全等三角形陈证明与计算最全培优资料.docx
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全等三角形陈证明与计算最全培优资料
全等三角形证明与计算
(一)
一、基础过关
1.已知:
如图,点F、点C在AD上,AB=DE,AF=DC,AB∥ED.
(1)求证:
BC=EF;
(2)若∠A=45°,∠E=55°,求∠ACB的度数.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
(1)求证:
CF=EB.
(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.
3.如图,已知点A,C,D在同一直线上,BC与AF交于点E,AF=AC,AB=DF,AD=BC.
(1)求证:
∠ACE=∠EAC;
(2)若∠B=50°,∠F=110°,求∠BCD的度数.
4.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
(1)求证:
AD平分∠BAC;
(2)已知AC=14,BE=2,求AB的长.
5.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证:
△BDE≌△CDF.
(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.
6.如图,已知点B,E,C,F在一条直线上,BE=CF,AC∥DE,∠A=∠D.
(1)求证:
△ABC≌△DFE;
(2)若BF=14,EC=4,求BC的长.
7.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:
Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF度数.
8.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
(1)求证:
AE=CD;
(2)若AC=12cm,求BD的长.
9.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,过点A作AE⊥AB且AB=AE,过点E分别作EF⊥AC,ED⊥BC,分别交AC和BC的延长线与点F、D.
(1)求证:
△ABC≌△EAF;
(2)若FC=7,求四边形ABDE的周长.
二、能力提升
10.如图,△ABC和△CDE均为等腰三角形,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,点D在线段AB上(与A,B不重合),连接BE.
(1)证明:
△ACD≌△BCE.
(2)若BD=2,BE=6,求AB的长.
全等三角形证明与计算
(二)
一、基础过关
1.已知,如图点E在三角形ABC的边AC上,且∠AEB=∠ABC.
(1)求证:
∠ABE=∠C;
(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F,FD∥BC交AC于D,求证:
△ABF≌△ADF;
(3)在
(2)的条件下,设AB=5,AC=8,求DC的长.
2.如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.
(1)求证:
AC=CD;
(2)若AC=AE,求∠DEC的度数.
3.如图,四边形ABCD中,AB=BC=2CD,AB∥CD,∠C=90°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,连接DE
(1)求证:
△ABE≌△BCD;
(2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系,并说明理由;
(3)若CD=1,试求△AED的面积.
二、能力提升
4.如图,BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高,且BP=AC,CQ=AB.求证:
(1)AP=AQ;
(2)AP⊥AQ.
5.已知:
如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接BD.
(1)求证:
△BAD≌△CAE;
(2)请判断BD、CE有何大小、位置关系,并证明.
6.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF.
全等三角形的证明与计算(三)
一、基础过关
1.如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=40°,AD、BE交于点H,连接CH.
(1)求证:
△ACD≌△BCE;
(2)求证:
CH平分∠AHE.
2.如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,AE=AF.
求证:
(1)PE=PF;
(2)点P在∠BAC的角平分线上.
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G.
求证:
(1)DF∥BC;
(2)FG=FE.
4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,交CD于F,FG∥AB交BC于G.试判断CE,CF,GB的数量关系,并说明理由.
二、能力提升
5.在△ABC中,∠B=60°,D、E分别为AB、BC上的点,且AE、CD交于点F.
(1)如图1,若AE、CD为△ABC的角平分线:
①求∠AFD的度数;
②若AD=3,CE=2,求AC的长;
(2)如图2,若∠EAC=∠DCA=30°,求证:
AD=CE.
6.如图,△ABC中,AB=6,AC=10,M是BC的中点,AD平分∠BAC,过M作MF∥AD,交AC于F,交BA的延长线于N,
①求证:
AN=AF;
②求FC的长度.
7.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E,CE与AB交于点F.
(1)如图1,求证:
△ADC≌△CEB;
(2)如图2,若把△BCE沿着BC边翻折得到△BCE1,把△ACD沿着AC边翻折得到△ACD1,若AD=2.5cm,DE=1.7cm.求D1E1的长;
(3)如图3,若AG平分∠CAB交CE于点G,求证:
FG:
CG=AF:
AC.
全等三角形的证明与计算(四)
一、基础过关
1.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,连接AE并延长交BC的延长线于F,连接BE.
(1)求证:
AD=CF;
(2)若AB=BC+AD,求证:
BE⊥AF.
2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
3.如图,DC∥AB,∠BAD和∠ADC的角平分线相交于E,过E的直线分别交DC,AB于CB两点.
(1)判断AE与DE的位置关系.并说明理由:
(2)求证:
AD=AB+DC
4.如图,∠ABC=90°,AB=BC,D为AC上一点,分别过A、C作BD的垂线,垂足分别为E、F.求证:
EF+AE=CF.
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.
(1)求证:
△ADC≌△CEB.
(2)AD=5cm,DE=3cm,求BE的长度.
6.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,直线l经过点A,BE⊥l于E,CF⊥l于F,
求证:
BE+CF=EF.
二、能力提升
7.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,E是AB的中点,DE平分∠ADC.
(1)求证:
CE平分∠BCD;
(2)求证:
AD+BC=CD;
(3)若AB=12,CD=13,求S△CDE.
8.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:
△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求证:
CD=2BF+DE.
9.如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线,∠AED=2∠C,
求证:
AC=AB+CE.
全等三角形的证明与计算(五)
一、基础过关
1.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.
求证:
(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是AD上一点,EB⊥AB,且EA=EC.
(1)若∠BAC=50°,求∠AEC的度数;
(2)求证:
AC=2AB.
3.如图,AB=AC,M是AB上一点,N是AC延长线上一点,且BM=CN,MN交BC于点D.求证:
MD=ND.
二、能力提升
4.
(1)如图1,四边形ABCD是边长为5cm的正方形,E,F分别在AD,CD边上,∠EBF=45°.为了求出△DEF的周长.小南同学的探究方法是:
如图2,延长EA到H,使AH=CF,连接BH,先证△ABH≌△CBF,再证△EBH≌△EBF,得EF=EH,从而得到△DEF的周长= cm;
(2)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=100°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是线段BC,CD上的点.且∠EAF=50°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系;
(3)如图4,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是线段BC,CD上的点,且2∠EAF=∠BAD,
(2)中的结论是否仍然成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(4)若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在CB、DC的延长线上,且2∠EAF=∠BAD,请画出图形,并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系.
5.已知AM∥BN,AE平分∠BAM,BE平分∠ABN,
(1)求∠AEB的度数.
(2)如图2,过点E的直线交射线AM于点C,交射线BN于点D,求证:
AC+BD=AB;
(3)如图3,过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C,交射线BN于点D,AB=5,AC=3,S△ABE﹣S△ACE=2,求△BDE的面积.
6.如图,在等边△ABC中,点D是边AC上一定点,点E是直线BC上一动点,以DE为一边作等边△DEF,连接CF.
(1)如图1,若点E在边BC上,且DE⊥BC,垂足为E,求证:
CD=2CE;
(2)如图1,若点E在边BC上,且DE⊥BC,垂足为E,求证:
CE+CF=CD;
(3)如图2,若点E在射线CB上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系?
并说明理由.
全等三角形的证明与计算(六)
一、基础过关
1.已知.如图△ABC中,AB=BC,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,与CD相交于点F.
(1)求证:
△BDF≌△CDA;
(2)若BF=10,求CE的长.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,BF⊥AC于点F,交AD于点E,连接CE.
(1)求证:
BE=CE;
(2)若AE=2BD,求∠BAC的度数.
3.已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在AC、BC上,且CD=BE,
(1)求证:
△ABE≌△BCD;
(2)求出∠AFB的度数.
4.如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于E,作AD∥BC交BE的延长线于点D.
(1)若∠BAC=56°,求∠EBC的度数;
(2)若AE=EC=2,求BC的长.
5.如图,D,E分别是AB,AC中点,CD⊥AB,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,CD与BE交于点F.
(1)求证:
AC=AB;
(2)猜想CF与DF的数量关系,并证明.
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=CD,点E在AD上,DE=BD,M、N分别是AB、CE的中点.
(1)求证:
△ADB≌△CDE;
(2)求∠MDN的度数.
二、能力提升
7.已知三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图1,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:
△DEF为等腰直角三角形.
(2)如图2,若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么△DEF是否仍为等腰直角三角形?
证明你的结论.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:
△DEF是等腰三角形;
(2)求证:
∠B=∠DEF;
(3)当∠A=40°时,求∠DEF的度数.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,CE=DB.
(1)求证:
△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=50°时,求∠DEB+∠FEC的度数;
(3)当∠EDF=60°时,求∠A的度数.
全等三角形的证明与计算(七)
一、基础过关
1.如图,△ABC为等边三角形,DE∥AC,点O为线段EC上一点,DO的延长线与AC的延长线交于点F,DO=FO.
(1)求证:
△BDE是等边三角形;
(2)求证:
△DOE≌△FOC;
(3)若AC=7,FC=3,求OC.
2.如图,已知△ABC中,延长AC边上的中线BE到G,使EG=BE,延长AB边上的中线CD到F,使DF=CD,连接AF,AG.
(1)补全图形;
(2)AF与AG的大小关系如何?
证明你的结论;
(3)F,A,G三点的位置关系如何?
证明你的结论.
二、能力提升
3.如图,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点
A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.
(1)求证:
△ADC≌△BEC.
(2)求∠AEB的度数.
(3)试探究线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
4.已知:
如图,在△ABC中,AB>AC,∠B=45°,点D是BC边上一点,且AD=AC,过点C作CF⊥AD于点E,与AB交于点F.
(1)若∠CAD=α,求∠ACD的度数.
(2)在
(1)的条件下,求∠BCF的大小;(用含α的式子表示)
(3)判断△ACF的形状,并说明理由.
5.如图△ABC是等边三角形,E是边BC上的动点,过点E作DE∥AC交AB于点D,过E作EF∥AB交AC于点F,连接CD、BF交于点G,连接GE.
(1)求证:
△BDE是等边三角形;
(2)在E的运动过程中,∠BGD是否为定值,如果是请求出来,若不是请说明理由;
(3)在E的运动过程中,设m=
,请计算m2020的值.
全等三角形的证明与计算(八)
一、基础过关
1.如图,已知:
在△ABC中,A、B两点的坐标分别是A(0,4)、B(﹣2,0),∠BAC=90°,AB=AC.
(1)求C点的坐标;
(2)求△ABC的面积.
二、能力提升
2.如图所示,直线AB交x轴于点A(a,0),交y轴于点B(0,b),且a、b满足
.
(1)如图1,若C的坐标为(﹣1,0),且AH⊥BC于点H,AH交OB于点P,试求点P的坐标;
(2)如图2,连接OH,求证:
∠OHP=45°;
(3)如图3,若点D为AB的中点,点M为y轴正半轴上一动点,连接MD,过D作DN⊥DM交x轴于N点,当M点在y轴正半轴上运动的过程中,式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变?
如发生改变,求出该式子的值的变化范围;若不改变,求该式子的值.
3.如图,直线AB交x轴于A(a,0),交y轴于点B(0,b),且a、b满足
.
(1)如图1,请求出a= ,b= ,∠OAB= °.
(2)如图1,若点D为AB的中点,点M为y轴负半轴上一动点,连接MD,过D作DN⊥DM交x轴于N点,当M点在y轴负半轴上运动的过程中,式子S△BDM﹣S△ADN(S△BDM,S△ADN分别表示△BDM,△ADN的面积)的值是否发生改变?
如发生改变,求出其变化范围;若不改变,求出其值.
(3)如图2.若点C(x,0)为x轴上一动点,连BC,过点A作AH⊥BC于H,连接OH,当C点在x轴上运动时,求∠AHO的度数.
4.在平面直角坐标系中,点A(a,0),B(0,b),且a,b满足|3a+b﹣8|=﹣
,点P为线段AB上(不与A、B两点重合)一点,连接OP.
(1)若AB=2
,且△OBP是以OB为腰的等腰三角形,求AP的长;
(2)如图1,过点A作AQ⊥x轴,且满足∠OPQ=90°,求证:
OP=PQ(提示:
可过P分别作OA,AQ的垂线段);
(3)如图2,C,D分别为OA,OB上的两点,且OC=OD,点P满足OP⊥AD,过点P作PE⊥BC交AD的延长线于点E,试探究AE,EP,OP之间的数量关系,并给出证明.
5.如图1,△ABC为等腰三角形,∠ABC=90°,点P在线段BC上(不与B、C重合),以点A为直角顶点作等腰直角△PAQ,且点Q在AP的左下方,过点Q作QE⊥AB于点E.
(1)求证:
△PAB≌△AQE;
(2)连接CQ交AB于M,若PC=2PB,求
的值.
(3)如图2,过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F,过P点作DP⊥AP交AC于点D,连接DF,当点P在线段BC上运动时(不与B,C重合),式子
的值会变化吗?
若不变,求出该值;若变化,请说明理由.
6.如图1,在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点,且a,b满足(a﹣b)2+|a﹣4t|=0,且t>0,t是常数.直线BD平分∠OBA,交x轴于D点.
(1)若AB的中点为M,连接OM交BD于N,求证:
ON=OD;
(2)如图2,过点A作AE⊥BD,垂足为E,猜想AE与BD间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,在x轴上有一个动点P(在A点的右侧),连接PB,并作等腰Rt△BPF,其中∠BPF=90°,连接FA并延长交y轴于G点,当P点在运动时,OG的长是否发生改变?
若改变,请求出它的变化范围;若不变,求出它的长度.
7.如图1,等边△ABC,∠BAC的平分线交y轴于点D,C的坐标为(0,6).
(1)求D点的坐标;
(2)如图2,E为x轴上任一点,以CE为边在第一象限内作等边△CEF,FB的延长线交y轴于点G,求OG的长;
(3)如图3,在
(2)的条件下,且∠CEO=30°,以CE为边在第一象限内作等边△CEF,EH⊥EC交OE的垂直平分线于H,连接FH交CE于P,求PF与PH的数量关系.
8.如图所示,直线AB交x轴于点A(a,0)交y轴于点B(0,b),且a、b满足
=0,P为线段AB上的一点.
(1)如图1,若AB=6
,当△OAP为AP=AO的等腰三角形时,求BP的长.
(2)如图2,若P为AB的中点,点M、N分别是OA、OB边上的动点,点M从顶点A、点N从顶点O同时出发,且它们的速度都为1cm/s,则在M、N运动的过程中,S四边形PNOM的值是否会发生改变?
如发生改变,求出其面积的变化范围;若不改变,求该面积的值.
(3)如图3,若P为线段AB上异于A、B的任意一点,过B点作BD⊥OP,交OP、OA分别于F、D两点,E为OA上一点,且∠PEA=∠BDO,试判断线段OD与AE的数量关系,并说明理由.
9.在平面直角坐标系中有一等腰三角形ABC,点A在y轴正半轴上,点B在x轴负半轴上.
(1)如图1,点C在第一象限,若∠BAC=90°,A、B两点的坐标分别是A(0,4),B(﹣2,0),求C点的坐标;
(2)如图2,点C在x正半轴上,点E、F分别是边BC、AB上的点,若∠AEF=∠ACB=2∠OAE.求证:
BF=CE;
(3)如图3,点C与点O重合时点E在第三象限,BE⊥AE,连接OE,求∠BEO的度数.
全等三角形证明与计算参考答案与解析
全等三角形证明与计算
(一)
1.已知:
如图,点F、点C在AD上,AB=DE,AF=DC,AB∥ED.
(1)求证:
BC=EF;
(2)若∠A=45°,∠E=55°,求∠ACB的度数.
【分析】
(1)由SAS判定△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等即可得出结论;
(2)由全等三角形的性质得∠B=∠E=55°,再由三角形内角和定理即可得出答案.
【解答】
(1)证明:
∵AB∥ED,
∴∠A=∠D,
又∵AF=DC,
∴AC=DF.
在△ABC与△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∴BC=EF;
(2)解:
由
(1)得:
△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠E=55°,
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣55°=80°.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识;熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
(1)求证:
CF=EB.
(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.
【分析】
(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”,可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD,再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD,从而得出CF=EB;
(2)设CF=x,则AE=12﹣x,再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED,进而可得出结论.
【解答】
(1)证明:
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于E,
∴DE=DC.
在Rt△CDF与Rt△EDB中,
,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴CF=EB.
(2)解:
设CF=x,则AE=12﹣x,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴CD=DE.
在Rt△ACD与Rt△AED中,
,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,即8+x=12﹣x,
解得x=2,即CF=2.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键.
3.如图,已知点A,C,D在同一直线上,BC与AF交于点E,AF=AC,AB=DF,AD=BC.
(1)求证:
∠ACE=∠EAC;
(2)若∠B=50°,∠F=110°,求∠BCD的度数.
【分析】
(1)根据SSS定理判定△ABC≌△FDA即可得出结论.
(2)由△ABC≌△FDA可知∠BAC=∠F=110°,再根据∠BCD是△ABC的外角得到∠BCD=∠B+∠BAC即可求出答案.
【解答】
(1)证明:
在△ABC和△FDA中,
∵AB=FD,AC=FA,BC=DA,
∴△ABC≌△FDA(SSS),
∴∠ACE=∠EAC.
(2)解∵△ABC≌△FDA,∠F=110°,
∴∠BAC=∠F=110°,
又∵∠BCD是△ABC的外角,∠B=50°,
∴∠BCD=∠B+∠BAC=160°.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练掌握三角形全等的判定定理是解决问题的关键.
4.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
(1)求证:
AD平分∠BAC;
(2)已知AC=14,BE=2,求AB的长.
【分析】
(1)求出∠E=∠DFC=90°,根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD,推出DE=DF,根据角平分线性质得出即可;
(2)根据全等三角形的性质得出AE=AF,由线段的和差关系求出答案.
【解答】
(1)证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠E=∠DFC=90°,
∴BD=CD,BE=CF,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴DE=DF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC;
(2)∵DE=DF,AD=AD,
∴
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