数值分析matlab完整版实验报告.docx
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数值分析matlab完整版实验报告
数值分析matlab完整版实验报告
《数值分析》报告
运用Matlab求解非线性方程的根
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1.目的
掌握非线性方程求根的方法,并选取实例运用MATLAB软件进行算法的实现,分别用牛顿法、弦截法和抛物线法求非线性方程的根。
2.报告选题
报告选取《数值分析(第四版)》290页习题7作为研究对象,即求在附近的根。
根的准确值,要求结果准确到四位有效数字。
(1)用牛顿法;
(2)用弦截法,取,;
(3)用抛物线法,取,,。
3.理论基础
(1)牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为
其迭代函数为
牛顿迭代法的收敛速度,当时,容易证明,,,牛顿迭代法是平方收敛的,且。
(2)弦截法
将牛顿迭代法中的用在,处的一阶差商来代替,即可得弦截法
。
(3)抛物线法
弦截法可以理解为用过两点的直线方程的根近似替的根。
若已知的三个近似根,,用过的抛物线方程的根近似代替的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法。
4.MATLAB实现
根据牛顿法、弦截法和抛物线法求非线性方程根的理论基础,为实现计算在MATLAB中编写了以下M文件:
(1)f.m,题目中的函数f
functiony=f(x)
y=x^3-3*x-1;
(2)d.m,函数f的导数
functiony=d(x)
y=3*x^2-3;
(3)newton.m,牛顿法
functionnewton(f,d,x0,e,max)
%f是要求根的方程(f(x)=0);
%d是f(x)的导数;
%x0是所给初值,位于x*附近;
%e是给定允许误差;
%max是迭代的最大次数;
%x1是newton法求得的方程的近似解;
%err是误差估计;
%k是迭代次数;
%y是f(x)值;
k=0;
y=feval('f',x0);
fprintf('k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.6e\n',k,k,x0,k,y)
fork=1:
max
x1=x0-feval('f',x0)/feval('d',x0);
err=abs(x1-1.87938524);
x0=x1;
y=feval('f',x0);
fprintf('k=%.0fx%d=%.8fe%d=%.6ey%d=%.6e\n',k,k,x0,k,err,k,y)
if(err break; end end (1)xjmethod.m弦截法 functionxjmethod(f,x0,x1,e,max) %f是要求根的方程(f(x)=0); %x0,x1是所给初值,位于x*附近; %e是给定允许误差; %max是迭代的最大次数; %x1是弦截法求得的方程的近似解; %err是误差估计; %k是迭代次数; %y是f(x)值; fprintf('k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.8e\n',0,0,x0,0,feval('f',x0)) fprintf('k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.8e\n',1,1,x1,1,feval('f',x1)) fork=2: max x2=x1-(feval('f',x1)*(x1-x0))/(feval('f',x1)-feval('f',x0)); err=abs(x2-1.87938524); x0=x1; x1=x2; y=feval('f',x1); fprintf('k=%.0fx%d=%.8fe%d=%.6ey%d=%.8e\n',k,k,x1,k,err,k,y) if(err break; end end (1)pwxmethod.m抛物线法 functionpwxmethod(f,x0,x1,x2,e,max) %f是要求根的方程(f(x)=0); %x0,x1,x2是所给初值,位于x*附近; %e是给定允许误差; %max是迭代的最大次数; %x3是弦截法求得的方程的近似解; %err是误差估计; %k是迭代次数; %y是f(x)值 fprintf('k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.8e\n',0,0,x0,0,feval('f',x0)) fprintf('k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.8e\n',1,1,x1,1,feval('f',x1)) fprintf('k=%.0fx%d=%.8fy%d=%.8e\n',2,2,x2,2,feval('f',x2)) fork=3: max f0=feval('f',x0); f1=feval('f',x1); f2=feval('f',x2); a=(f0-f2)/(x0-x2); b=(f1-f2)/(x1-x2); c=(a-b)/(x0-x1); w=b+c*(x2-x1); ifw<0 x3=x2-(2*f2/(w-sqrt(w^2-4*c*f2))); elseifw>0 x3=x2-(2*f2/(w+sqrt(w^2-4*c*f2))); end err=abs(x3-1.87938524); x0=x1; x1=x2; x2=x3; y=feval('f',x2); fprintf('k=%.0fx%d=%.8fe%d=%.6ey%d=%.8e\n',k,k,x2,k,err,k,y) if(err break; end end 5.运行结果 图1运行结果界面 (1)牛顿法计算结果 k 0 2.00000000 1.000000e+000 1 1.88888889 9.503649e-003 7.270233e-002 2 1.87945157 6.632695e-005 5.038501e-004 即,误差为6.632695e-005。 (2)弦截法计算结果 k 0 2.00000000 1.000000e+000 1 1.90000000 1.59000000e-001 2 1.88109394 1.708696e-003 1.29961633e-002 3 1.87941106 2.582017e-005 1.96128714e-004 即,误差为2.582017e-005。 (3)抛物线法计算结果 k 0 1.00000000 -3.00000000e+000 1 3.00000000 1.70000000e+001 2 2.00000000 1.00000000e+000 3 1.89314982 1.376458e-002 1.05630272e-001 4 1.87913526 2.499828e-004 -1.89859581e-003 5 1.87938530 5.621918e-008 4.15115927e-007 即,误差为5.621918e-008。 6.小结 迭代法是解非线性方程的主要方法,牛顿法就是最有效的迭代法之一,它在单根附近具有较高阶的收敛速度。 而弦截法用差商代替导数,对于较复杂的函数运算变的方便。 抛物线法也是超线性收敛的,适用于求多项式的实根和复根。 通过本次报告加深了对牛顿法、弦截法和抛物线法求解非线性方程根的理解,同时掌握了MATLAB强大的计算功能,增强了对数值分析课程的学习兴趣。 参考文献 [1]李庆扬.数值分析(第四版)北京: 清华大学出版社,施普林格出版社.2001. [2]胡学林.可编程控制器教程.北京: 机械工业出版社,2003.
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