4份高考数学浙江理科专用二轮专题复习精练突破练.docx
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4份高考数学浙江理科专用二轮专题复习精练突破练
【4份】2016年高考数学二轮专题复习精练
(浙江理科专用)
突破练
目录
突破练
(一)1
突破练
(二)7
突破练(三)13
突破练(四)17
突破练
(一)
1.已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x-,△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=1.
(1)求角B的大小;
(2)若a=,b=1,求c的值.
解
(1)因为f(x)=sin2x+cos2x=sin,
所以f(B)=sin=1,
又∈,
所以2B+=,
所以B=.
(2)法一 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得
c2-3c+2=0,
所以c=1,或c=2.
法二 由正弦定理==得sinA=,
所以A=或A=,当A=时,C=,所以c=2;
当A=时,C=,所以c=1.
2.如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.
(1)求证:
AB∥GH;
(2)求二面角D-GH-E的余弦值.
(1)证明 因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,
所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.
又EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
又EF⊂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,
所以EF∥GH.又EF∥AB,
所以AB∥GH.
(2)解 在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,
所以∠ABQ=90°.
又PB⊥平面ABQ,
所以BA,BQ,BP两两垂直.
以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设BA=BQ=BP=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2).
所以=(-1,2,-1),=(0,2,-1),=(-1,-1,2),=(0,-1,2).
设平面EFQ的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
由m·=0,m·=0,
得取y1=1,得m=(0,1,2).
设平面PDC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),
由n·=0,n·=0,
得取z2=1,得n=(0,2,1),
所以cos〈m,n〉==.
因为二面角D-GH-E为钝角,
所以二面角D-GH-E的余弦值为-.
3.某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如表所示:
(单位:
万美元)
项目
类别
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多可生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,预计m∈[6,8].另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域;
(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?
请你作出规划.
解
(1)由年销售量为x件,按利润的计算公式,得生产A,B两种产品的年利润y1,y2分别为
y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20(x∈N,0≤x≤200),
y2=18x-(8x+40)-0.05x2=-0.05x2+10x-40(x∈N,0≤x≤120).
(2)因为6≤m≤8,
所以10-m>0,函数y1=(10-m)x-20是[0,200]上的增函数,
所以当x=200时,生产A产品有最大利润为(10-m)×200-20=1980-200m(万美元).
又y2=-0.05(x-100)2+460(x∈N,0≤x≤120).
所以当x=100时,生产B产品有最大利润为460万美元.
因为y1max-y2max=1980-200m-460=
1520-200m
所以当6≤m<7.6时,可投资生产A产品200件;
当m=7.6时,要生产A产品与生产B产品均可;
当7.6 4.如图,点P(0,-1)是椭圆C1: +=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2: x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程; (2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程. 解 (1)由题意得 所以椭圆C1的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k, 则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2: x2+y2=4, 故点O到直线l1的距离d=, 所以|AB|=2=2. 又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0. 由 消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-. 所以|PD|=. 设△ABD的面积为S,则S=|AB|·|PD| =,所以S= ≤=, 当且仅当k=±时取等号. 所以所求直线l1的方程为y=±x-1. 5.数列{an}满足: a1+2a2+…+nan=4-,n∈N*. (1)求a3的值; (2)求数列{an}前n项和Tn; (3)令b1=a1,bn=+an(n≥2),证明: 数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn. (1)解 a1=1,a1+2a2=2,a2=,a1+2a2+3a3=4-,a3=. (2)解 n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)an-1=4-, 与原式相减,得nan=,an=,n=1也符合, Tn==2-. (3)证明 n≥2时, bn=+an=+an 故Sn=i=a1++a2++a3+…++an =a1+a2+a3+…+an =Tn =<2, 只需证明2<2+2lnn,n∈N*. 对于任意自然数k∈N, 令x=-∈(-1,0)时,ln+<0, 即 ∴k=1时, k=2时, … k=n-1时, ∴1+++…+<1+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)], 即1+++…+<1+lnn, 所以n≥2时,2<2+2lnn, 综上n∈N+时,Sn<2+2lnn. 突破练 (二) 1.已知函数f(x)=sin+2cos2x-1(x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图象经过点,b,a,c成等差数列,且·=9,求a的值. 解 f(x)=sin+2cos2x-1=-cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin. (1)最小正周期T==π,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)由f(A)=sin=得 2A+=+2kπ或2A+=+2kπ(k∈Z), 即A=kπ或A=+kπ, 又A为△ABC的内角,所以A=. 又因为b,a,c成等差数列,所以2a=b+c. ∵·=bccosA=bc=9, ∴bc=18, ∴cosA==-1=-1=-1. ∴a=3. 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点. (1)证明: 平面EAC⊥平面PBD; (2)若PD∥平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小为45°,求PD∶AD的值. (1)证明 因为PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,又ABCD是菱形, ∴BD⊥AC,又BD∩PD=D,故AC⊥平面PBD,又AC⊂平面EAC. 所以平面EAC⊥平面PBD. (2)解 连接OE,因为PD∥平面EAC,所以PD∥OE,所以OE⊥平面ABCD,又O是BD的中点,故此时E为PB的中点,以点O为坐标原点,射线OA,OB,OE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz. 设OB=m,OE=h,则OA=m,A,B(0,m,0),E(0,0,h),=(-m,m,0),=(0,-m,h),向量n1=(0,1,0)为平面AEC的一个法向量,设平面ABE的一个法向量n2=(x,y,z) 则n2·=0,且n2·=0, 即-mx+my=0且-my+hz=0. 取x=1,则y=,z=, 则n2=, ∴cos45°=|cos〈n1,n2〉|===, 解得=,故PD∶AD=2h∶2m=h∶m=∶2. 3.已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3. (1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围; (2)是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t(视区间[a,b]的长度为b-a). 解 (1)∵函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8,∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. ∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有即 ∴-20≤q≤12. (2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是x=8. ①当0≤t≤6时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小, ∴f(t)-f(8)=12-t, 即t2-15t+52=0, 解得t=, ∴t=; ②当6 ∴f(10)-f(8)=12-t,解得t=8; ③当8 ∴f(10)-f(t)=12-t, 即t2-17t+72=0, 解得t=8,9, ∴t=9.综上可知,存在常数t=,8,9满足条件. 4.已知椭圆+=1(a>0,b>0)的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心,且椭圆上的点到点F的距离最小值为-1. (1)求椭圆方程; (2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A,B,点M,证明: M·M为定值. (1)解 化圆的标准方程为(x+1)2+y2=1, 则圆心为(-1,0),半径r=1,所以椭圆的半焦距c=1. 又椭圆上的点到点F的距离最小值为-1,所以a-c=-1,即a=. 故所求椭圆的方程为+y2=1. (2)证明 ①当直线l与x轴垂直时,l的方程为x=-1. 可求得A,B. 此时,M·M=·=-. ②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1), 由得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=. 因为M·M=· =+y1y2 =x1x2+(x1+x2)+2+k(x1+1)·k(x2+1) =(1+k2)x1x2+(x1+x2)+k2+ =(1+k2)·++k2+ =+=-2+=-. 所以,M·M为定值,且定值为-. 5.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点(an+1,Sn)在直线3x+2y-3=0上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列? 若存在,求出λ的值;若不存在,则说明理由. 解 (1)由题意可得3an+1+2Sn-3=0,
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