学生版23 函数的奇偶性与周期性.docx
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学生版23函数的奇偶性与周期性
§2.3 函数的奇偶性与周期性
最新考纲
考情考向分析
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主,常与函数的单调性、周期性交汇命题,加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识,题型以选择、填空题为主,中等偏上难度.
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
知识拓展
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:
奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
,则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=-
,则T=2a(a>0).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( )
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( )
(5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( )
题组二 教材改编
2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=________.
3.[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=
则f
=______.
4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为________.
题组三 易错自纠
5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-
B.
C.-
D.
6.偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________.
题型一 判断函数的奇偶性
典例判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=
解
思维升华判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
跟踪训练
(1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+sin2xB.y=x2-cosx
C.y=2x+
D.y=x2+sinx
(2)函数f(x)=lg|sinx|是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
题型二 函数的周期性及其应用
1.若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=
则f
+f
=________.
2.(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)=________.
思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值.
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 求函数值或函数解析式
典例
(1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f
(2)=________.
(2)(2016·全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则f(x)=________.
命题点2 求参数问题
典例
(1)设函数f(x)=
为奇函数,则k=____.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=
其中a,b∈R.若f
=f
,则a+3b的值为________.
命题点3 利用函数的性质解不等式
典例
(1)已知定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
<0,则( )
A.f(3) (1)B.f (1) C.f(-2) (1) (1) (2)若f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,又f(-2)=0,则x·f(x)<0的解集为____________. 思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便: ①f(x)为偶函数⇔f(x)=f(|x|).②若奇函数在x=0处有意义,则f(0)=0. 跟踪训练 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,若f(lgx)<0,则x的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1,10) C.(1,+∞)D.(10,+∞) (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25) B.f(80) C.f(11) D.f(-25) 函数的性质 考点分析函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题. 一、函数性质的判断 典例1 (1)(2017·北京)已知函数f(x)=3x- x,则f(x)( ) A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数 (2)(2017·荆州模拟)下列函数: ①y=sin3x+3sinx;②y= - ; ③y=lg ;④y= 其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 (3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x).现有以下三个命题: ①8是函数f(x)的一个周期;②f(x)的图象关于直线x=2对称;③f(x)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 解析 二、函数性质的综合应用 典例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的实数x,f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=-x2,则f 等于( ) A.- B.- C. D. (2)函数f(x)=log2 在[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________. (3)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(- ),则a的取值范围是________. 1.下列函数为偶函数的是( ) A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x . 2.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 3.(2017·江西南城一中模拟)已知R上的奇函数f(x)满足: 当x>0时,f(x)=x2+x-1,则f(f(-1))等于( ) A.-1B.1C.2D.-2 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为4,且当x∈ 时, f(x)=log2(-3x+1),则f(2021)等于( ) A.4B.2C.-2D.log27 5.若f(x)=ex-ae-x为奇函数,则f(x-1)<e- 的解集为( ) A.(-∞,2)B.(-∞,1) C.(2,+∞)D.(1,+∞) 6.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+1)=-f(x),且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是( ) A.f(0)<f(-6.5)<f(-1) B.f(-6.5)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) D.f(-1)<f(0)<f(-6.5) 7.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________. 8.已知函数f(x)在R上为奇函数,且当x>0时,f(x)= +1,则当x<0时,f(x)=____________. 9.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件: ①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f +f (1)+f +f (2)+f =________. 10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(lnt)+f ≤2f (1),那么t的取值范围是________. 11.已知函数f(x)= 是奇函数. (1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 解 12.设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x. (1)判断f(x)的奇偶性; (2)试求出函数f(x)在区间[-1,2]上的表达式. 解 13.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0,f(x+2)= ,对任意x∈R恒成立,则f(2019)等于________. 14.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有 ①2是函数f(x)的周期; ②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数f(x)的最大值是1,最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________. 15.(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________. 16.已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值. (1)求实数a的取值范围; (2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.
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