第01单元一题多解孙继平.docx
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第01单元一题多解孙继平
第一部分证明与探究
你一定能学好几何!
如果你说自己不是学几何的料,这个说法本身就是错误的.因为几何是研究形的,人们对形的认识先于数.由于记录形的多少,计算形大小的需要,数才产生.所以人们对形有一种天生的认知能力.只要是智力正常的人,天生都具备学习几何的能力.
请回忆一下自己的小学,不管你用的是什么版本的教材,数学的学习一定是从形引入的,并且一遇问题老师都要把它转化为形帮助你理解.
现在的中考数学题中,几何题的难度已大大降低了.即使喜欢考几何难题的几个地方,几何难题也仅限于填空题、选择题、解答题三类题目中最后的几何题.因此,对于智力正常,真正想学好几何的人来说,只要努力,拿到80%的分数太正常了.
几何学得不好,虽然人各不同,原因很多,但归纳起来基本是下面三类:
第一、概念不清、定理很乱;
第二、记得住概念,说得上定理,直接用定理的题都会做,但稍加变化或转个弯就不知从哪下手;
第三、遇到需要作辅助线等较难题目时没有思路.
本书的第一部分,就是解决几何问题的证明与探究.
第一类问题产生的原因,是没掌握几何图形的概念、性质与判定.建议你试试下面的方法:
1.见形说名、见名想图、对比记忆.
初中几何研究的图形,在小学都有涉及,学生都知道.象线段、三角形、长方形、正方形……都是以形取名.所以对概念的掌握可以采用下面的16字法就有很好的效果:
顾名思义、看名画形.见名说形、对比区分.
2.依形说性质.
几何中的定理很多,什么性质定理.判定定理、特别容易记乱.我用过一种方法特别有效,这个方法就是:
根据形状说性质.
一说性质,就把学生弄懵了,其实对几何图形而言,性质的俗名就是特征,就是长的什么样子.你问平行四边形长什么样子,学生都能说上来,并且要求学生必须按:
“边、角、对角线、对称性”的顺序说.开始必如此“教条”,先学招,后忘招.
3.根据特征(性质)想判定法
你是如何在人群中找到自己朋友的?
肯定是根据他(她)的高矮、胖瘦、五官等特征来判断的.如何判定一个图形是不是平行四边形?
同理!
集合中判定定理的条件都是一个或者几个性质的组合.判断定理必须是性质定理的逆定理!
第二、第三类问题是本书主要研究的了.
如果你真的想学好几何,请回答下面几个问题:
为什么接孩子的家长能从衣服一样、年龄一样从校门口蜂拥而出的学生群中一眼找到自己的孩子?
回答正确!
这就是熟悉孩子、心在孩子身上!
孩子的一颦一笑,一举一动都已经印在脑海中了.
你知道我想说什么?
对!
真想学好几何,前提是你得下功夫熟练它、用心去学它,这样方法才起作用.
有什么好方法能让你见到难题有思路、知道怎么做辅助线呢?
有!
本书介绍的融通归一法!
我的学生说用此法非常有效,你可以看看.
详细了解此法,请从第一单元看起!
想先从整体了解一下,请先看目录,目录就是方法.
第01单元“融通归一复习法”解释与例举
“联想融通复习法”与“归一复习法”合称“融通归一复习法”.
一、“联想融通”复习法
“联想融通复习法”从以下三个方面实施:
1.找出知识间关系,形成知识网络,实现融会贯通;
2.归纳同一知识在不同背景下的应用,使学生熟悉之,实现融会贯通;
3.一题多解(即用不同的思路、方法或知识解决同一问题)训练思维的灵活性,实现融会贯通.
(一)找出知识间关系,形成知识网络
数学知识是一个紧密的知识体系,知识之间互有区别又密切相连,有的还很相像,有的用运动变化的观点来看又可归为一体,下面举例予以说明.
例1-1-1公式记忆:
数学公式很好记,请看例子:
(1)如图1-1-1①,请观察扇形面积公式与三角形面积公式,你有什么发现?
你有记住扇形面积公式的好方法了吗?
图1-1-1①
(2)如图1-1-1②请你自己试着把梯形、三角形、平行四边形的面积公式串起来.
图1-1-1②
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这样做,记公式不成问题!
你可以找其他的公式再试试.
例1-1-2代数相生:
请你想想看,数,代数式、方程、不等式、函数间有什么关系?
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代数是环环相扣,衍生扩展而来的,掌握了它们间的关系,代数就是一个整体,所谓的代数综合只不过是彼此之间的转换而已.
(二)归纳同一只是在不同背景下的应用
你遇到这样的事情吗:
一道题,自己没做上来,一看别人做的,感觉挺简单,其实自己也会,只是自己当时没想到某个条件而已.
其实你没想到的那个条件,是因为你对那个条件在这个题目背景下的应用不熟悉!
“联想融通复习法”可以解决这个问题.操作方法看下例:
例1-1-3请你想想看,怎样得到两角相等?
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设想一下:
每个单元学习完毕后都给出一两个关键词,如:
数,式,乘法公式,分解因式,方程,平方根,解,整体代入,函数,二次函数,最值…;平行、垂直、中点,等线段、角平分线,三角形,四边形,全等,相似,切线……从“怎样得到、什么时候用”两个维度“联想融通”一下,会是什么效果?
!
“你中有我,我中有你;前后照应,八方联系;知识成网,提升能力;融会贯通,掌握彻底.”
(三)一题多解
一题多解有两个含义,其一是有几种不同的答案,其二是用不同的思路、方法、或知识解决相同的问题.本处指其二.
用不同的方法、知识解决同一问题,不仅仅锻炼学生思维的灵活性、发展学生的多想思维能力,更让学生感受与体验到了知识间的关系、促使学生实现知识的融会贯通,因此是重要的“联想融通复习法”.
例1-1-4如图1-1-2,△ABC的中线BE、CD交于点O,求证:
BO=2EO.
图1-1-2
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本题非常简单,可以面向全体学生,并且证法超多,是训练“一题多解”不可多得的好题!
选取的九种证法含:
截长补短、构全等、造相似等,方法绝妙!
例1-1-5如图1-1-3,在一、三象限的平分线
:
上确定一点Q,使点Q到D(1,―3)、E(―1,―4)的距离之和最小,并求出Q点的坐标.
图1-1-3
交流分享:
法一用方程组求出Q点坐标,法二用相似求Q点坐标.不同知识解决同一问题,解决过之后一定深有触动,特别是用几何法解决代数问题,常有美妙之感.
例1-1-6如图1-1-4,点E是正方形ABCD的AB边上不与点A、B重合的一点,已知∠DEF=90°EF交∠CBM的平分线于点F.求证:
DE=EF.
图1-1-4
交流分享:
这是一道从2005年起至今年年中考变着法考的好题.造全等、造相似、四点共圆、轴对称,法法堪称精典.
体验与感悟01-1
1.请你用“对角线”把四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形串联起来.
2.请你尽可能多地写出判断垂直的方法.
3.如图1-1-5,已知ABC中,AB=AC,在线段CA上截取线段CE(CE<CA),在AB的延长线上截线段BD=CE,连接DE交BC于M,请你通过观察、测量判断出线段MD与线段ME的数量关系,并证明你的结论.
图1-1-5
交流分享:
此题有不少于4种方法,再试试.
4.如图1-1-6,等腰△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G,将一把直角顶点为F的等腰直角三角尺的一条直角边与AC边放在同一条直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.
请你猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想.
图1-1-6
交流分享:
此题有不少于6种方法,再试试.
5.如图1-1-7,在Rt△ABC中,∠ABC=900,BA=BC,点D为BC边的中点,BE⊥AD于点E,交AC于点F,求
的值.
图1-1-7
交流分享:
此题有2种以上方法.
6.如图1-1-8,已知在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.求证AM=DF+ME.
图1-1-8
交流分享:
法一根据F是中点,AB∥CD造与△CDF成中心对称的三角形解决;法二是推出△BCD是等边三角形,两种方法的共同点都是充分利用了菱形对角线平分对角、对边平行且相等的性质.
提醒:
请回想一下“联想融通复习法”从哪三个方面入手构建知识网络,打通知识联系的.
二、“归一”复习法
“归一复习法”从以下三个方面实施:
1.照着做.由于对合情推理的考查需要,很多中考证明题、探究题都着力从“方法的不变性”与“结论的不变性”入手编制,故:
前面简单的怎么思考,后面难的仍怎么想:
前面怎么做,后面就怎么做.所以“照着做”即可解决.
2.多题归一.很多题乍一看背景不同、条件不同、问题不同,但解决问题的着手点都是一样的.这类用同一手段解决的题目,可归一.
3.我解归一.有的题有很多种解法,但这些不同的解法都源于同一知识点,这些不同的解法可归一.
一个题目,有了思路,就基本解决了.“归一复习法”解决的就是这个问题.
(一)照着做
请你先完成下例,再比较,你有什么发现?
例1-2-1
(1)如图1-2-1
,已知∠ACD=900,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B.求证BD+AB=
CB
(2)当MN绕A旋转到如图1-2-1②和图1-2-1③两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图1-2-1②给予证明.
图1-2-1①图1-2-1②图1-2-1③
交流分享:
对比
(1)、
(2)的证明,思路完全相同,除去小部分外其余“照着抄”即可.
“照着做”:
即方法不变,有4层意思:
其一:
照题目提供的方法做,如阅读理解题、新定义类题、操作探究题等.
其二:
照自己解决题目前一问或前两问的方法做.
其三:
转化为前一问或前两问题目提供的图形再去做.
其四:
用前面的结论.
照着抄:
即格式、结论表现出稳定性.
其一:
在证明中,前一问用哪两个三角形全等,后面一样用那两个三角形全等;
其二:
在证明中,前一问证三角形全等用什么条件,后面基本一样,有变化也是细微的;
其三:
即使结论有变,但有一致性,例如:
结论由三条线段和的关系变成了三条线段差的关系.它改变的只是加数与和的位置而已.
意义:
“照着做!
”“照着抄!
”——六个字,一下子减轻了学生的畏难情绪、吸引了学生!
(二)多题归一
以下两道题背景不同、问题不同,但解决问题的方法是一样的.解决这类题的通法,就是举一反三中的“一”,抓住这个“一”,就能“举一反三”
请先完成例1-2-2,再找出其通法即“一”.
例1-2-2
(1)如图例1-2-2
,点P在等边△ABC内,并且PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB=_____.
(2)如图例1-2-2,已知在五边形ABCDE中,∠BAE=∠BCD=900,AB=BC=DE=2,AE+CD=2,则这个五边形的面积等于.
图1-2-2①图1-2-2②
交流分享:
这2道题的共性是“都有两条具有公共端点的相等线段,BA=BC”,以公共端点为旋转中心,把一条线段连同它所在的三角形旋转到与另一条线段重合的位置,问题就迎刃而解了.
这2道题的“一”就是:
遇两条具有公共端点的相等线段,就以公共端点为旋转中心,把一条线段连同它所在的三角形旋转到与别一条线段重合的位置.
(三)多解归一
一道题,有多种解法,但对不同的解法进行研究后发现:
一些解法其实源于同一个关键性的知识点,或一些解法的思路是一致的,我们对这些解法进行归纳、比较,找到其共同点的过程就是多解归一.
请先完成下例,再看看各解法有何共同点.
例1-2-3如图1-2-3,在△ABC中,延长BC到D,使BC=CD,取AB的中点F,连结FD交AC于点E,求AE:
AC的值.
图1-2-3
交流分享:
这也是一题多解的题目,但它的特点是:
五种不同的解法都源于同一种思路,即“见中点,作中位线,用相似.”
特别地,
(1)过每一个中点,可作两条中位线得相似;
(2)已知两条具有一个公共端点的线段时,连结另外两个端点构造三角形,用中位线定理与相似.
以上的交流分享就在“多解归一”.
多解归一,是抓住数学本质、提升自己能力的关键,是成为数学主人的必须.
体验与感悟01—2
1.题目:
如图1-2-4
,点E是
ABCD的BC边中点,点F在线段AE上,BF的延长线交射线CD于点G,若
=3,求
的值.
(1)尝试探究:
在图1-2-4
中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是_______,CG和EH的数量关系是_______,
的值是_______.
图1-2-4①图1-2-4②图1-2-4③
(2)类比延伸:
如图1-2-4②,在原题的条件下,若
=m(m>0),则
的值是_______(用含m的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移:
如图1-2-4③,在梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC延长线上一点,AE和BD相交于点F,若
=a,
=b(a>0,b>0)则
的值是(用含a,b的代数式表示).
2.如图1-2-5,六边形ABCDE是⊙O的内接正六边形,点P为弧BC上一动点,请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系,并给予证明.
图1-2-5
3.如图1-2-6,已知OA=OB,OA⊥OB,点D、C分别为OA、OB中点.连结AC,BD交于点P.求AP:
PC的值.
图1-2-6
提醒:
请回想一下“归一复习法”是通过哪几种方法抓住“一”来反“三”的.
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