北师大版八年级数学第一章《等腰三角形》导学案.docx
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北师大版八年级数学第一章《等腰三角形》导学案
§1.1.1等腰三角形
【学习目标】
1.掌握证明的基本步骤和书写格式,运用全等三角形的性质和判定定理证明相关结论.
2、掌握“等边对等角”和等腰三角形的“三线合一”.
【自主学习】
1.回忆证明的基本步骤:
2.列举我们已知道的公理:
(1)公理:
________________的两个三角形全等。
(简称___,字母表示__)
(2)公理:
________________的两个三角形全等。
(简称___,字母表示__)
(3)公理:
________________的两个三角形全等。
(简称___,字母表示__)
(4)公理:
全等三角形的对应边_____,对应角___。
【合作探究】
探究一:
三角形全等的判定
回忆:
判定一般的三角形全等还有什么方法?
推论:
________________的两个三角形全等。
(简称___,字母表示__)你能证明吗?
已知:
在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,
求证:
△ABC≌△DEF
证明
探究二:
等腰三角形的性质定理
1、等腰三角形性质:
等腰三角形的两个____相等(简称________)
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,
求证:
∠B=∠C
证明一:
取BC的中点D,连接AD
证明二:
作∠BAD的角平分线AD,交BC于D,
∴_______(角平分线的定义)
在△ABD与△ACD中
________,________,________
∴△ABD≌△ACD()
∴∠B=∠C()
以上证明过程中的AD有什么关系?
2、推论:
等腰三角形的顶角的________、底边上的________、底边上的________互相重合(简称:
________)
【达标检测】
1.P3随堂练习
2.P5习题1.11
3.在△ABC和△DEF中,以下四个命题中假命题是【】
A、由AB=DE,BC=EF,∠B=∠E,可判断△ABC≌△DEF;
B、由∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF,可判断△ABC≌△DEF;
C、由AB=DE,AC=DF,BC=EF,可判断△ABC≌△DEF;
D、由∠A=∠D,∠B=∠E,AC=EF,可判断△ABC≌△DEF。
4.下列各组几何图形中,一定全等的是()
A、各有一个角是55°的两个等腰三角形;B、两个等边三角形;
C、腰长相等的两个等腰直角三角形;
D、各有一个角是50°,腰长都为6cm的两个等腰三角形.
5.若等腰三角形中有一个角等于50°,则等腰三角形的顶角度数为___
6.如图,已知:
AB∥CD,AB=CD,添加一个条件,
使△ABE≌△CDF,说明你的理由。
§1.1.2等腰三角形
【学习目标】
1.进一步运用全等三角形定理证明等腰三角形相关结论
2、经历探索、猜想、证明”的过程,进一步发展推理证明意识和能力.;
【自主学习】
1.等腰三角形的一个内角为700,则顶角为.
2.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,则∠B=___,∠C=___
【合作探究】
1.阅读教材P5例1
2.尝试证明:
等腰三角形的两底的角平分线相等
已知:
求证:
证明:
3.试一试:
等腰三角形两条腰上的中线相等吗?
高呢?
(1)已知:
在△ABC中,AB=AC,BD和CE分别是两腰上的中线
求证:
BD=CE
证明:
∵BD和CE分别是两腰上的中线
∴AD=
___,AE=
___,()
∵________()
∴AD=AE()
在△ABD与△AEC中
________,________,________
∴△ABD≌△AEC()
∴BD=CE()
(2)已知:
在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E
求证:
BD=CE
证明:
∵BD⊥AC,CE⊥AB
∴∠ADB=___=___°()
在△ABD与△AEC中
________,________,________
∴△ABD≌△AEC()
∴BD=CE()
以上结论还有其他证明方法吗?
4.议一议(P5)
【例题解析】
例:
证明:
等边三角形的三个内角相等,
(等边三角形的性质)
已知:
求证:
证明:
【达标检测】
1.P6随堂练习
2.如图,已知D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,
求证:
BD=CE
§1.1.3等腰三角形
【学习目标】
1.能够证明等腰三角形的判定定理,并会运用其定理进行证明.
2、结合实例体会反证法的含义.
【自主学习】
1.等腰三角形的腰长和底边长分别是5cm,8cm,则顶角的角平分线长为()A.2.5cmB.3cmC.4cmD.5cm
2.等腰三角形性质:
________
【合作探究】
探究一:
在△ABC中,∠B=∠C,那么AB=AC吗?
等腰三角形判定定理:
有两个____相等的三角形是等腰三角形
(简称________)
证明:
探究二:
阅读教材P8想一想
证明时,先_____________________,然后推出与_______、_________、___________________相矛盾的结果,从而_____________________,这样的证明方法称为反证法。
运用:
用反证法证明:
一个三角形中不能有两个角是直角
已知:
求证:
证明:
假设___________________
【例题解析】
例:
已知:
如图,AB=DC,BD=CA
求证:
△AED是等腰三角形
证明:
在△ABD与△DCA中
________,________,________
∴△ABD≌△DCA()
∴_____()
∴_____(等角对等边)
∴△AED是等腰三角形()
【达标检测】
1.P9随堂练习
2.习题1.33(尺规作图)
3.用反证法证明三角形中必有一个内角不小于60°,应当先假设这个三角形
中()
A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°D.每个内角都大于60°
4.在△ABC中,D是AC边上一点,其中∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,图中一共有几个等腰三角形?
找出其中的一个等腰三角形给予证明.
§1.1.4等腰三角形
【学习目标】
1.掌握“等边三角形判定”及“300角的直角三角形的性质”的推论,会用上述结论进行相关的计算和证明.
2、将探索、发现、猜想、证明有机结合起来,使数学思维的创造性和严谨性协调发展
【自主学习】
1.有一个角是600的等腰三角形是三角形;
2.如果三角形中有两个角都等于600,,那么这个三角形是不是等边三角形?
3.如果三角形中三个角都相等,那么这个三角形是不是等边三角形?
;
【合作探究】
探究一:
等边三角形的判定
判定1:
有一个角是600的是等边三角形
判定2:
三个角的三角形是等边三角形
已知:
在△ABC中,∠A=∠B=∠C
求证:
△ABC是等边三角形
证明:
∵∠A=∠B
∴_______(等角对等边)
∵∠B=∠C
∴_______(等角对等边)
∴______________(等量代换)
∴△ABC是等边三角形
探究二:
动手做一做
利用刻度尺测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边,小组讨论有什麽样的结果?
结论:
___________________________________________________
已知:
在Rt△ABC中∠A=300,∠C=900,
求证:
BC=
AB
证明:
证法一:
如图1延长BC到D,使CD=AD,连接AD
在△ABC与△ADC中
________,________,________
∴△ABC≌△ADC()
∴AB=AD,()
∴△ABD是______三角形()
∴BC=
BD=
AB()
证法二:
如图2,在AB上取一点D,使BD=BC,
∵∠B=600,
∴△BDC为_______三角形
∴∠DCB=600,∠ACD=900-∠DCB=900-600=300=∠A
∴DC=____=____
∴BC=
AB
【达标检测】
1.P12随堂练习
2、判断:
(1)在直角三角形中,直角边是斜边的一半.()
(2)有一个角是600的三角形是等边三角形.()
3.在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠A=300,CD⊥AB,BD=1,则AB=。
4.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点,DE⊥AC,则AE:
EC=
5.等腰三角形的底边为150,腰长为2a,求腰上的高.
§1.2.1直角三角形
【学习目标】
1.掌握直角三角形的性质定理及判定定理,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.
【自主学习】
1.在Rt△ABC中,∠C=900,∠A=350,则∠B=________。
2.一直角三角形的两条边长为3和4,第三边长度为________。
3.与直角三角形相关的结论:
(1).直角三角形两个锐角________。
(2).两个锐角_____________________的三角形是直角三角形。
(3).勾股定理:
_____________________________________。
(4).如果在一个三角形中,当三边满足________________________时,这个直角三角形是直角三角形。
【合作探究】
探究一:
直角三角形的判定
你能证明结论(4)吗?
已知:
如图:
在△ABC中,AB2+AC2=BC2
求证:
△ABC是直角三角形.
分析:
要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果能借助于△ABC与一个______三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,即可证.
证明:
作Rt△A′B′C′,使∠A′=____,A′B′=____,A′C′=____
则A′B′2+A′C′2=B′C′2.(勾股定理).
∵AB2+AC2=BC2,A′B′=____,A′C′=____
∴________即________
在△ABC与△A′B′C′中
________,________,________
∴△ABC≌△A′B′C′(____)
∴∠A=∠A′=90°(____________).
因此,△ABC是直角三角形.
归纳:
直角三角形的判定定理:
①____________________________________
②____________________________________
探究二:
互逆命题和互逆定理.
1.如果两个角是对顶角,那么它们相等.条件:
__________结论:
_________
如果两个角相等,那么它们是对顶角.条件:
__________结论:
_________
2.如果小明患了肺炎,那么他一定发烧.条件:
__________结论:
_________
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎.条件:
__________结论:
_________
3.三角形中相等的边所对的角相等.条件:
__________结论:
_________
三角形中相等的角所对的边相等.条件:
__________结论:
_________
观察上面命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?
在前面的学习中还有类似的命题吗?
结论1:
在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的________和________,那么这两个命题称为________命题,其中一个命题称为另一个命题的________,相对于逆命题来说,另一个就为________.
请同学们判断每组原命题的真假.逆命题呢?
巩固练习P16随堂练习3
结论2;原命题是真命题,逆命题也是真命题,那么我们称它们为_______
你能举例说出我们已学过的互逆定理吗?
【达标检测】
1.P16随堂练习1,2
2.命题:
“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”,是_______命题,(填“真”“假”),它的的逆命题是___________________________,是_______命题,
3、若一个直角两直角边之比为3:
4,斜边长20CM,则两直角边为。
4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8,则斜边长为________,斜边上的高为_________。
§1.2.2直角三角形
【学习目标】
1.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理,进一步理解证明的必要性
2.利用“HL’’定理解决实际问题
【自主学习】
1.我们以前学过的的三角形全等的证明方法有_________________
2.如图,在△ABC与△A′B′C′中,BC=B′C′,
∠C=∠C′=90°,要证明△ABC≌△A′B′C′,
可添加条件____利用“SAS”:
可添加条件____利用“ASA”
可添加条件____利用“AAS”;
添加AB=A′B′是否可以证明两三角形全等?
为什么?
【合作探究】
1.做一做:
做Rt△ABC,使∠C=90°,AC=a,AB=b,小组比较讨论所作三角形全等吗?
_a___
b__
2.试一试:
直角三角形的全等判定
已知:
在△ABC与△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,BC=B′C′,AC=A′C′
求证:
Rt△ABC≌Rt△A'B'C'
证明:
在Rt△ABC中,AC2=___(勾股定理).
在Rt△△A′B′C′中,A′C′2=___(勾股定理)
∵______.
∴AC=A′C′
在△ABC与△A′B′C′中
________,________,________
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(_____).
定理:
______对应相等的两个直角三角形全等.
(这一定理可以简单地用“_____”或“___”表示.)
【例题解析】
例1:
如图已知∠ACB=∠BDA=90°,要使△ACB≌△BDA,还需要一个什么条件?
把它们分别写出来并“HL”加以证明。
【达标检测】
1.P20随堂练习1,2
2.下列说法正确的有()
(1)一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。
(2)一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(3)两个锐角对应等的两个直角三角形全等。
(4)有两条边相等的两个直角三角形全等。
(5)有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
A:
2个B:
3个C:
4个D:
5个
3.如图,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件_______或;若利用“HL”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件或.
4.如图,在△ABC中,已知AB=AC,D是BC中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,求证:
DE=DF
§1.3.1线段的垂直平分线
【学习目标】
1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.
2.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明能力.丰富对几何图形的认识。
【自主学习】
1.________叫做线段的垂直平分线(又叫中垂线).
2.线段的垂直平分线性质:
________.
3.已知:
如图,∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直
平分线交BC于D则∠ADC=。
【合作探究】
探究一:
线段垂直平分线的性质定理
改写命题:
如果_____那么_____
已知:
如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P为MN上一点.
求证:
PA=PB.
分析:
要想证明PA=PB,可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等.
证明:
∵MN⊥AB,
∴==90°(__)
在△PCA与△PCB中
__,__,__
∴△PCA≌△PCB().;
∴PA=PB(__).
探究二:
线段垂直平分线的判定定理
写出性质定理的逆命题:
如果_____那么_____
已知:
线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.
求证:
P点在AB的垂直平分线上.
证法一:
(作垂直证中点)过点P作PC⊥AB,垂足为C
在Rt△PAC与Rt△PBC中
则∠ACP=∠BCP=∠90°
在Rt△PAC与Rt△PBC中
__,__,
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(__).
∴__,
∴P点在AB的垂直平分线上.
证法二:
(作垂直证中点)取AB的中点C,过PC作直线.
∴∠PCA=∠PCB=∠90°,即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上.
【例题解析】
例:
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.
求证:
直线AO垂直平分线段BC。
.
证明:
∵AB=AC,
【达标检测】
1.P23随堂练习1,2
2.如图,△ABC中,AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分
AB,则△BCD的周长是。
3.已知:
如图,DE是△ABC的AB边的垂直平分线,分别交AB、BC于D、E,AE平分∠BAC,若∠B=300,求∠C的度数。
4.
如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
§1.3.2线段的垂直平分线
【学习目标】
1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点
2.经历猜想、探索,能够作出符合条件的三角形.
【自主学习】
1.在△ABC中,AB=AC,∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC=.
2.回忆尺规作图做线段垂直平分线的方法
3.已知线段AB,请你用尺规作出它的垂直平分线。
AB
【合作探究】
1.做一做:
任意画一个三角形,并运用尺规作图作三边的垂直平分线
观察图形回答问题:
(1)三条垂直平分线有什么位置关系?
(2)对于所有三角形都成立吗?
试说明理由。
2.试一试
已知:
在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线交于点P,连接AP,BP,CP.
求证:
P点在AC的垂直平分线上.
证明:
归纳定理:
三角形三边的垂直平分线相交于,并且这一点到三个顶点的距离
3.议一议
(1)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?
能作几个?
已知底边及底边上的高,求作等腰三角形.
已知:
线段a、hah
求作:
△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h
(2)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?
如果能,能作几个?
所作出的三角形都全等吗?
4.想一想:
认真观察教材P25:
“做一做”中图1-21,
在右图中用同样的方法完成作图.l
P
拓展:
如果点P是直线l外一点,那么怎样用尺规作l的垂线,使它经过点P呢?
说说你的作法,并与同伴交流.
【达标检测】
1.P26随堂练习
2.下列命题中正确的命题有()
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;③经过线段中点的直线只有一条;④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.在△ABC中,∠C=90°,AB的中垂线交直线BC于D,若∠DAC=15°,则∠B等于()
A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定
4.△ABC三条垂直平分线相交于一点,当△ABC为锐角三角形时,点P在△ABC的______;当△ABC为直角三角形时,点P在△ABC的______;当△ABC为钝角三角形时,点P在△ABC的______.
§1.4.1角平分线
【学习目标】
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理.
2.进一步发展学生的推理证明意识和能力,培养学生将文字语言.转化为符号语言、图形语言的能力.
【自主学习】
1.________叫做角平分线
2.角平分线性质:
________.
3.OM平分∠BOA,P是OM上的任意一点,PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别为D、E,下列结论中错误的是()
A.PD=PEB.OD=OEC.∠DPO=∠EPOD.PD=OD
【合作探究】
探究一:
角平分线的性质定理
改写命题:
如果_____那么_____
已知:
如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.
求证:
PD=PE
分析:
要想证明PA=PB,可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等.
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴==90°(__)
在△PDO与△PEO中
__,__,__
∴△PDO≌△PEO(__).
∴PD=PE(____).
探究二:
角平分线的判定定理
写出性质定理的逆命题:
如果_____那么_____
已知:
在么AOB内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D、E分别为垂足,且PD=PE,
求证:
点P在∠AOB的角平分线上.(OP是∠AOB角平分线)
分析:
要想证明OP是∠AOB角平分线,只需证明__即可.
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴==90°(__)
在Rt△ODP和Rt△OEP中
__,__,
∴Rt△ODP≌Rt△OEP(__).
∴__,(全等三角形对应角相等).
∴点P在∠AOB的角平分线上.
练一练:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,若BC=16,BD=10,则D到AB的距离是________。
【达标检测】
1.P29随堂练习1,2
2.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
图1图2
3..如图2,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则①△ABE≌△ACF
②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上,以上结论中,正确的是()
A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①,②与③
§1.4.2角平分线
【学习目标】
1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.
2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用
【自主学习】
1.如图1,AD平分∠BAC,点P在AD上,若PE⊥AB,PF⊥AC
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- 等腰三角形 北师大 八年 级数 第一章 导学案