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吐血分享研究生非线性有限元双语作业
非线性有限元分析
Nonlinearfiniteelementanalysis
作业题目平面应变问题四节点四边形单元求解
宋盈盈S1*******065
任忠凯S1*******061
黎原S1*******030
郝守义S1*******020
杨海涛S1*******099
苏永林S1*******067
2013年6月
非线性有限元分析
平面应变问题四节点四边形单元求解
硕士研究生
:
黎原宋盈盈
任忠凯郝守义
杨海涛苏永林
指导教师
:
孙静娜
学科专业
:
机械设计及理论
所在单位
:
机械工程学院
Nonlinearfiniteelementanalysis
Four-nodequadrilateralelementsolutionforplanestrainproblem
ByGroupLi
Supervisor:
ProfessorSunJingna
YanshanUniversity
June,2013
摘要
对于大多数工程问题的数值求解,有限元方法已经成为一种有效的求解工具,其所涉及和应用的领域及其广泛,不仅包括汽车、飞机、建筑、桥梁等的结构变形和应力分析,还包含热流、热体流、磁通量、渗流等流动问题的场分析。
随着计算机技术和CAD技术的发展,许多复杂问题的求解通过计算机的建模分析已经很容易就能实现了。
有限元的基本过程是:
将被研究物体的复杂几何区域离散为简单的限单元,而单元内的材料性质和控制方程通过单元节点的未知量来进行表达,再通过单元集成、载荷和约束条件的处理,得到方程组,求解该方程组就可以得到该物体行为的近似表达式。
本文根据平面应变问题的特点,采用四节点四边形单元,对所研究问题的截面进行离散和单元划分,通过设定形函数,列出问题的载荷矩阵以及相应的刚度矩阵,借助于MATLAB工具及其相应程序,编辑输入文件,从而得出问题的近似解。
此外,本文还针对所研究的问题,运用ANSYS有限元分析软件,对其进行有限元分析,通过建立几何模型,划分网格,施加载荷和约束设定求解模式,得出比较精确的求解办法。
基于编程计算结果和软件分析结果,本文对以上两种求解过程以及对应的求解结果进行了对比和分析,从而进一步加强了对有限元求解问题过程的理解和掌握。
关键词:
有限元分析;四节点;四边形单元;平面应变;
Abstract
Formostofthenumericalsolutionofengineeringproblems,finiteelementmethodhasbecomeaneffectivetoolforsolving,whichinvolvesawideapplicationarea,includingnotonlystructuraldeformationandstressanalysisforautomobiles,airplanes,buildings,bridgesandother,butalsofieldanalysisofheat,hotbodyfloat,flux,seepageflow.WiththedevelopmentofcomputertechnologyandCADtechnology,manycomplexissuessolutionhasbeeneasilyachievedthroughcomputermodelinganalysis.Thebasicprocessoffiniteelementisasfollow:
discretethecomplexgeometryareaoftheobjectbeingstudiedintothesimplefiniteelementzone,materialpropertiesandcontrolequationsintheelementareexpressedviatheunknownquantityforthenode.Theequationsareobtainedthroughintegrationunits,loads,andconstraintstreatment,solvingtheequations,wecangettheapproximateexpressionofthebodyact.Basedonthecharacteristicsofplanestrainproblem,weusethefour-nodequadrilateralelementtodiscreteandmeshthesectionsofproblemunderstudy,bysettingtheshapefunctionandlistingloadingmatrixandthecorrespondingstiffnessmatrixofproblem,bymeansofMATLABtoolsandcorrespondingprogram,weedittheinputfilesoastoarriveapproximatesolution.Additionally,fortheresearchquestion,inthisarticle,wealsouseANSYS,finiteelementanalysissoftware,analysistheproblem,byestablishingthegeometricmodel,meshing,applyingloadsandconstraintsandsettingthesolvingmodetoobtainmoreprecisewaytothesolution.Basedontheprogrammingresultsandanalysisresultsbysoftware,thetwosolutionprocessandthecorrespondingresultsabovewerecomparedsolvingandanalyzedinthepaper,thus,wecanunderstandandmasterthefurtherfiniteelementproblemsolvingprocess.
Keywords:
finiteelementanalysis;fournodes;quadrilateralelement;planestrain;
第一章MATLAB的编程求解
1.1MATLAB简介
MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中,为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案,并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言(如C、Fortran)的编辑模式,代表了当今国际科学计算软件的先进水平,在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。
MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等,主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
MATLAB的基本数据单位是矩阵,它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多,并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。
1.2四边形单元求解原理
1.2.1形状函数
首先讨论规则的基准单元的形状函数,在ζ—η坐标系中定义形状为正方形的基准单元。
定义Lagrange形状函数为
,即在节点i处,
为1,在其他节点处
为零(i=1,2,3,4)。
如形状函数
,在节点1处
=1,而在节点2,3,4处要求
=0。
求得所有的四个形状函数为
(1—1)
图1.1ζ—η坐标系下的四边形单元(基准单元)
基于单元节点值,可以描述单元的位移场。
为点
处的位移分量,则μ=Nq。
其中q表示单元节点的位移列阵,N
。
J为Jacobian矩阵,
J
J=
(1—2)
1.2.2刚度矩阵
求得的维数为8×8单元刚度矩阵为
(1—3)
其中t为单元厚度;
B=AG,
(1—4)
G=
(1—5)
1.2.3载荷矩阵
本题中不考虑体力,也不受集中载荷,所以只考虑面力T的作用,面力为作用在直线上的线性均布压力载荷。
假如
和
是施加在直线12上的法向压力,则
,
,,
,
,其中
和
。
面力载荷矩阵
为
(1—6)
本题中边4—12受线性载荷,将其分为4—8和8—12两段直线来分析。
其中4-8边
所以边4-8的载荷矩阵
为
边8-12
边8-12的载荷矩阵
为
将厚度t=2000mm代入,并将两矩阵进行叠加得最终的载荷矩阵T为
(1—7)
1.3求解题目及建模
本问题要求采用四节点四边形单元(QUAD)求解如下平面应变问题。
其中E=70GPa,ν=0.33,厚度t=2000mm。
图1.2求解问题的描述
针对该问题,将二维求解域离散为6个直边四节点四边形单元,如图1.3所示。
图1.3有限元离散模型
单元的节点连接信息如表1.1所示。
表1.1单元的节点连接信息
单元编号
四个节点编号
1
2
3
4
1
1
2
6
5
2
2
3
7
6
3
3
4
8
7
4
5
6
10
9
5
6
7
11
10
6
7
8
12
11
1.4利用QUAD程序求解
利用已有的程序QUAD.m,需编制输入文件。
利用1.3节中建立的有限元模型和式(1—7)可以编制输入文件如下所示。
<<---2DSTRESSANALYSISUSINGQUAD--->>
PROBLEM7.4
<
1261242
<
860
<
100
22500
35000
410000
50500
6250500
7500500
8800500
901000
102501000
115001000
126001000
<
11265120000
22376120000
33487120000
456109120000
5671110120000
6781211120000
<
10
20
30
40
50
60
70
80
<
7-2.92e7
8-1.17e7
15-7.5e7
16-2.1e7
23-4.58e7
24-1.83e7
<
170000.3312E-6
B1iB2jB3(Multi-pointconstr.B1*Qi+B2*Qj=B3)
其中
NN—节点数;
NE—单元数;
NM—mat数;
MDIM—节点自由度数;
NEN—单元节点数;
NDN—节点自由度;
ND—边界位移约束的数目;
NL—边界载荷的数目;
NMPC—是否具有多点约束,有取1,没有取0。
求解的结果如下所示
节点位移为
Node#X-DisplY-Displ
1-6.4468E-006-1.1483E-005
2-2.6974E-006-7.0127E-006
3-6.7647E-0061.2464E-006
4-9.5912E-0068.5794E-006
5-1.6944E+000-9.5758E-001
6-1.5757E+000-3.2290E-001
7-1.6108E+000-3.9874E-003
8-1.8640E+0005.1072E-001
9-3.2439E+000-1.1600E+000
10-3.2656E+000-4.5804E-001
11-3.3815E+0001.6052E-001
12-3.4702E+0004.0050E-001
位移约束节点的支反力
DOF#Reaction
13.7922E+007
26.7547E+007
31.5867E+007
44.1251E+007
53.9792E+007
6-7.3320E+006
75.6419E+007
8-5.0467E+007
单元的等效应力
ELEM#vonMisesStressesat4Integ_points
11.5592E+0021.3173E+0028.1479E+0011.1541E+002
21.3459E+0021.3405E+0021.0054E+0021.0146E+002
31.4225E+0021.6360E+0021.4472E+0021.0813E+002
44.2109E+0014.4549E+0013.0822E+0012.7810E+001
58.6471E+0019.2103E+0016.4856E+0015.7359E+001
69.8635E+0011.0097E+0029.3342E+0018.8395E+001
第二章ANSYS的分析求解
本章运用ANSYS有限元分析软件对问题进行了模拟和分析,并得出了分析的图像结果,意在与上一章的编程计算结果进行对比,从中进行总结,从而进一步加深对有限元求解方法、求解过程以及软件求解的理解和掌握。
2.1ANSYS软件简介
ANSYS有限元软件是一个多用途的有限元法计算机设计程序,可以用来求解结构、流体、电力、电磁场及碰撞等问题,应用于航空航天、汽车工业、生物医学、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、运动器械等众多领域。
ANSYS软件主要包括三个部分:
前处理模块,分析计算模块和后处理模块。
前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具,用户可以方便地构造有限元模型。
分析计算模块包括结构分析、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析,可模拟多种物理介质的相互作用,具有灵敏度分析及优化分析能力。
后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来,也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。
2.2ANSYS软件的优势
ANSYS的技术涵盖多个学科领域。
不论是需要结构分析、流体、热力、电磁学、显式分析、系统仿真还是数据管理,ANSYS的产品均能为各个行业的企业提供巨大帮助。
ANSYS的成套产品极具灵活性。
不论是为企业中新手还是能手使用;是单套部署还是企业级部署;是首次通过还是复杂分析;是桌面计算、并行计算还是多核计算,这一工程设计的高扩展性均能满足当前与未来的需求。
ANSYS是唯一一家能提供客户所需能力水平的仿真软件供应商,而且能随此类需求的发展无限扩展。
工程设计与开发可使用多种CAD产品、内部开发代码、物料库、第三方求解器、产品数据管理流程等其他工具。
与那些刻板、僵化的系统不同,ANSYS的软件具有开放性和适应性特性,能实现高效的工作流程。
此外,其产品数据管理可使知识和经验在工作组间与企业内的实现共享。
2.3问题求解过程
2.3.1建立几何模型
如图所示,截面为梯形,上底为600mm,下底为1000mm,高为1000mm
2.3.2网格划分
根据边长进行网格划分,如下图所示:
2.3.3施加载荷和约束
梯形的底边固定,梯形的腰部施加非均匀分布载荷:
从50Mpa到100Mpa,加载情况如图所示:
载荷以约束的施加情况如下图:
2.3.4选定求解类型及求解模式
材料的弹性模量E=70Gpa,泊松比为:
=0.33,采用静力分析如下图所示:
2.3.5查看结果
总体的变形图为:
Mises应力云图为:
Mises应变云图为:
总结
本文运用有限元四节点四边形单元的理论,对平面应变问题进行分析。
首先,把平面应变问题划分单元,建立模型,并运用MATLAB的相关程序,编辑输入文件,通过运行程序最终得到结果。
然后,再通过ANSYS软件进行实际建模,设定网格划分,运用其自带的程序进行运算求解。
经过上述两种求解过程得到结果的差异还是很明显的。
用MATLAB编程所得到的数值结果是解析解,如果不考虑结果数值的精度,该解应该是在现有模型网格划分基础上的精确解,如果扩大划分网格的数目,则所得的结果将是更精确的近似解。
与此相比,用ANSYS软件进行分析所得到的结果是更加接近与实际的解一方面,软件进行网格化的数目比较大,网格越多就越接近最终的实际解;另一方面,软件本身具有参数以及运算模式设定的优势,ANSYS会根据问题的性质以及用户的一些自定义设定,同时也考虑到实际情况的影响因素进行优化处理,因此,得到的结果更加精确一些。
总的来说,MATLAB编程得到的解精确,但与实际问题的真实解差别比较大。
增大网格划分数量可以改进真实度,但相应的程序计算效率将会降低。
用ANSYS分析得到的结果与实际结果更加接近一些,但由于软件自身参数设定的原因,有可能与实际结果产生叫的偏差。
增加网格数量,细化参数的设定将开始结果更理想,但这样对计算机的内存以及处理能力是个挑战。
致谢
短短六周的非线性有限元分析课程结束了。
在这些宝贵的六周的课程学习期间,我们收获了很多知识,过得很充实也很快乐。
感谢孙静娜老师在有限元授课期间对我们的关心和帮助。
我们都非常喜欢孙老师的讲课风格和授课方式。
孙老师总是那么和蔼可亲,平易近人,不要求出勤率,只要求自己尽最大的努力给来听课的学生讲好每一堂课。
夏天的天气非常干燥闷热,但孙老师每堂课都讲的那么努力、耐心、细心,丝毫没有抱怨。
每次上课之前,孙老师爬楼梯进教室,身上都是汗。
由于这堂课是临时决定由孙老师来讲授,所以临危受命,老师需要加紧备课,做课件,熟悉内容,可以说,老师尽职尽责,兢兢业业。
老师的表现深深的感动了每一个听课的学生,也让每一个对这门课程感兴趣的同学不仅收获了知识,还收获了老师的那份爱。
因此,借此课程结束的时机,您的学生黎原,代表我们小组,也代表所有喜欢孙老师的同学,对孙老师这一学期在《非线性有限元分析》授课阶段所做出的努力和付出致以最真挚的感谢和最崇高的敬意,老师您辛苦啦!
真诚祝福老师:
在以后的工作中,顺利、开心、快乐;在以后的生活中,美满、如意、幸福。
参考文献
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