②除以小于1的数,商大于被除数:
a÷b=c 当b<1时,c>a(a≠0b≠0)
③除以等于1的数,商等于被除数:
a÷b=c 当b=1时,c=a
(四)分数四则混合运算
1、运算顺序:
①连除:
属同级运算,按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有除法转化成乘法再计算;或者依据“除以几个数,等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。
加、减法为一级运算,乘、除法为二级运算。
②混合运算:
没有括号的先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面,再算括号外面。
注:
(a±b)÷c=a÷c±b÷c
(五)解决问题
(1)“已知一个熟的几分之几是多少,求这个数”的问题的解法。
①设单位“1”的量为x,列方程解答。
②已知量已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量
(2)“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数”的问题的解法。
①根据数量关系“单位‘1’的量”或“单位‘1’的量单位‘1’的量”,设单位“1”的量为x,列方程解答。
②确定单位‘1’的量,计算出已知量占单位“1”的几分之几,再根据分数除法的意义列式解答。
(3)“已知两个数的和或差及这两个数的倍数关系,求这两个数”的问题的解法。
先找出单位“1”的量并设为x,用含有x的式子表示另一个量,再根据两个数的和或差列方程解答。
(4)工程问题
数量关系式:
工作总量=工作效率×工作时间;工作效率=工作总量÷工作时间;工作时间=工作总量÷工作效率
题型
1、10的倒数是( ),( )没有倒数。
2、把
米长的铁丝平均分成4段,每段是全长的 ,每段长米。
3、用你喜欢的方法计算下面各题。
÷14=
÷24=
÷26=
÷35=
4、看谁算得又对又快。
+
×
×
÷2 (
+
)÷
×(
-
) 10-1.5÷
÷
÷
5、请用简便方法计算。
÷4+
×
(
+
)÷
6、列式计算。
1.一个数的
是
,这个数是多少?
2.一个数的
是20,这个数的
是多少?
7、走进生活,解决问题。
①小岩买了一瓶橙汁,喝了
,正好是300毫升,这瓶橙汁总量是多少毫升?
②实验小学参加艺术班的学生有1080人,占全校学生总数的
,全校共有学生
多少人?
第四单元比
(一)比:
两个数相除也叫两个数的比
1、比式中,比号(∶)前面的数叫前项,比号后面的项叫做后项,比号相当于除号,比的前项除以后项的商叫做比值。
注:
连比如:
3:
4:
5读作:
3比4比5
2、比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数的形式,读作几比几。
例:
12∶20=12÷20=0.6 12∶20读作:
12比20
注:
区分比和比值:
比值是一个数,通常用分数表示,也可以是整数、小数。
比是一个式子,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写成分数的形式。
3、比的基本性质:
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外),比值不变。
4、化简比:
化简之后结果还是一个比,不是一个数。
(1)用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
(2)两个分数的比,用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。
也可以求出比值再写成比的形式。
(3)两个小数的比,向右移动小数点的位置,也是先化成整数比。
5、求比值:
把比号写成除号再计算,结果是一个数(或分数),相当于商,不是比。
6、比和除法、分数的区别:
除法被除数除号(÷)除数(不能为0)商不变性质除法是一种运算
分数分子分数线(—)分母(不能为0)分数的基本性质分数是一个数
比前项比号(∶)后项(不能为0)比的基本性质比表示两个数的关系
附:
商不变性质:
被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
分数的基本性质:
分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
7、比的应用
按比分配问题的解决方法:
①先求出总份数,再求出各部分量占总量的几分之几,最后求出各部分量。
②先求出每份是多少,再用每份量乘各部分量所占的份数,求出各部分量。
题型:
1.10:
()=()÷10==18÷()=
2.5克盐溶解在100克水中,盐与盐水重量比是()。
3.桃树和梨树棵数比是9∶8,梨树比桃树少( )。
A. B. C.
4.3:
4的前项加上6,要使比值不变,后项应加上()。
A.6B.12C.8
5.化简比并求比值。
∶0.2 100千克∶0.25吨
6.长方体的棱长总和是120厘米,长、宽、高的比是3∶2∶1,这个长方体的体积是多少?
第五单元 圆
(一)圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形,.
2、圆的特征:
外形美观,易滚动。
3、圆心o:
圆中心的点叫做圆心.圆心一般用字母O表示.圆多次对折之后,折痕的相交于圆的中心即圆心。
圆心确定圆的位置。
半径r:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
在同一个圆里,有无数条半径,且所有的半径都相等。
半径确定圆的大小。
直径d:
通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。
在同一个圆里,有无数条直径,且所有的直径都相等。
直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍:
d=2r或 r=d÷2=
4、等圆:
半径相等的圆叫做同心圆,等圆通过平移可以完全重合。
同心圆:
圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形:
半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角
有二条对称轴的图形:
长方形
有三条对称轴的图形:
等边三角形
有四条对称轴的图形:
正方形
有无条对称轴的图形:
圆,圆环
6、画圆
(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。
(2)画圆步骤:
定半径、定圆心、旋转一周。
(二)圆的周长:
1、围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,周长用字母C表示。
2、圆周率:
圆的周长与直径的比值是一个固定值,叫做圆周率,用字母π表示。
即:
圆周率π==周长÷直径≈3.14
所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)——周长公式:
C=πd,C=2πr
注:
圆周率π是一个无限不循环小数,3.14是近似值。
3、周长的变化的规律:
半径扩大多少倍直径也扩大多少倍,周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
4、半圆周长=圆周长一半+直径=×2πr=πr+d
(三)圆的面积S
1、圆的面积:
圆所占平面的大小叫做圆的面积,一般用字母S表示。
2、圆的面积计算公式:
S=
3、圆环的面积计算公式:
S= (R为外圆半径,r为内圆半径)
4、几种图形,在面积相等的情况下,圆的周长最短,而长方形的周长最长;反之,在周长相等的情况下,圆的面积则最大,而长方形的面积则最小。
周长相同时,圆面积最大,利用这一特点,篮子、盘子做成圆形。
5、圆面积的变化的规律:
半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍,圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。
如果:
r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4
则:
S1∶S2∶S3=4∶9∶16
(四)扇形
1、弧:
圆上任意两点之间的部分叫做弧。
2、扇形:
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
3、圆心角:
由两条半径组成,顶点在圆心的角叫做圆心角。
4、在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
题型:
1、当圆规两脚间的距离为4厘米时,画出圆的周长是()厘米。
2、在一张长8厘米,宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆,这个圆的直径是(),面积是(),周长是()。
3、一个环形的外圆直径是10cm,内圆直径是8cm,它的面积()cm2。
4、一个圆的半径扩大2倍,它的周长扩大()倍,面积扩大()倍。
5、周长相等的正方形、长方形和圆,()的面积最大。
A、正方形B、长方形C、圆
6、一个花坛,直径5米,在它的周围有一条宽1米的环形小路,小路的面积是多少平方米?
第六单元百分数
(一)百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
注:
百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的,表示两个数的比,所以,百分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。
(二)百分数和分数的区别和联系:
(1)联系:
都可以用来表示两个量的倍比关系。
(2)区别:
意义不同:
百分数只表示倍比关系,不表示具体数量,所以不能带单位。
分数不仅表示倍比关系,还能带单位表示具体数量。
百分数的分子可以是小数,分数的分子只以是整数。
注:
百分数在生活中应用广泛,所涉及问题基本和分数问题相同,分母是100的分数并不是百分数,必须把分母写成“%”才是百分数,所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。
“%”的两个0要小写,不要与百分数前面的数混淆。
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。
(3)小数、分数、百分数之间的互化
(1)百分数化小数:
小数点向左移动两位,去掉“%”。
(2)小数化百分数:
小数点向右移动两位,添上“%”。
(3)百分数化分数:
先把百分数写成分母是100的分数,然后再化简成最简分数。
(4)分数化百分数:
分子除以分母得到小数,(除不尽的保留三位小数)然后化成百分数。
(5)小数化分数:
把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。
(6)分数化小数:
分子除以分母。
(三)百分数应用题
1、求常见的百分率如:
达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几
2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。
求甲比乙多百分之几 (甲-乙)÷乙
求乙比甲少百分之几 (甲-乙)÷甲
3、求一个数的百分之几是多少一个数(单位“1”)×百分率
4、已知一个数的百分之几是多少,求这个数 部分量÷百分率=一个数(单位“1”)
5、百分数应用题型分类
(1)求甲是乙的百分之几——(甲÷乙)×100% = ×100%=百分之几
(2)求甲比乙多(少)百分之几——×100%= ×100%
例
①甲是50,乙是40,甲是乙的百分之几?
(50是40的百分之几?
)50÷40=125%
②甲是50,乙是40,乙是甲的百分之几?
(40是50的百分之几?
)40÷50=80%
③乙是40,甲是乙的125%,甲数是多少?
(40的125%是多少?
)40×125%=50
④甲是50,乙是甲的80%,乙数是多少?
(50的80%是多少?
)50×80%=40
⑤乙是40,乙是甲的80%,甲数是多少?
(一个数的80%是40,这个数是多少?
)40÷80%=50
⑥甲是50,甲是乙的125%,乙数是多少?
(一个数的125%是50,这个数是多少?
)50÷125%=40
⑦甲是50,乙是40,甲比乙多百分之几?
(50比40多百分之几?
)(50-40)÷40×100%=25%
⑧甲是50,乙是40,乙比甲少百分之几?
(40比50少百分之几?
)(50-40)÷50×100%=20%
⑨甲比乙多25%,多10,乙是多少?
10÷25%=40
⑩甲比乙多25%,多10,甲是多少?
10÷25%+10=50
⑪乙比甲少20%,少10,甲是多少?
10÷20%=50
⑫乙比甲少20%,少10,乙是多少?
10÷20%-10=40
⑬乙是40,甲比乙多25%,甲数是多少?
(什么数比40多25%?
)40×(1+25%)=50
⑭甲是50,乙比甲少20%,乙数是多少?
(什么数比50多25%?
)50×(1-20%)=40
⑮乙是40,比甲少20%,甲数是多少?
(40比什么数少20%?
)40÷(1-20%)=50
⑯甲是50,比乙多25%,乙数是多少?
(50比什么数多25%?
)40÷(1+25%)=40
题型:
1、某班有学生50人,病假1人,出勤率为()%。
2、进行玉米发芽实验,有46粒发芽,有4粒没有发芽,发芽率为()%。
3、栽800棵树,有40棵没有成活,成活率为()%。
4、应用题。
①现在买一台收音机用160元,比过去少用85元,收音机售价降低了百分之几?
②加工一批零件,计划8天完成任务,实际只用了5天就完成了任务,工作效率提高了百分之几?
③机床厂生产一批零件,合格品有385个,不合格品有17个,这批零件的合格率是多少?
第七单元扇形统计图
1、扇形统计图的意义:
用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系,也就是各部分数量占总数的百分比,因此也叫百分比图。
2、常用统计图的优点:
(1)条形统计图直观显示每个数量的多少。
(2)折线统计图不仅直观显示数量的增减变化,还可清晰看出各个数量的多少。
(3)扇形统计图直观显示部分和总量的关系。
题型:
一、选择题。
(把正确答案的序号填在括号里)
1.气象员记录一天的气温变化,比较适合的统计图是( )。
A.条形统计图 B.扇形统计图
C.折线统计图D.复式条形统计图
2.如下图,面积最大的是( )。
A.大洋洲 B.北美洲C.亚洲D.非洲
二、下图是正常大气中主要成分所占的比率,请根据统计图回答问题。
1.正常大气中,哪种成分占的比率最大?
是多少?
2.哪种气体是人和动物所必需的?
占的比率是多少?
3.其他气体占的比率是多少?
三、下图是夏日超市某日卖出各种蔬菜情况统计图,请你看图回答问题。
1.图中表示黄瓜的量是总数的_________%。
2.若卖出茄子80千克,则卖出黄瓜__________千克,青菜________千克。
3.有些同学喜欢吃肉,不喜欢吃蔬菜,这样饮食合理吗?
为什么?
第八单元、数学广角
一、研究中国古代的鸡兔同笼问题。
1、用表格方式解决有局限性,数目必须小,例:
头数鸡(只)兔(只)腿数
35 1 34
35 2 33
35 3 32
……
(逐一列表法、腿数少,小幅度跳跃;腿数多,大幅度跳跃。
跳跃逐一相结合、取中列表)
2、用假设法解决
(1)假如都是兔
(2)假如都是鸡
(3)假如它们各抬起一条腿
(4)假如兔子抬起两条前腿
3、用代数方法解(一般规律)
注释:
这个问题,是我国古代著名趣题之一。
大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
这四句话的意思是:
有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。
求笼中各有几只鸡和兔?
二、和尚分馒头
100个和尚吃100个馒头,大和尚一人吃3个,小和尚三人吃一个。
大小和尚各多少人?
方法一,用方程解:
解:
设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,根据题意列得方程:
3x+(100-x)=100
x=25
100-25=75人
方法二,鸡兔同笼法:
(1)假设100人全是大和尚,应吃馒头多少个?
3×100=300(个).
(2)这样多吃了几个呢?
300-100=200(个).
(3)为什么多吃了200个呢?
这是因为把小和尚当成大和尚。
那么把小和尚当成大和尚时,每个小和尚多算了几个馒头?
3-=(个)
(4)每个小和尚多算了8/3个馒头,一共多算了200个,所以小和尚有:
小和尚:
200÷=75(人)
大和尚:
100-75=25(人)
方法三,分组法:
由于大和尚一人分3只馒头,小和尚3人分一只馒头。
我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组,这样每组4个和尚刚好分4个馒头,那么100个和尚总共分为100÷(3+1)=25组,因为每组有1个大和尚,所以有25个大和尚;又因为每组有3个小和尚,所以有25×3=75个小和尚。
这是《直指算法统宗》里的解法,原话是:
"置僧一百为实,以三一并得四为法除之,得大僧二十五个。
"所谓"实"便是"被除数","法"便是"除数"。
列式就是:
100÷(3+1)=25(组)
大和尚:
25×1=25(人)
小和尚:
100-25=75(人)或25×3=75(人)
我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。
三、整数、分数、百分数应用题结构类型
(一)求甲是乙的几倍(或几分之几或百分之几)的应用题。
解法:
甲数除以乙数
例:
校园里有杨树40棵,柳树有50棵,杨树的棵树占柳树的百分之几?
(或几分之几?
)
(二)求甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少的应用题。
解答分数应用题,首先要确定单位“1”,在单位“1”确定以后,一个具体数量总与一个具体分数(分率)相对应,这种关系叫“量率对应”,这是解答分数应用题的关键。
求一个数的几倍(几分之几或百分之几