郑州暑期七升八数学北师大版专用资料4.docx
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郑州暑期七升八数学北师大版专用资料4
第十三讲矩形、正方形
一、【基础知识精讲】
(一)矩形:
有一个角为直角的平行四边形叫矩形.
1.矩形的性质:
(1)具有平行四边形的一切性质.
(2)矩形的四个内角是直角.
(3)矩形的对角线相等且互相平分.
2.矩形的判定方法:
(1)有一个内角是直角的平行四边形是矩形
(2)对角线相等的平行四边形为矩形.
(3)三个角是直角的四边形是矩形.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(二)正方形:
有一组邻边相等的矩形叫正方形.(或有一个角是直角的菱形叫正方形)
1.正方形的性质:
由于正方形既是特殊的平行四边形,又是特殊的矩形和菱形,
它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.
因此,正方形具有以下性质:
(1)对边平行,四条边都相等.
(2)四个角都是直角.
(3)两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
2.正方形的判定方法:
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
二、【例题精讲】
例1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是()
A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分
例2.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线所成锐角的度数为__.
例3.四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,能判定这个四边形是正方形的是()
A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BDB.AB∥CD,AC⊥BD
C.AD∥BC,∠A=∠CD.AO=CO,BO=DO,AB=BC
例4.矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线与短边的和为15,
则对角线长为_______,短边长为_______.
例5.正方形的一条边长是3,那么它的对角线长是_______.
例6.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,
垂足分别为E、F.求证:
四边形CFDE是正方形.
三、【同步练习】A组
一、选择题
1.两条平行线被第三条直线所截,两组内错角的平分线相交所成的四边形是()
A.一般平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
2.在矩形ABCD的边AB上有一点E,且CE=DE,若AB=2AD,则∠ADE等于()
A.45°B.30°C.60°D.75°
3.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分,则该矩形的周长是()
A.16B.22C.26D.22或26
4.在正方形ABCD中,AB=12cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长是()
A.12+12
B.12+6
C.12+
D.24+6
二、填空题
1.延长等腰△ABC的腰BA到D,CA到E,分别使AD=AB,AE=AC,
则四边形BCDE是________,其判别根据是_______.
2.矩形ABCD的周长是56cm,它的两条对角线相交于O,△AOB的周长比△BOC的
周长少4cm,则AB=_______,BC=_______.
3.在一正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而得到一个小正方形,
若小正方形的边长为1,那么所截的三角形的直角边长是________.
三、解答题
1.在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,且AB=CD,四边形ABCD是矩形吗?
为什么?
2.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗?
说明理由.
3.E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD的度数.
B组
1.矩形的边长为10cm和15cm,其中一个内角平分线分长边为两部分,
这两部分为______________.
2.E是正方形ABCD边BC延长线上的一点,CE=CA,AE交CD于F,则∠AFC=____.
3.M为□ABCD的边AD的中点,且MB=MC,你能说明□ABCD一定为矩形吗?
写出你的说明过程.
第十四讲几种特殊平行四边形的关系
一、【基础知识精讲】
(一)正方形,矩形,菱形,平行四边形的关系
(二)几种特殊平行四边形的性质
边
角
对角线
平行
四边形
对边平行
且相等
对角相等
两条对角线互相平分
矩形
对边平行
且相等
四个角都是直角
两条对角线相等且互相平分
菱形
对边平行,
四条边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
正方形
对边平行,
四条边相等
四个角
都是直角
两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
(三)几种特殊平行四边形的常用判定方法
平行四边形
(1)两组对边分别平行;
(2)两组对边分别相等;
(3)一组对边平行且相等;
(4)两条对角线互相平分;
(5)两组对角分别相等。
矩形
(1)有三个是直角;
(2)是平行四边形且有一个角是直角;
(3)是平行四边形且两条对角线相等。
菱形
(1)四条边都相等;
(2)是平行四边形且有一组邻边相等;
(3)是平行四边形且两条对角线互相垂直。
正方形
(1)是矩形,且有一组邻边相等;
(2)是菱形,且有一个角是直角。
二、【典例精讲】
例1、
(1)菱形的边长为5,一条对角线长为8,另一条对角线长为_________.
(2)在正方形ABCD中,AB=12cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长
是___________cm.
(3)如图,正方形的对角线长是10cm,M是AB边上一点,
且ME⊥AC于点E,MF⊥BD于点F,则ME+MF=______.
(4)如图所示,正方形
的面积为12,
是等边
三角形,点
在正方形
内,在对角线
上有一点
,使
的和最小,则这个最小值为()
A.
B.
C.3D.
(5)如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边
AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=()
A.35°B.45°C.50°D.55
例3.如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F。
(1)求证:
OE=OF.
(2)如下右图,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于
点F,其他条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由。
【同步练习】A组
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是()
A对角线相等B对角线互相平分
C对角线平分一组对角D对角线互相垂直
2.对角线相等且互相平分的四边形是()
A.一般四边形B.菱形C.矩形D.正方形
3.如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,
,则
的大小是()
A.70°B.110°C.140°D.150°
4.如图,正方形
内有两条相交线段MN、EF、M、N、E、F
分别在边AB、CD、AD、BC上。
小明认为:
若
则
.
小亮认为:
若
,则
.
你认为()
A.仅小明对 B.仅小亮对C.两人都对 D.两人都不对
5.已知矩形ABCD中,对角线AC,BD交于O点,∠AOB=2∠BOC,AC=18cm,
则AD=cm.
B组
1.(2009四川达州),在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为多少?
(结果不取近似值).
第十五讲梯形
一、【基础知识精讲】
1.梯形的定义:
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
2.梯形的元素:
(1)梯形的底:
梯形中平行的两边叫做梯形的底,
通常把较短的底叫上底,较长的底叫下底.
(2)梯形的腰:
梯形中不平行的两边叫梯形的腰.
(3)梯形的高:
梯形两底的距离是梯形的高.
3.特殊梯形的定义:
(1)等腰梯形:
两腰相等的梯形
(2)直角梯形:
一腰垂直于底的梯形.
4等腰梯形的性质①从角看:
等腰梯形同一底上的两个内角相等;
②从边看:
等腰梯形两腰相等;
③从对角线看:
等腰梯形两条对角线相等。
5.等腰梯形的判定:
(1)两条腰相等的梯形是等腰梯形.
(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.
二、【例题精讲】
例1.四边形的四个内角的度数比依次是2:
3:
3:
4,则这个四边形是( )
A.等腰梯形B.直角梯形C.平行四边形D.不能确定
例2.若等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC、BD相交于点O,图中全等三角形共有_____对;若梯形ABCD为一般梯形,那么图中面积相等的三角形共有__对.
例3.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,CD=10cm,BC=2AD,
则梯形的面积为_______.
例4.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,M、N分别为CD和AB的中点,且MN⊥AB.
求证:
四边形ABCD是等腰梯形.
例5..已知:
梯形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,则S梯形ABCD是S△ABE的2倍吗?
为什么?
三、【同步练习】A组
一、选择题
1.下列说法正确的是()
A.一组对边平行的四边形是梯形
B.有两个角是直角的四边形是直角梯形
C.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形
D.一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形
2.以线段a=16,b=13为梯形的两底,c=10,d=6为腰画梯形,这样的梯形()
A.只能画出一个B.能画出2个C.能画出无数个D.不能画出
3.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,若∠D=110°,∠ACD=30°,则∠BAC等于()
A.80°B.90°C.100°D.110°
4.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于E,且AE=AD,BC=3AD,则∠B等于()
A.30°B.45°C.60°D.135°
二、填空题
1.梯形的上底长为5cm,将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20cm,那么梯形的周长为_______.
2.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=8,BC=11,则CD=_______.
3.等腰梯形的腰长为5cm,上、下底的长分别为6cm和12cm,则它的面积为_______.
4.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,CD=10cm,BC=2AD,
则梯形的面积为_______.
5.等腰梯形的腰长为5cm,上、下底的长分别为6cm和12cm,则它的面积为_______.
三、解答题
1.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,延长AB到E,使BE=DC,
连结AC、CE,你能用几种方法说明AC与CE相等?
请你写出一种推理过程.
2.在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,若AD=2,BC=8,BD=6,
求:
(1)对角线AC的长;
(2)梯形ABCD的面积.
3.如图,欲用一块面积为800cm2的等腰梯形彩纸作风筝,用竹条作梯形的对角线且对角线恰好互相垂直,那么需要竹条多少厘米?
4.如图,在梯形ABCD,AD‖BC.BD=CD,∠BDC=90°,AD=3,BC=8,求
的长.
5.如图,在梯形ABCD中,∠B=90º,∠C=90º,AD=1,BC=4,
AD‖BC,E为AB的中点,EF‖CD交BC于点F,求EF的长.
第十六讲多边形的内角和与外角和
一、【基础知识精讲】
1.多边形的定义:
在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
2.多边形内角和定理:
n边形的内角和等于(n-2)·180°.
3.多边形外角与外角和定理
(1)多边形外角:
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角,
叫做这个多边形的外角.
(2)多边形外角和:
在多边形的每一个顶点处取多边形一个外角,它们的和,
叫做多边形的外角和.
(3)外角和定理:
任意多边形的外角和等于360°.
4.多边形的对角线
(1)从n边形的一个顶点,可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形.
(2)n边形共有
条对角线.
5.多边形边数与内、外角和的关系
(1)多边形内角和与边数成正比:
边数增加,内角和增加;边数减少,内角和减少;每增加一条边,内角和增加180°,反过来也成立.
(2)多边形外角和恒等于360°,与边数多少无关.
6.正多边形:
在平面内,内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形.
7.平面图形的密铺:
(1)用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的密铺,又称作平面图形的镶嵌.
(2)密铺需满足的条件是:
在一个拼接点处有m个角,这些角的和应为360°
(3)任意的正三角形、正四边形、正六边形都可密铺,其他正多边形都不能密铺.
二、【例题精讲】
例1从多边形的一个顶点引对角线来探索多边形的内角和
三角形(3边)四边形(4边)五边形(5边)六边形(6边)
边数
图形
从某顶点出发的对角线条数
划分成的三角形个数
多边形的内角和
3
0
1
1×180°
4
1
2
2×180°
…
…
…
…
…
n
例2从多边形的一条边上任意一点(除两端点外)与各顶点连线,总结多边形内角和,
你会得到什么样的结论?
三角形(3边)四边形(4边)五边形(5边)六边形(6边)
边数
图形
划分成的三角形个数
多边形的内角和
3
2
2×180°-180°
4
3
3×180°-180°
5
…
…
…
…
n
例3多边形内任意一点连接各顶点,总结多边形内角和,你会得到什么样的结论?
三角形(3边)四边形(4边)五边形(5边)六边形(6边)
边数
图形
划分成的三角形个数
多边形的内角和
3
3
3×180°-360°
4
4
4×180°-360°
5
…
…
…
…
n
例3:
一个多边形的内角和为2520°,则多边形的边数为
例4:
一个正方形缺去一个角后内角和为多少度?
例5:
一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是几边形?
三、【同步练习】A组
1.n边形的内角和等于,九边形的内角和等于___________。
2.如果一个多边形的内角和是1440度,那么这是边形。
3.一个正多边形其周长为96,且内角和为1800°则这个多边形的边长为。
4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条,这个多边形内角和等于。
5.已知多边形的每个内角都等于150°,求这个多边形的边数?
6.一个多边形的外角都等于60°,这个多边形是几边形?
7.在四边形的四个内角中,最多能有几个钝角?
最多能有几个锐角?
B组
1.清晨,小明沿一个五边形广场周围的小跑,按逆时针方向跑步.
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时,身体转过的角是哪个角?
在图中标出它们.
(2)他每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少?
(3)在上图中,你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗?
你是怎样得到的?
2.过某个多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成5个三角形。
这个多边形是几边形?
它的内角和是多少?
3、如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,
(1)若∠DAC=2∠BAC,则∠DBC=3∠BDC,说明理由.
(2)试猜想,当则∠DAC=3∠BAC,∠DAC=4∠BAC,…,∠DAC=n∠BAC时,∠DBC与∠BDC有何关系?
并说明理由。
第十七讲中心对称图形
一、【基础知识精讲】
1.中心对称图形定义:
把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合.
那么这个图形叫作中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
2.中心对称图形的基本性质:
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.
3.中心对称的定义:
把一个图形围绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这点对称.这个点叫做对称中心,两个图形关于点对称也称中心对称.这两个图形的对应点叫作关于中心的对称点.
4.中心对称的判定:
如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称.
5.中心对称的性质:
①关于中心对称的两个图形是全等形;
②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心;
③关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等.
6.中心对称与中心对称图形的区别和联系:
区别:
(1)中心对称是指两个图形的关系,中心对称图形是指一个具有某种性质的图形;
(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上,中心对称图形的对称点在一个图形上.
联系:
若把中心对称图形的两部分看成两个图形,则它们成中心对称;
若把中心对称的两个图形看成一个整体,则成为中心对称图形.
7.中心对称和轴对称对照:
中心对称
轴对称
定义
把一个图形绕某个点旋转180°,如果能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点成中心对称,这个点叫作对称中心.
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴
例子
线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形
线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形
二、【例题精讲】
例1:
在数字0123456789中,哪些是中心对称图形?
例2:
下列图形中对称轴最多的是()
A.圆B.正方形C.等腰三角形D.线段
例3:
小明用如右图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上.下列给出的四个图正确的是()
例4:
下面对下图的判断正确的是()
A.非对称图形
B.既是中心对称图形,又是轴对称图形
C.是轴对称图形,非中心对称图形
D.是中心对称图形,非轴对称图形
例5:
如下图,如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD
重合,那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点有_________个.
三、【同步练习】A组
一、选择题
1.下列语句正确的是()
A.线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合,那么线段是中心对称图形
B.正三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合,
那么正三角形是中心对称图形
C.正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合,则正方形是中心对称图形
D.正五角星绕着它的中心旋转72°后与原图形重合,则正五角星是中心对称图形
2.下列图形中是中心对称图形,而不是轴对称图形的是()
A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.菱形
3.在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中,既是中心对称图形又是轴对称图形的
图形个数为()
A.1B.2C.3D.4
4.菱形、矩形、正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形,它们的对称中心只有一个,而对称轴的个数依次是()
A.1,1,1B.2,2,2C.2,2,4D.4,2,4
5.如果一个图形有两条互相垂直的对称轴,那么这个图形()
A.只能是轴对称图形B.不可能是中心对称图形
C.一定是轴对称图形,也一定是中心对称图形
D.一定是轴对称图形,但无法判别是中心对称图形
二、填空题
6.如图,线段AB、CD互相平分于点O,过O作EF交AC于E,交BD于F,则这个图形是中心对称图形,对称中心是O.指出图形中的对应点_______,对应线段_______,对应三角形_______.
7.一个正方形绕着它的中心至少旋转________度,能够和原图形重合.
8.中心对称图形的对应点连线经过_______,并且被_______平分.
9.中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是__________.
10.已知六边形ABCDEF是中心对称图形,AB=1,BC=2,CD=3,那么EF=_______.
三、解答题
11.已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形(如图),画出六边形ABCDEF的全部图形,并指出所有的对应点和对应线段.
12.作出与已知△ABC关于顶点A成中心对称图形的△AB,C,,你能说明四边形B,\C,,BC
是平行四边形吗?
B组
1.如图,线段AC、BD相交于点O,且AB∥CD,AB=CD,此图形是中心对称图形吗?
试说明你的理由.
2.如图,四边形ABCD是关于点O的中心对称图形,请你说明四边形ABCD一定
是平行四边形.
3.如下图,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′
重合,若PB=3,则PP′=_________.
4.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是_________.
家庭作业
姓名:
一、选择题:
1、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
2、下列判别中,正确的是()
A、正三角形是中心对称图形B、五角星一定是中心对称图形
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形D、正n边形(n>2)都是中心对称图形
二、填空题
在黑体的26个英文字母中,将相应的字母填入表中适当的空格内.
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
三、解答题
试作出下图以点O为对称中心的中心对称图形的另一部分。
O
·
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