微积分下期末复习题完整版docx.docx
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期末复习题
一、填空题
fcos2tdtlim
XTOx
10、
11、
12、
13、
设z=xe2",则—
dxdy
交换积分次序J*d^J^"J)dj=_
交换积分次序J2(irJ,f(x,y)dy=交换积分次序J;心
/(x,j)dx=
二、选择题
pan2x
|lnQ+,)d£
1、极限lim等于(
(A)1
1-cosx
(B)2
(C)4
(D)8
dre
2、设一dxJo
(A)-4
x2
f(t)dt=ex,则/(x)=()
(B)-一r(C)产(D)-e-2x
3、设/'(x)是连续函数,且j/(x)dx=F(x)+C,则必有()B
(A)[V(Od/=F(x)(B)[fXF(f)dfr=F(x)
JaJa
(D)[^F\t)dt]'=f(x)-f(a)
4、设/'(x)在[a0]上连续,则/'(x)在[a0]上的平均值是()
7、()是微分方程jlnxdx+xlnjdj=0满足条件,*=[=e2的特解。
(A)Inx2+lnj2=0(B)Inx2+lnj2=2
(C)In2x+ln2j=0(D)In2x+In2j=
三、计算题
1、计算下列不定积分:
(1)
fdx
(2)JxInxdx
⑶Jin
2xdx
(2—x)a/1—x
(4)
pdx
(5)[,dx
J2/2i
X\x—1
(6)j
•2x,dx
l+cos2x
J1+Vx+1
2、计算下列定积分:
(1)
n
[2exsinxdx
Jo
⑵jjjInT^dx
⑶]
.1x2
arctanxdx
lol+x2
(4)
广二"
J。
e'+3
-1dx⑸Jidx
2
(6)fxarctan\/l-x2dx
Jo
2o/(x-l)dx・
e~x,x>0f3
4、设/'(x)=<2,求If(x-2)dxo
1+x2,x<0J1
5、设z=f(x,y)是由方程-=ln-确定的隐函数,求孚,孚。
zyOXdy
6、设z=ln(x2+j2),求二。
7、/(x,y)=x2arctan^-y2arctair^,求''。
xydxdy
8、己知x3+z3+yz—2,求一,——o
dxdy
9、求函数f(x,j)=e2x(x+j2+2y)的极值。
15、求微分方程满足初始条件的特解:
—+^=0,贝3)=4.
Jx
16、求微分方程Q‘+7—e'=0的通解。
17、求方程y'=—2xj+2xe~x的通解。
18、求微分方程(x2+1)+2xy-4x2=0的通解。
19、求解微分方程xlnxdj+(j-lnx)dx=O,y|x=e=1.
四、应用题
1、求y=x2与x=y2所围成的图形的面积及它绕x轴旋转而成的旋转体体积。
2、求j=-x2与y=x所围成的图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
3、过曲线y=^c,x>0上的点A作切线,使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形D的面积S为°。
4
(1)求点0的坐标;
(2)求平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积。
4、为销售某种产品,需要作两种方式的广告,当两种广告的费用分别为x和v时,销售利润的增加是纹+兰七(万元)。
现花25万元用于广告,问怎样分配两种方式的广告费用,可使利润的增加达到5+x10+y
最大?
5、某厂生产产量分别为x和y的两种产品,总成本c(x,j)=x2+j2+4xj-10x4-10j+500,需求函数分别为x=70-0.25p,y=120—0.5g,(p,g为产品单价),且产品需求要受限制x+2j=50,求工厂获最大利润时的产量和单价。
6、设某企业的总产量函数为尸(x,y)=0.005x2)(吨),X,)为两种投入要素,其单价分别为1万元/吨和2万元/吨,且该企业拥有资金150万元,试求X,)使产量最大。
7、生产某种产品需要三种原料,且产量与A,B,C原料的用量的关系为。
=0.005亍队,巳知三种原料售价分别为1,2,3(万元),今用2400(万元)购买材料,问应如何进料才能使产量最大?
五、证明题
n
1、设/*(x)在[0,1]上连续,证明:
/(siitf)dZ=2jJ/(siitf)dZo
2、设/*(x)在[0,1]上连续,证明:
x/(sinx)dx=y/(sinx)dxo
3、证明[1xw(l-x)ndx=rxn(l-x)mdx.
J0J0
解答:
一、填空题
1.12.-2f(2x)3.2F(4x+a)-2F(a)4.-2e-15.In26.^(^5-1)
2
7.sinxd——-—8.—9.810、2e"11.fdyff(x^y)dx
1-7T2J。
J"
f(x,y)dx
flx2f72-x2
13、]odxJo/(x,j)dj+JidxJof(x,y)dy
二、选择题
1.C2.B
3、解选B
利用变上限积分函数的导数结合f'(x)=f(x),得
(A)\Xf(t)dt=F(x)-F(a),(C)f>,(f)df=F(x)-F(a),(D)[f=Fr(x)=/(x),JaJaJa
故选(B).
4、解选C
1pb
若函数/*(x)在[。
0]上连续,则称一|/(x)dx^j/(x)在[。
0]上的平均值,故选(C).
b-aJa
5、解选D
设u=tx,则x=—,dx=-du,
于是Z=4-/(zx)dx=[7(w)dM,故积分[与s有关.应选①).
JoJ0
6、解选B
由于X—=et+xsin,可写成坐=—-ezsim,故应选(B).d£d#x
7、解选
将原方程分离变量并两边积分,得到通解为-ln2x+-ln2j=C,22
代入初始条件,;=e2,得C=一,所求特解为11?
工+1112,=一。
JIx=e242
三、计算题
1、计算下列不定积分:
解令t=Vl—x,则x=1-t29dx=-2tdt,于是rdx_.一2,・d,J(2-x)Vl-x"J(1+产)《
(2)
-2,“,=-2aretain-C=—2arcta/ii—x+C.J1+t2
X2,fX21X2,]2八
—Inx—I—•—dx=—lux—x+C.
2J2x24
Jxlnxdx=Jlnxd(^-)=
rsec/tan^rv
^=dx=\d£=[cos,d,=sin,+C=+C
2-1Jsec?
ttantJx
解
=xtanx-Jtanxdx=xtanx-ln|secx|+C・
2、计算下列定积分:
冗兀冗冗nn
⑴解:
[2exsinxdx=fsinxdex=exsinxlj-fexcosxdx=e,一口cosxdex
JoJo10JoJo
丸n_艾-n
=e成一[excoxlj+[^exsirrdx]=+1-exsiwdx
IoJ()J0
7T[〃
解得[2exsiadx=—(e,+1).
Jo2
⑵解:
原式=-Jiln^[x^dx+J^InJ^F
=-[xlnx/x-|1-Jixdln^/x-Jd-xlny/x-^_[xdln^/x^
1…2心312
一dx]+e—I一dx=1H—e.
2Ji22e22
丸[丸
t&t=["dtan,——尸『
oJo2lo
H
-17TI17T119
4tan,d,冗=InsectH冗=ln2冗
。
324110324232
解设x=silt,
兀2七兀四
原式=j:
s,^2dr=J^(csc2,一l)d£=一(cot£+£)|《=1-
3
10
-T
_f2X—1=tflf01
解[/Xx_Ddx=[/(^)d^=\d,+
JtJ-12+x
.I、|0.I71、、
―ln|2+目]+arcsii^=—+ln2
4、解设x-2=t,
J:
f(x-2)dx=J:
=£/(odt+Jj(odf=£(i+f2)df+J%rd/=|-|.
atjZ".々xxfZi—rtTtnfZ
5、解;=——=>Zx=;同理,Zv=—o
zzz+xyj(z+x)
6、解zx
If
2x'2y,z=,x2+y2yx2+y2
23一,),,二2(尸一—2)
(亍+乃2,^—(亍+^尸。
7、解:
g=2xarcta『r,=
oxxdxoyx+y
8、解:
方程两边关于x求偏导,3x2+3z2^+j^=0n—=-,
dxdxdx3z2+j
方程两边关于’求偏导,3z2:
+z+y;=0ndydy
=e2x(2x+2j2+4j+l)=01
:
,求得驻点(x,y)=(一,-1),
|/;=峪
(2)+2)=02
=f'L—1)=2e>0,B=—=0,C=f"y(—,-1)=2e
所以(-,-1)为极小值点,极小值为
22210、解原式=J。
dxj2S1Wdj=J。
(sin—xsiir)dx=(—cosr+xcosr—siir)「=1-si11、解JJy/1-x2da=J。
dxJ。
71-x2dy=[xy/1-x2dx=—o
D0003
V2-1
3
16、解方程改写为
1+)32»
W
X+1s1IXpl
dj=[xsiirdx=siii-cod0
1xJo
15、解分离变量,xdx+jdj=0,积分得x2+y2=C,将)(3)=4代入,得C=25,所求特解为x2+y2=25.
fdx1_i_
ejTdx+C](3分)=—[Je*dx+C]=17、解原方程为V+2xy=2xe~x2,
y=e~^2xdx(|2xe-x2e^2xdxdx+C)=(J2xdx+C)=e-^(x2+C)
2i*41*2
18、解原方程为:
x+1x"+1
dx2i4,
y=e、+idx+C)=——(-x3+C)
Jx2+1x2+l3
19、解原方程改写为y,+-^—y=-,通解为
xlnxx
J=ef7m^(flj7m7dx+c)=J_[flZl£dx+C]=J(lln2X+C)JxInxJxInx2
将j(e)=l代入,得C=L,故所求特解为7=?
(inx+口—)。
22Inx
四、应用题
1、解S=J:
(&-x2)d*=5,Vx=^-J^[(Vx)2-(x2)2]dx=
po,1coo2
2、解S=[(-x-x)dx=—,Vx=tt\[x-(-x)]dx=_冗
Ji6J15
3、解
(1)设AU,。
),。
〉。
,贝彻线的斜率k=^a2,切线方程:
y=^a2x^a切线与x轴交点
为(一2已3,0),s=ffl[j3-(3aj-2a3)]dj=-a4解得a=l,A(l,l).
Jo44
F=+i-+2(x+y-25)
5+x10+y
令刊=—+2=0,=—+2=0,x+y=25
x(5+x)2J(10+x)2
解得唯一驻点x=15,j=10
由实际意义]此时利润的增加最大
5、解:
目标函数为L(x,y)=px+qy—C=—5,—3y2+290x+23Qy—4xy—500,
约束条件x+2j=50
F——5x2—3y2+290x+230j—4xj—500+2(x+2j-50)
令F'x=-10x+290-4j+2=0,F;=-6j+230-4x+22=0,x+2j=50解得唯一驻点x=20,j=15,此时价格p=200,g=210
由实际意义,此时利润最大
6^解:
F(x,j)=0.005x2j+2(x+2j—150),
F;=0.0Ixy+2=0,
<=0.005*2+24=0,
x+2y=150,
得x=100,y=25,唯一,
由实际问题存在产量最大,即当x=100,j=25时产量最大。
7、解目标函数e=0.005x2^,约束条件x+2j+3z=240,
F=0.005x2jz+A(x+2y+3z-240Q),…(3分)
令—=0.0Ixyz+4=0,—=0.005x2z+2人=0,—=0.005*勺+3A=0,dxdydz
x+2y+3z=2400,
解得唯一驻点x=120Qj=30Qz=200,由实际问题,此时产量最大。
五、证明题
n
1、证明:
J/(sinx)dx=J2/(sinx)dx+/(sinx)dx
°°2^
七=冗—jq冗4
而J^./(sinx)dx=f(sint)dt=J/(sinx)dx
~2°°
n
故j。
/(sinx)dx=2^2/(sinx)dx
2、见教材P22例1廿2)
3、证明j:
V"(1-x)"dx令1-X=/=-j:
(l-仃"t"dl=J^(l-t)mtndt=(1-x)mdx
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