届高三理科数学高考 模拟题.docx
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届高三理科数学高考模拟题
2015届高三理科数学高考模拟题
一.选择题:
本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z满足z(1-2i)=4+2i(i为虚数单位),则|z|为(C)
A.1B.
C.2D.
2.设a∈R,则“a=-2”是“直线l1:
ax+2y=0与直线l2:
x+(a+1)y+4=0平行”的(A)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知函数
的导函数
的图象如图1所示,那么函数
的图象最有可能的是(A)
4.为了了解某县今年高考准备报考体育专业的学生的体重情况,将所得的学生体重数据分组整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3小组的频率a,b,c恰成等差数列,若抽取的学生人数是48,则第2小组的频数为( B )
A.6B.12
C.18D.24
5.在正项等比数列
中,
,前
项和为
且
成等差数列,则
的值为(C)
A.125B.126C.127D.128
6.给四面体
的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法共有(A)
A.96B.144C.240
D.360
7.已知图象不间断的函数f(x)是区间[a,b]上的单调函数,且在区间(a,b)
上存在零点.如图是用二分法求方程f(x)=0近似解的程序框图,
判断框内可以填写的内容有如下四个选择:
①f(a)f(m)<0;②f(a)f(m)>0;
③f(b)f(m)<0;④f(b)f(m)>0
其中能够正确求出近似解的是( C )
A.①③B.②③C.①④D.②④
【解析】据二分法求方程近似解的步骤知当f(m)f(a)<0,
即f(m)f(b)>0时,说明根在区间(a,m)内,令b=m,
当f(m)f(b)<0,即f(m)f(a)>0时,说明方程的根在
区间(m,b)内,令a=m,由框图得到当满足判断框中的条件
时将b=m故判断框内的条件为f(m)f(a)<0或f(m)f(b)>0,
故选C
8.已知变量
满足约束条件
若
恒成立,则实数
的取值范围为(C)
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1]D.[-1,1)
9.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,
则几何体的外接球的表面积为(D)
A.
B.
C.
D.
【解析】此几何体是三棱锥P-ABC(直观图如右图),
底面是斜边长为4的等腰直角三角形ACB,且顶点在
底面内的射影D是底面直角三角形斜边AB的中点。
易知,三棱锥P-ABC的外接球的球心O在PD上。
设球O的半径为r,则OD=2
-r,∵CD=2,OC=r,
∴
,解得:
,
∴外接球的表面积为
.
10.已知
为坐标原点,双曲线
的右焦点
,以
为圆心,
为半径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点
、
,若
,则双曲线的离心率
的取值范围为(B)
A.
B.
C.
D.
解析:
取
为
中点,则
等价于
也就是要求点
的横坐标
。
由
解得
,故需
,解得
,则
二.填空题:
本大题共6个小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分)
11.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中
,曲线
的交点的极坐标为。
答案:
12.(不等式选讲选做题)己知
,若
恒成立,利用柯西不等式可求得实数
的取值范围是.
答案:
13.(几何证明选讲选做题)如图,
切圆
于点
,割线
经过圆心
,
,
绕点
逆时针旋转
到
,则
的长为.
答案:
(二)必做题
14.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A;“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B.则P(A|B)的值是.
答案:
15.设常数
.若
的二项展开式中
项的系数为-15,则
___-3____.
16.将5个全等的正方形按如图所示方式放置在一个的矩形OEFG内,
其中顶点P、C、Q、D分别在矩形的四条边上.
(1)设向量
a,
b,以向量a,b为基底,则向量
3b-2a(用向量a,b表示);
(2)若OE=7,OG=8,则图中5个正方形的边长都为
.
【解析】
(1)如图,
3b-2a.(2分)
(2)如图所示建立直角坐标系,设
,则
.
所以
3b-2a=(―2x―3y,3x―2y),
3a+b=(3x―y,x+3y).
因为OE=7,OG=8,则
.
所以
,即正方形的边长为
.(5分)
三、解答题:
本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知
,
,且
.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若
,求△ABC的面积
的最大值.
【解析】(Ⅰ)由
,
,且
可得
,
由正弦定理,得
.
又
,则
.(4分)
因为
,则
.又
,所以
.(6分)
(Ⅱ)因为
,
,
由余弦定理,得
,即
.(8分)
因为
,则
.
所以
,当且仅当
时等号成立.(10分)
所以
,故△ABC的面积S的最大值为
.(12分)
18.(本题满分12分)
如图,在矩形
中,点
分别在线段
上,
.沿直线
将
翻折成
,使平面
.
(Ⅰ)求二面角
的余弦值;
(Ⅱ)点
分别在线段
上,若沿直线
将四边形
向上翻折,使
与
重合,求线段
的长.
解:
(法一)
(Ⅰ)取线段EF的中点H,连结
,因为
及H是EF的中点,所以
又因为平面
.
如图建立空间直角坐标系A-xyz,则
(2,2,
),C(10,8,0),
F(4,0,0),D(10,0,0).
故
=(-2,2,2
),
=(6,0,0).
设
=(x,y,z)为平面
的一个法向量,
取
,则
。
又平面
的一个法向量
,
故
,又由图形观察知二面角
的平面角为锐角
所以二面角的余弦值为
……………………6分
(Ⅱ)解:
设
则
,
因为翻折后,
与
重合,所以
,
故
,得
,
经检验,此时点
在线段
上,
所以
.……………………12分
(法二)
(Ⅰ)解:
取线段
的中点
的中点
连结
.
因为
=
及
是
的中点,
所以
又因为平面
平面
,
所以
平面
又
平面
故
,
又因为
、
是
、
的中点,
易知
∥
,
所以
,
于是
面
,
所以
为二面角
的平面角,
在
中,
=
,
=2,
=
所以
.
故二面角
的余弦值为
.……………………6分
(Ⅱ)解:
设
因为翻折后,
与
重合,
所以
,
而
,
得
,
经检验,此时点
在线段
上,
所以
.……………………12分
19.(本题满分12分)
目前,埃博拉病毒肆虐西非并逐渐蔓延,研究人员将埃博拉的传播路径结合飞机航班数据、埃博拉的潜伏时间等因素,计算出不限飞情况下,亚洲国家中印度、中国、阿联酋、黎巴嫩在一个月后出现输入性病例的概率分别为0.1、0.2、0.2、0.2,假定各国出现输入性病例相互独立.
(1)求上述四国中恰有1个国家出现输入性病例的概率;
(2)从上述四国中任选两国调研疫情,求恰有一国选在西亚(阿联酋、黎巴嫩),一国选在中国和印度中的概率;
(3)专家组拟按下面步骤进行疫情调研,每一步若出现输入性病例则停留下来研究,不再进行下一步调研:
第一步,一次性选取中国和印度两个国家同时进行调研;
第二步,在阿联酋和黎巴嫩两个国家中随机抽取1个国家进行调研;
第三步,对剩下的一个国家进行调研.
求该专家组调研国家个数的分布列及期望.
解:
(1)所述四国中恰有1个国家出现输入性病例的概率为:
.……………………4分
(2)恰有一国选在西亚,一国选在中国和印度中的概率为:
.……………………7分
(3)设该专家组调研国家个数为
,则
的可能取值为2、3和4,由题得:
;
;
故该专家组调研国家个数
的分布列为:
2
3
4
P
0.28
0.144
0.576
该专家组调研国家个数的期望为:
E
=2×0.28+3×0.144+4×0.576=3.296.……………………12分
20.(本题满分13分)
已知数列
的前
项和
(1)设
,求数列
的前
项和
;
(2)是否存在以
为首项,公比为
的等比数列
,
,使得数列
中每一项都是数列
中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列
的通项公式;若不存在,说明理由。
解:
当
时,
,当
时
,
显然
时也符合,故
…………………3分
(1)①当
时,
………………………………5分
②当
时,
所以,
…………………………7分
(2)由
,知数列
中每一项都不可能是偶数.
①如存在以
为首项,公比
为2或4的数列
(
)
此时
中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以
为首项,公比为偶数的数列
………………………10分
②当
时,显然不存在这样的数列
.
当
时,若存在以
为首项,公比为3的数列
,
.
则
,
,
,
所以满足条件的数列
的通项公式为
……………………13分
21.(本题满分13分)
已知点E(m,0)为抛物线
内的一个定点,过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D,且M、N分别是AB、CD的中点
(1)若m=1,k1k2=-1,求三角形EMN面积的最小值;
(2)若k1+k2=1,求证:
直线MN过定点.
21、解析:
(Ⅰ)当
时,E为抛物线
的焦点,
∵
,∴AB⊥CD
设AB方程为
,
由
,得
,
AB中点
,∴
,
同理,点
……2分
∴
……4分
当且仅当
,即
时,△EMN的面积取最小值4.…6分
(Ⅱ)证明:
设AB方程为
,
由
,得
,
AB中点
,∴
,
同理,点
……9分
∴
…11分
∴MN:
,即
∴直线MN恒过定点
.…13分
22.(本小题满分13分)
已知函数
(1)若
,求
的单调区间;
(2)若
由两个极值点
,记过点
的直线的斜率
,问是否存在
,使
,若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
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