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近世代数考题
近世代数考题整理
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一、二、(45分)
单项选择题和填空题的知识点:
1.任何有限群G的子群H的阶数是G阶数的因子
2.任何素数阶数的群是循环群,而循环群是交换群
3.群的定义是什么?
给出一些集合和集合上的运算,能判断集合关于运算是不是群。
P31-32
第一定义:
一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群
(1)G对于这个乘法来说是闭的
(2)结合律成立
a(bc)=(ab)c,对于G的任意三个元a,b,c都对
(3)对于G的任意两个元a,b来说,方程ax=b和ya=b都在G里有解
第二定义:
一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群
(1)G对于这个乘法来说是闭的
(2)结合律成立
a(bc)=(ab)c,对于G的任意三个元a,b,c都对
(3)G里至少存在一个左单位元e,能让ea=a,对于G的任何元a都成立
(4)对于G的每一个元a,在G里至少存在一个左逆元a-1,能让a-1a=e
4.什么是一个群G的生成元,给出一个子集合会判断该子集是不是子群
若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,我们就把G叫做循环群,也说G是由a所生成,并且用符号G=(a)来表示,a叫做G的一个生成元
P63
5.什么叫做结合律?
给出一个集合和集合上的运算,会判断该运算是不是可结合的。
一个集合A的代数运算o适合结合律,对于A的任意三个元a,b,c来说,都有(aob)oc=ao(boc)
6.已知群G的元素a的阶是n,那么
的阶是
。
7.环、整环、除环、域的定义。
环:
一个集合R叫做环
(1)R是一个加群,R对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群
(2)R对于另一个乘法的代数运算来说是闭的
(3)这个乘法适合结合律:
a(bc)=(ab)c,不管a,b,c是R的哪三个元
(4)两个分配律都成立a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca,不管a,b,c是R的哪三个元
整环:
一个环R叫做整环,假如
(1)乘法适合交换律ab=ba
(2)R有单位元1:
1a=a1=a
(3)R没有零因子:
ab=0→a=0或b=0
a,b可以是R的任意元,整数环是整环
除环:
一个环R叫做一个除环
(1)R至少包含一个不等于零的元
(2)R有一个单位元
(3)R的每一个不等于零的元有一个逆元
域:
一个交换除环叫做一个域
(1)一个除环没有零因子。
(2)一个除环R的不等于零的元对于乘法来说作成一个群R*
8.什么是单位元,什么是一个元的逆元素,单位元和一个元素的逆元素唯一吗?
单位元:
一个环R的一个元e叫做一个单位元。
唯一的单位元
逆元:
一个有单位元环的一个元叫做元a的一个逆元
唯一的逆元
9.什么叫做一个群的左、右陪集,有限群的左、右陪集的个数是什么关系?
群的左陪集:
a~’b,当而且只当b^(-1)a∈H,由这个等价关系~’所决定的类叫做子群H的左陪集,用符号aH表示;
群的右陪集:
右陪集:
a~b,当而且只当ab^(-1)∈H,由这个等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集,用符号Ha表示;
有限群的左右陪集的个数相等
10.环无零因子是什么意思?
一个没有零因子的环R,里面所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的
11.无零因子的特征是什么意思?
一个无零因子环R的非零元的相同的阶叫做环R的特征
12.有限群G的任何元素的阶数都是G阶数的因子。
13.集合的直积是怎么定义的。
设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}。
14.循环群的子群是循环群吗?
是
15.一个集合可以和其真子集建立一一对应吗?
不可以
三、问答题知识点(25分)
1.正规子群,举例说明
一个群G的一个子群H叫做一个不变子群(正规子群),假如对于G的每一个元a来说,都有Na=aN(p70)
例子:
一个任意群G的子群G和e总是不变子群,因为对于任意G的元a来说,Ga=aG=G,ea=ae=a
2.循环群,举例说明
若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,我们就把G叫做循环群;我们也说G是由元a所生成的。
并且用符号G(a)来表示。
A叫做G的一个生成元。
举例:
任意素数阶数的群是循环群。
3.有限域,举例说明
一个只含有限个元素的域叫做一个有限域。
例子:
特征是p的素域就是一个有限域。
5.群的左、右陪集,举例说明
假设一个群G和它的一个子群H,规定G的元a,b中间关系~:
右陪集:
a~b,当而且只当ab^(-1)∈H,由这个等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集,用符号Ha表示;
左陪集:
a~’b,当而且只当b^(-1)a∈H,由这个等价关系~’所决定的类叫做子群H的左陪集,用符号aH表示;
例如:
G={
(1),(12),(13),(23),(132),(123)};H={
(1),(12)};
子群H把群G分成了
H
(1)={
(1),(12)}
H(13)={(13),(123)}
H(23)={(23),(132)}三个右陪集;
子群H把群G分成了
(1)H={
(1),(12)}
(13)H={(13),(123)}
(23)H={(23),(132)}三个左陪集;
6.原根,举例说明
举例:
设p=41,则|Zp*|=40=2^3*5,故a是模41的原根的充要条件是⎺a^8≠⎺1,⎺a^20≠⎺1。
由于⎺1^8=⎺1,⎺2^20=⎺1,⎺3^8=⎺1,⎺4^20=⎺1,⎺5^20=⎺1。
但是⎺6^8=⎺10≠⎺1,⎺6^20=⎺40≠⎺1。
故6是模41的最小原根,Z41*=<⎺6>。
7.等价关系,举例说明
集合A的元间的一个关系~叫做一个等价关系,假如~满足以下规律:
Ⅰ反射律:
a~a,不管a是A的哪一个元
Ⅱ对称律:
a~b→b~a
Ⅲa~b,b~c→a~c
若a~b,我们说a与b等价。
举例:
“等于”是满足这个等价关系的
8.系统同态,举例说明(找不到)
9.检错和纠错(找不到)
10.理想和商环
理想:
环R的一个非空子集μ叫做一个理想子环,简称理想,假如
Ⅰa,b∈μ=>a-b∈μ
Ⅱa∈μ,r∈R=>ra,ar∈μ
商环:
设R是一个环,I是环R的一个理想。
由于I是环R的加群的正规子群,(R/I,+)是交换群,其中R/I={a+I|a∈R}。
定义R/I上的乘法“·”如下:
(a+I)·(b+I)=ab+I,任意a,b∈R。
可以看出(R/I,+,·)是一个环。
我们就将这个环(R/I,+,·)称为环R关于理想I的商环
四、证明题知识点(30分)
1.lagrange定理。
P.69(定理2)
证明过程:
G的阶N是有限的,H的阶n和指数j也都是有限正整数。
G的N个元被分成j个右陪集,而且根据引理:
一个子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一个一一映射,每一个右陪集都有n个元,所以N=nj。
2.例1.P.94
证明过程:
3.定理1p.72
证明过程:
4.定理p.88
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- 近世 代数 考题