情况。
一元二次方程
的根与根的判别式 有如下关系:
①当
时,方程有两个不相等的实数根;
②当
时,方程有两个相等的实数根;
③当
时,方程无实数根,有2个不相等的虚数根。
上述结论反过来也成立。
根与系数的关系
一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系:
(也称韦达定理)。
由韦达定理可得,当方程的两根为x1=p,x2=q时,方程为:
a[x2-(p+q)x+pq]=0(其中
)
5历史发展
公元前2000年左右,古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。
他们是这样描述的:
已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数,求出这个数。
他们使x1+x2=b,x1x2=1,x2-bx+1=0,再做出解答。
可见,古巴比伦人已知道一元二次方程的解法,但他们当时并不接受负数,所以负根是略而不提的。
古埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如:
ax2=b。
大约公元前480年,中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。
《九章算术》勾股章中的第二十题,是通过求相当于x2+34x+71000=0的正根而解决的。
中国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
公元前300年左右,古希腊的欧几里得(Euclid)(约前330年~前275年)提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。
古希腊的丢番图(Diophantus)(246~330)在解一元二次方程的过程中,却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一。
公元628年,印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)(约598~约660)出版了《婆罗摩修正体系》,得到了一元二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。
公元820年,阿拉伯的阿尔·花剌子模(al-Khwārizmi)(780~810)出版了《代数学》。
书中讨论到方程的解法,除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一次给出了一元二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。
他把方程的未知数叫做“根”,后被译成拉丁文radix。
其中涉及到六种不同的形式,令a、b、c为正数,如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。
把二次方程分成不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。
法国的韦达(1540~1603)除推出一元方程在复数范围内恒有解外,还给出了根与系数的关系。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 一元 二次方程