苏锡常镇届高三三模数学试题及答案.docx
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苏锡常镇届高三三模数学试题及答案
2019届高三年级第三次模拟考试(十八)
数学(满分160分,考试时间120分钟)
参考公式:
圆锥的侧面积公式:
S=cl,其中c是圆锥底面的周长,l为母线长.
圆锥的体积公式:
V=Sh,其中S为圆锥的底面积,h为高.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合A={x|x<1},B={x|0 2.已知复数z=,其中i是虚数单位,则|z|=________. 3.已知双曲线C的方程为-y2=1,则其离心率为________. 4.根据如图所示的伪代码,最后输出的i的值为________. 5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3,现按年级用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高三年级的学生数为15,则抽取的样本容量为________. 6.不透明的口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4.若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________. 7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a6=2a2,则=________. 8.函数f(x)=cos(ω>0)的图象关于直线x=对称,则ω的最小值为________. 9.已知正实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________. 10.已知偶函数f(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上为增函数,则不等式f(3x)>f(x2+2)的解集为________. 11.过直线l: y=x-2上任意一点P作圆C: x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,当切线长最小时,△PAB的面积为________. 12.已知点P在曲线C: y=x2上,曲线C在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则点P的纵坐标为________. 13.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠CAB=90°,AB=2,以AB为直径在△ABC外作半圆O,P为半圆弧AB上的动点,点Q在斜边BC上,若·=,则·的最小值为________. 14.已知e为自然对数的底数,函数f(x)=ex-ax2的图象恒在直线y=ax上方,则实数a的取值范围为________. 二、解答题: 本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 如图,在三棱锥PABC中,过点P作PD⊥AB,垂足为D,E,F分别是PD,PC的中点,且平面PAB⊥平面PCD.求证: (1)EF∥平面ABC; (2)CE⊥AB. 16.(本小题满分14分) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=. (1)求角A的大小; (2)若cos=,求cosC的值. 17.(本小题满分14分) 某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器. (1)若该容器的底面半径为6米,求该容器的表面积; (2)当容器的高为多少米时,制造该容器的侧面用料最省? 18.(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0),右准线方程为x=4.过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P,交椭圆C的右准线于点D.直线A2D与椭圆C的另一交点为G,直线OG与直线A1D交于点H. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若HG⊥A1D,试求直线A1D的方程; (3)如果=λ,试求λ的取值范围. 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=x2+(2-a)x-alnx,其中a∈R. (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1,求实数a的值; (2)若函数f(x)的极小值不超过,求实数a的最小值; (3)对任意x1∈[1,2],总存在x2∈[4,8],使得f(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知数列{an}是各项都不为0的无穷数列,对任意的n≥3,n∈N*,a1a2+a2a3+…+an-1an=λ(n-1)a1an恒成立. (1)如果,,成等差数列,求实数λ的值; (2)已知λ=1. ①求证: 数列是等差数列; ②已知a1≠a2,数列{bn}是公比为q的等比数列,满足b1=,b2=,b3=(i∈N*).求证: q是整数,且数列{bn}中的任意一项都是数列中的项. 2019届高三年级第三次模拟考试(十八) 数学附加题 (满分40分,考试时间30分钟) 21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2: 矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A=,其逆矩阵A-1=,求A2. B.[选修4-4: 坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l上的两点M,N的极坐标分别为(2,0),,求直线l被曲线C截得的弦长. C.[选修4-5: 不等式选讲](本小题满分10分) 已知正数a,b,c满足a+b+c=2.求证: ++≥1. 【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C: y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点. (1)求线段AF的中点M的轨迹方程; (2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍,求直线l的方程. 23.(本小题满分10分) 已知数列{an},a1=2,且an+1=a-an+1对任意n∈N*恒成立.求证: (1)an+1=anan-1an-2…a2a1+1(n∈N*); (2)an+1>nn+1(n∈N*). 2019届高三年级第三次模拟考试(十八)(苏锡常镇) 数学参考答案 1.(0,1) 2.1 3. 4.8 5.55 6. 7. 8. 9.11 10.(-2,-1)∪(1,2) 11. 12.1 13.- 14.(-2e-1,0] 15. (1)在三棱锥PABC中, 因为E,F分别是PD,PC的中点, 所以EF为△PCD的中位线,(2分) 所以EF∥CD.(3分) 又EF⊄平面ABC,CD⊂平面ABC, 所以EF∥平面ABC.(7分) (2)因为平面PAB⊥平面PCD,平面PAB∩平面PCD=PD,AB⊥PD,AB⊂平面PAB, 所以AB⊥平面PCD.(11分) 又CE⊂平面PCD,所以AB⊥CE.(14分) 16. (1)由正弦定理==,且=.(1分) 得=,(2分) 所以sinA=2-cosA, 即sinA+cosA=2,2sin=2, 所以sin=1.(4分) 因为A∈(0,π),所以A+∈, 所以A+=,即A=.(6分) (2)在△ABC中,因为A=, 所以B∈, B+∈,则sin>0. 又因为cos=,所以sin==.(8分) 因为在△ABC中,A+B+C=π, 所以cosC=cos(π-A-B)=-cos(A+B)=-cos(10分) =-cos=-coscos+sinsin =-×+×=.(14分) 17.设圆锥形容器的底面半径为r米,高为h米,母线为l米,侧面积为S平方米,容积为V立方米,则V=36π. (1)由r=6,得V=πr2h=36π,则h=3,(1分) 所以S=πrl=πr=6π=18π,(2分) 又底面积为πr2=36π(平方米),(3分) 故该容器的表面积为18π+36π=18(2+)π平方米.(4分) 答: 该容器的表面积为18(2+)π平方米.(5分) (2)因为V=πr2h=36π, 所以r2==,其中h>0, 所以S=πrl=πr=π =π=π =π.(8分) 记f(h)=+h,令f′(h)=-+1==0,得h=6.(10分) 当h∈(0,6)时,f′(h)<0,f(h)在(0,6)上单调递减; 当h∈(6,+∞)时,f′(h)>0,f(h)在(6,+∞)上单调递增,(12分) 所以当h=6时,f(h)最小,此时S最小.(13分) 答: 当容器的高为6米时,制造容器的侧面用料最省.(14分) 18. (1)由椭圆C的左、右顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0),右准线方程为x=4得, a=2,=4,故c=1,b2=a2-c2=3,(2分) 所以椭圆C的方程为+=1. ①(3分) (2)设直线A1D: y=k(x+2)(k>0)②,则与右准线x=4的交点D(4,6k). 又A2(2,0),所以设直线A2D: y=3k(x-2), 联立①得 解得G,(5分) 则直线OG的斜率为kOG=.③ 因为OG⊥A1D,所以·k=-1. 又k>0,所以k=,(7分) 则直线A1D的方程为y=(x+2).(8分) (3)由 (2)中③知,设直线OG: y=x, 联立②得 解得H.(10分) 联立①②,得 解得P.(12分) 因为=λ, 所以(xH+2,yH)=λ(xP+2,yP),则yH=λyP, λ==f(k)====.(14分) 因为f(k)在(0,+∞)上为减函数,(15分) 所以λ∈.(16分) 19.因为f(x)=x2+(2-a)x-alnx, 所以f′(x)=.(1分) (1)因为曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1, 所以f′ (1)=2(2-a)=1, 解得a=.(2分) (2)①当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增, 故函数f(x)不存在极值.(3分) ②当a>0时,令f′(x)=0,得x=. (5分) 则f(x)min=f=a--aln≤. 因为a>0,所以--ln≤0. 令g(a)=--ln=+ln2--lna,则g′(a)=--<0, 则g(a)在(0,+∞)上单调递减,(7分) 又g (2)=0,所以g(a)≤g (2)=0,则a≥2, 则实数a的最小值为2.(8分) (3)记f(x)在[1,2]上的值域为A,在[4,8]上的值域为B, “任意x1∈[1,2],总存在x2∈[4,8],使得f(x1)=f(x2)成立”等价于“A⊆B”. ①当≤1或≥8,即a≤2或a≥16时,由 (2)知f(x)在[1,8]上为单调函数,不合题意;(9分) ②当1<≤2,即2 (2)知f(x)在上单调递减,在上单调递增, 故f∈A,但f∉B,不合题意;(10分) ③当2<≤4,即4 (2),f (1)],B=[f(4),f(8)], 由A⊆B,得 则解得(11分) 因为0 又因为e>2.7,计算得e3>24,所以e>e3>24, 即>ln24=4ln2,即7>8ln2, 也即21>24ln2,即-8=>0,即>8, 所以≤a≤8.(13分) ④当4<<8,即8 (1), 所以a≤<=11<16,
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