等腰直角三角形难题.docx
- 文档编号:5490871
- 上传时间:2022-12-17
- 格式:DOCX
- 页数:48
- 大小:1,018.92KB
等腰直角三角形难题.docx
《等腰直角三角形难题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等腰直角三角形难题.docx(48页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
等腰直角三角形难题
等腰直角三角形难题
一、选择题(共8小题)
1.如图,在等腰直角△ABC中AC=AB,BD丄AH于D,CH丄AH于H,HE、DF分别平分/AHC和/ADB,则下列结论中①△AHC^ABDA;②DF丄HE;③DF=HE;④AE=BF其中,正确的结论有()(只需填写序号)
A.①③④B.①C.①②③D.①②③④
2.(2012?
黄埔区一模)将一个斜边长为近的一个等腰直角三角形纸片(如图1),沿它的对称轴折叠1次后得到另一个等腰直角三角形(如图2),再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到又一个等腰直角三角形(如
图3),若连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形(如图n+1)的斜边长为()
3.如图:
△ABC中,/ACB=90°/CAD=30°AC=BC=AD,CE丄CD,且CE=CD,连接BD,DE,BE,则下列结
5.如图,△ABC中,AC=BC,/ACB=90°AE平分/BAC交BC于E,BD丄AE于D,DM丄AC于M,连CD.下列结论:
①AC+CE=AB;②CdJaE;③/CDA=45°④今単=定值.
IM
6.如图,在等腰RtAABC的斜边AB上取两点M,N,使/MCN=45°记AM=m,MN=n,BN=x,则以线段x、
m、n为边长的三角形的形状是()
B.直角三角形
D.随x、m、n的变化而改变
7.(2006?
)如图,在五边形ABCDE中,/A=/B,/C=/D=/E=90°DE=DC=4,AB=V^,则五边形ABCDE
8.(2010?
鼓楼区二模)小明将一正方形包装纸,剪成图1所示形状,用它包在一个棱长为10的正方体的表面(不
考虑接缝),如图2所示.小明所用正方形包装纸的边长至少为()
A.40B.30+2.二C.20二D.10+10一】二、填空题(共12小题)(除非特别说明,请填准确值)
9.下列说法:
1如图1,△ABC中,AB=AC,/A=45°则厶ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形.
2如图2,△ABC中,AB=AC,/A=36°BD,CE分别为/ABC,/ACB的角平分线,且相交于点F,则图中等腰三角形有6个.
3如图3,△ABC是等边三角形,CD丄AD,且AD//BC,贝UAD==AB.
4如图4,△ABC中,点E是AC上一点,且AE=AB,连接BE并延长至点D,使AD=AC,/DAC=/CAB,贝U
/DBC=*/DAB其中,正确的有(请写序号,错选少选均不得分)
11.一个三角形三个角之比为
/BAC=90°直角/EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点F、则△EFP的面积为平方厘米.
1:
1:
2,则这个三角形的三边比为
12.一个三角形不同顶点的三个外角的度数比是3:
3:
2,则这个三角形是三角形.
13.(2003?
黄浦区一模)已知第一个等腰直角三角形的面积为1,以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二
个等腰直角三角形,又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形,以此类推,第13个等
腰直角三角形的面积是.
14.(2007?
)如图,AD是厶ABC的一条中线,/ADC=45度.沿AD所在直线把△ADC翻折,使点C落在点C
15.如图,在等腰RtAABC中,/C=90°AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE、DF、EF.在此运动变化过程中,有下列五个结论:
①△DFE是等腰直角三角形;②四边形CDFE不可能为正方形;
③DE长度的最小值为4;④四边形CDFE的面积保持不变;
⑤△CDE面积的最大值为&其中正确结论是.
16.(2011?
)如图,已知等腰Rt△ABC的直角边长为I,以RtAABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰RtAACD,
再以RtAACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰RtAADE,…,依此类推到第五个等腰RtAAFG,则由这五个等
腰直角三角形所构成的图形的面积为.
17.已知△ABC的三边长a、b、c满足J己—]+b-1+(u_亠二Q,则厶ABC—定是三角形.
19.(2010?
)已知△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形,以RtAABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰RtAACD,再以RtAACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰RtAADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是_
20.已知△ABC是轴对称图形,且三条高的交点恰好是C点,则△ABC的形状是三、解答题(共6小题)(选答题,不自动判卷)
21.(2010?
一模)
(1)如图1,以等腰直角△ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和厶ACD,M是BC的中点,贝UDE与AM之间的数量关系为;
(2)如图2,以任意直角△ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和厶ACD,M是BC的中点,则DE与AM之间的数量关系为;
(3)如图3,以任意非直角△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和厶ACD,M是BC的中点,试判断DE与AM之间的数量关系,并说明理由;
(4)如图4,若以△ABC的边AB、AC为直角边,向作等腰直角△ABE和厶ACD,其它条件不变,请直接写出线段DE与AM之间的数量关系.
S1S285®\
22.(2010?
平房区一模)如图1,在△ABC中,AC=BC,/ACB=90°点D为AB边中点,以点D为顶点作/PDQ=90°DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F,分别过E、F作AB的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求证:
em+fn=Lac;
2
(2)把/PDQ绕点D旋转,当点E在线段AC的延长线上时(如图2),贝懺段EM、FN、AC之间满足的关系式是
(3)在/PDQ绕点D由图1到图2的旋转的过程中,设DP交直线BC于点G,连接BE,若FG=10,AE=3CE,求BE的长.
23.(2009?
二模)已知在△ABC中,/A=90°AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图,E、F分别是AB,AC上的动点,且BE=AF,求证:
△DEF为等腰直角三角形;
(2)在
(1)的条件下,四边形AEDF的面积是否变化,证明你的结论;
(3)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么△DEF是否仍为等腰直角三角形?
证明你的结论.
24.(2007?
)两个全等的RtAABC和Rt△EDA如图放置,点B、A、D在同一条直线上.
操作:
在图中,作/ABC的平分线BF,过点D作DF丄BF,垂足为F,连接CE.证明BF丄CE.探究:
线段BF、CE的关系,并证明你的结论.
说明:
如果你无法证明探究所得的结论,可以将两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA”改为两个全等的等腰直角△ABC
25.(2009?
德城区)一位同学拿了两块45。
的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动:
将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a.
V
(1)如图1,两个三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为,周长为;
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°得到图2,此时重叠部分的面积为,周长为_
_;
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1,图2的位置,如图3所示,猜想此时重叠部分的面积为多少?
并试着加以验证.
26.(2007?
)已知:
三角形ABC中,/A=90°AB=AC,D为BC的中点,
(1)如图,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:
△DEF为等腰直角三角形;
(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?
证明你的结论.
等腰直角三角形难题
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题)
1.如图,在等腰直角△ABC中AC=AB,BD丄AH于D,CH丄AH于H,HE、DF分别平分/AHC和/ADB,则下列结论中①△AHC^ABDA;②DF丄HE;③DF=HE;④AE=BF其中,正确的结论有()(只需填写序号)
考点:
等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
分析:
1利用同角的余角相等,得/CAH=/ABD,再利用AAS判定△AHCBDA;
2如图,延长BD与AC相交于点M,延长FD、HE,两延长线交于点G,证明CH//BM,同旁角/CHD与/MDH互补,两角的平分线互相垂直;
3利用角平分线的定义,得/EHA=/FDB,又•//EAH=/FBD,AH=BD,得出△EHA◎△FDB,进而得出结论;
4根据△EHABAFDB,得AE=BF.
解答:
解:
①•//CAH+/BAD=90°/ABD+/BAD=90°
•••/CAH=/ABD
又•//CHA=/ADB=90°AC=AB
•△AHC◎△BDA(AAS);
2如图,延长BD与AC相交于点M,延长FD、HE,两延长线交于点G:
/CHD+/HDM=90°90°180°
•CH//BM
•/DF平分/ADB
•DG平分/HDM
又•/HE平分/AHC
•/HGD=90°
•DF丄HE;
3/EHA=2/CHA
2
/FDB=2/ADB
2
又•//CHA=/ADB
•/EHA=/FDB
又•//EAH=/FBD,AH=BD
•△EHA^AFDB
•DF=HE;
4•/△EHA^AFDB
•AE=BF;
故选D.
AFB
点评:
本题考查了全等三角形的判定及其性质,平行线的性质,同角的余角相等等知识.
2.(2012?
黄埔区一模)将一个斜边长为二的一个等腰直角三角形纸片(如图
另一个等腰直角三角形(如图2),再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到又一个等腰直角三角形
图3),若连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形(如图
故选C
点评:
此题考查了等腰直角三角形的性质,以及勾股定理的运用,解题的关键是利用勾股定理分别计算出折叠两次后的等腰三角形的腰长,从中发现规律,此类题目难度较大,属于难题.
需=1.其中正确的是(
3.如图:
△ABC中,/ACB=90°/CAD=30°AC=BC=AD,CE丄CD,且CE=CD,连接BD,DE,BE,则下列结
论:
①/ECA=165°②BE=BC;③AD丄BE;④
考点:
等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
分析:
1根据:
/CAD=30°AC=BC=AD,利用等腰三角形的性质和三角形角和定理即可求出/ECA=165°从而
得证结论正确;
2根据CE丄CD,/ECA=165°利用SAS求证△ACD^△BCE即可得出结论;
3根据/ACB=90°/CAD=30°AC=BC,禾U用等腰三角形的性质和△ACD^△BCE,求出/CBE=30°然后即可得出结论;
4过D作DM丄AC于M,过D作DN丄BC于N.由/CAD=30°,可得CM=*AC,求证△CMDCND,
可得CN=DM=2aC=3bC,从而得出CN=BN.然后即可得出结论.
22
解答:
解:
①I/CAD=30°AC=BC=AD,/•ZACD=/ADC=*(180。
-30°=75°
•/CE丄CD,•••/DCE=90°
•••/ECA=165°••①正确;
2•/CE丄CD,/ECA=165°(已证),
•/BCE=ZECA-/ACB=165-90=75°°
•△ACD◎△BCE(SAS),
•BE=BC,•••②正确;
3•//ACB=90°,/CAD=30°,AC=BC,
•/CAB=/ABC=45°
•/BAD=/BAC-/CAD=45-30=15°,
•/△ACD◎△BCE,
•/CBE=30°
•ZABF=45+30=75°
•/AFB=180-15-75=90°
•AD丄BE.
4证明:
如图,
过D作DM丄AC于M,过D作DN丄BC于N.
•//CAD=30°且DM=-^AC,
•/AC=AD,/CAD=30°•/ACD=75°
•/NCD=90°-/ACD=15°/MDC=/DMC-/ACD=15°
在厶CMD和△CND中,
(ZCMD^ZCND
Zndc=Zncd,
(CD=CD
•△CMD◎△CND,
•CN=DM=2aC=ZbC,
22
•CN=BN.
•/DN丄BC,
•BD=CD.•④正确.
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
考点:
等腰直角三角形.专题:
网格型;规律型.
分析:
以格点为端点的线段长度可取8个数值:
1,2,2,3.以这些线段组成的等腰直角三角形的斜边有以下四
种情况V22,栖,皿i;然后按斜边长分四类来进行计数即可.
解答:
解:
(1)当斜边长为一:
时,斜边一定是小正方形的对角线,这样的线段有12条,
每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形,共有2X2=24(个).
同理
(2)当斜边长为2时,共有6+2>4=14(个).
(3)当斜边长为2•时,共有2用=8(个).
(4)当斜边长为li时,共有4(个).
综上所述,满足要求的等腰直角三角形共有24+14+8+4=50(个).
故选D.
点评:
(1)利用分类讨论的数学思想求解时,一定要做到分类既不重复,又不遗漏;
(2)请读者尝试以下两种思
路解答本题:
①以等腰直角三角形的直角边的不同情况来分类讨论求解;②利用轴对称图形的对称性求解.
5.如图,△ABC中,AC=BC,/ACB=90°AE平分/BAC交BC于E,BD丄AE于D,DM丄AC于M,连CD.下列结论:
①AC+CE=AB;②CD=4aE;③/CDA=45°④型単=定值.
2AX
考点:
等腰直角三角形;三角形角和定理;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等
腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
专题:
证明题.
分析:
过E作EQ丄AB于Q,作/ACN=/BCD,交AD于N,过D作DH丄AB于H,根据角平分线性质求出CE=EQ,DM=DH,根据勾股定理求出AC=AQ,AM=AH,根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE,即可求出①;
根据三角形外角性质求出/CND=45°°证厶ACN◎△BCD,推出CD=CN,即可求出②③;证
△DCM◎△DBH,得到CM=BH,AM=AH,即可求出④.
解答:
解:
过E作EQ丄AB于Q,
•//ACB=90°AE平分/CAB,
•••CE=EQ,
•//ACB=90°AC=BC,
•/CBA=/CAB=45°°
•/EQ丄AB,
•/EQA=/EQB=90°
由勾股定理得:
AC=AQ,
•/QEB=45°/CBA,
•EQ=BQ,
•AB=AQ+BQ=AC+CE,•①正确;
作/ACN=/BCD,交AD于N,
CAB=22.5°/BAD,
•/DBA=90°-22.5°=67.5°°
•/DBC=67.5°-45°22.5°/CAD,
•/DBC=/CAD,
-AC=BC,/ACN=/DCB,
•△ACN◎△BCD,
•CN=CD,
-/ACN+/NCE=90°°
•/NCB+/BCD=90°°
•/CND=/CDN=45°°
•/ACN=45°-22.5°22.5°/CAN,
•AN=CN,
•/NCE=/AEC=67.5°°
•CN=NE,
•CD=AN=EN=
•②正确,③正确;
过D作DH丄AB于H,
•//MCD=/CAD+/CDA=67.5°°
/DBA=90°-/DAB=67.5°°
•/MCD=/DBA,
•/AE平分/CAB,DM丄AC,DH丄AB,
•DM=DH,
在△DCM和△DBH中
/M=/DHB=90°°/MCD=/DBA,DM=DH,
•△DCM◎△DBH,
•BH=CM,
由勾股定理得:
AM=AH,
AC+AB
AOAH+BH
AC-FAM+CH
=
AK
AN
•••④正确;
故选D.
点评:
本题主要考查对三角形的外角性质,三角形的角和定理,等腰三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质,全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
6.如图,在等腰RtAABC的斜边AB上取两点M,N,使/MCN=45°记AM=m,MN=n,BN=x,则以线段x、
m、n为边长的三角形的形状是()
B.直角三角形
D.随x、m、n的变化而改变
考点:
等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质.
专题:
几何综合题.
分析:
把厶ACN绕C点逆时针旋转45°得△CBD,这样/ACM+/BCN=45。
就集中成一个与/MCN相等的角,在一条直线上的m、x、n集中为△DNB,只需判定△DNB的形状即可.
解答:
解:
如图:
作△ACMBCD,
•/ACM=/BCD,CM=CD,/MCN=/NCD=45°,又•/CN=CN,
•△MNC◎△DNC,MN=ND,AM=BD=m,
又/DBN=45°45°90°
222
二n=m+x.
点评:
本题考查等腰直角三角形的性质,难度较大,注意掌握旋下列情形常实施旋转变换:
(1)图形中出现等边
三角形或正方形,把旋转角分别定为60°90°
(2)图形中有线段的中点,将图形绕中点旋转180°构造
中心对称全等三角形;(3)图形中出现有公共端点的线段,将含有相等线段的图形绕公共端点,旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合.
7.(2006?
)如图,在五边形ABCDE中,/A=/B,/C=/D=/E=90°DE=DC=4,AB=U^,则五边形ABCDE的周长是()
考点:
等腰直角三角形;多边形角与外角.专题:
压轴题.
分析:
可连接CE,作AF丄CE,BG丄CE于F、G,根据多边形的角和定理和等腰直角三角形的性质即可求出AB、
ae+bc,进而求出答案.
解答:
解:
连接CE,作AF丄CE,BG丄CE于F、G,
根据五边形的角和定理和已知条件,可得△CDE,△AEF,△BCG都是等腰直角三角形,
则CE=4一;
•••FG=AB=:
:
•••AE+BC=3|;:
j打X:
':
=6,
所以五边形的周长是4+4+6+.1=14+:
/.
8.(2010?
鼓楼区二模)小明将一正方形包装纸,剪成图1所示形状,用它包在一个棱长为10的正方体的表面(不
考虑接缝),如图2所示.小明所用正方形包装纸的边长至少为()
A.40B.30+2.二C.20二D.10+10一■:
考点:
等腰直角三角形.
分析:
所求正方形的边长即为AB的长,在等腰RtAACF、△CDE中,已知了CE、DE、CF的长均为10,根据等腰直角三角形的性质,即可求得AC、CD的长,由AB=AC+CD+BD即可得解.
解答:
解:
如图;连接AB,则AB必过C、D;
Rt△ACF中,AC=AF,CF=10;
贝UAC=AF=5一■-;
同理可得BD=5〔J;
Rt△CDE中,DE=CE=10,贝UCD=10二;
所以AB=AC+CD+BD=20.二;故选C.
点评:
二、填空题(共12小题)(除非特别说明,请填准确值)
9.下列说法:
1如图1,△ABC中,AB=AC,/A=45°则厶ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形.
2如图2,△ABC中,AB=AC,/A=36°BD,CE分别为/ABC,/ACB的角平分线,且相交于点F,则图中等腰三角形有6个.
3如图3,△ABC是等边三角形,CD丄AD,且AD//BC,贝UAD=-;AB.
4
/DBC)/DAB其中,正确的有(请写序号,错选少选均不得分)
如图4,△ABC中,点E是AC上一点,且AE=AB,连接BE并延长至点D,使AD=AC,/DAC=/CAB,贝U
考点:
等腰直角三角形;角平分线的定义;三角形角和定理;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;等
腰三角形的判定与性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形.
专题:
证明题.
分析:
不管过A(或过B或过C)作直线,都不能把三角形ABC分成两个等腰三角形,即可判断①;求出/A=/ABD=/DBC=/ACE=/BCE=36°根据三角形的角和定理求出三角形其余角的度数,根据等腰三角形的判定定理推出边相等,即可判断②;求出/ACD=30。
,根据含30度角的直角三角形性质求出AD=^AC,即可判断③;过C作CF/BD交AB的延长线于F,连接DC,EF,求出EF=BC,证三角形全等推出DE=EF,DC=CF,推出CD=BC,推出/CDB=/CBD,根据三角形的角和定理求出/CDB=/CAB即可.
解答:
解:
若厶ABC中,AB=AC,/A=4
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 等腰 直角三角形 难题