理科数学高考大一轮总复习同步训练 95空间中的垂直关系.docx
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理科数学高考大一轮总复习同步训练95空间中的垂直关系
第5讲 空间中的垂直关系
A级训练
(完成时间:
10分钟)
1.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件为( )
A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂β
C.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α
2.在正方体ABCDA1B1C1D1中与异面直线AB,CC1均垂直的棱有______条( )
A.1B.2
C.3D.4
3.已知平面α⊥平面β,点A∈α,则过点A且垂直于平面β的直线( )
A.只有一条,不一定在平面α内
B.有无数条,不一定在平面α内
C.只有一条,一定在平面α内
D.有无数条,一定在平面α内
4.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的是( )
①平面PAB⊥平面PBC;
②平面PAB⊥平面PAD;
③平面PAB⊥平面PCD;
④平面PAB⊥平面PAC.
A.①②B.①③
C.②③D.②④
6.下列命题中假命题是( )
A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直
D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行
7.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面ABCD.
(1)求证:
AB∥EF;
(2)求证:
平面BCF⊥平面CDEF.
B级训练
(完成时间:
27分钟)
1.[限时2分钟,达标是( )否( )]
(2014·广东汕尾二模)关于直线l,m及平面α,β,下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,α∩β=m,则l∥m
B.若l∥α,m∥α,则l∥m
C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
D.若l∥α,m⊥l,则m⊥α
2.[限时2分钟,达标是( )否( )]
正方体ABCDA1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.B1E∥平面ABCD
C.三棱锥EABC的体积为定值
D.直线B1E⊥直线BC1
3.[限时5分钟,达标是( )否( )]
如图在四锥PABCD中,CD⊥平面PAD,CD∥AB,AB=2CD,PD=AD,E为PB中点.证明:
(1)CE∥平面PAD.
(2)PA⊥平面CDE.
[限时6分钟,达标是( )否( )]
(2014·湖北)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:
(1)直线BC1∥平面EFPQ;
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
[限时6分钟,达标是( )否( )]
(2014·江苏)如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
[限时6分钟,达标是( )否( )]
(2014·山东)如图,四棱锥PABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=
AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(1)求证:
AP∥平面BEF;
(2)求证:
BE⊥平面PAC.
C级训练
(完成时间:
10分钟)
1.[限时3分钟,达标是( )否( )]
在正四面体ABCD中,E、F、G分别是BC、CD、DB的中点,下面四个结论中不正确的是( )
A.BC∥平面AGF
B.EG⊥平面ABF
C.平面AEF⊥平面BCD
D.平面ABF⊥平面BCD
[限时7分钟,达标是( )否( )]
如图所示,在四棱锥PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点且DF=
AB,PH为△PAD中AD边上的高.
(1)证明:
PH⊥平面ABCD;
(2)若PH=1,AD=
,FC=1,求三棱锥EBCF的体积;
(3)证明:
EF⊥平面PAB.
第5讲 空间中的垂直关系
【A级训练】
1.C 解析:
A.若a⊥c,b⊥c,则直线a与直线b可能异面,可能平行,可能垂直,所以此答案错误.B.若α⊥β,a⊂α,b⊂β,则直线a与直线b可能异面,可能平行,可能垂直,所以此答案错误.C.若a⊥α,b∥α,则根据线与线的位置关系可得a⊥b,所以C正确.D.若a⊥α,b⊥α,则根据线面垂直的性质定理可得a∥b.
2.D 解析:
如图所示:
由正方体的性质可知:
在正方体的棱中,AD、BC、A1D1,B1C1与异面直线AB,CC1均垂直.
3.C 解析:
根据面面垂线的性质定理可知,当平面α⊥平面β时,过点A垂直于平面β的直线只有一条,且一定在平面α内,故选C.
4.B 解析:
由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面α内的一条直线,且m⊥β,则α⊥β.反过来则不一定成立.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.
5.A 解析:
由于BC⊥AB,由PA垂直于正方形ABCD所在平面,所以BC⊥PA,易证BC⊥平面PAB,则平面PAB⊥平面PBC;又AD∥BC,故AD⊥平面PAB,则平面PAD⊥平面PAB.
6.B 解析:
对A选项,利用线面平行的判定与性质判断即可,正确;因为垂直于同一直线的两条直线,位置关系是相交、平行或异面,所以B为假命题;根据面面垂直的判定定理,C正确;根据面面平行的判定定理,D正确.
7.证明:
(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD,
因为AB⊄平面CDEF,CD⊂平面CDEF,
所以AB∥平面CDEF.
因为AB⊂平面ABFE,平面ABFE∩平面CDEF=EF,
所以AB∥EF.
(2)因为DE⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
所以DE⊥BC.
因为BC⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE⊂平面CDEF,
所以BC⊥平面CDEF.
因为BC⊂平面BCF,
所以平面BCF⊥平面CDEF.
【B级训练】
1.C 解析:
A不对,由线面平行的性质定理知必须l∥β;B不对,l与m可能相交、平行、异面;D不对,有可能m⊂α;C正确,由l∥β知在β内有与l平行的直线,再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β.
2.D 解析:
A.因为在正方体中,AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,所以AC⊥面BB1D1D,因为BE⊂面BB1D1D,所以AC⊥BE,所以A正确;B.因为B1D1∥平面ABCD,所以B1E∥平面ABCD成立.即B正确;C.三棱锥EABC的底面△ABC为定值,锥体的高BB1为定值,所以锥体体积为定值,即C正确;D.因为B1E∥BD,在正△BDC1中,∠C1BD=60°,所以B1E⊥直线BC1错误.
3.证明:
(1)取PA的中点F,连接DF,EF,
因为E时PB的中点,
所以在△PAB中有EF∥AB,且EF=
AB.
又CD∥AB,AB=2CD,
所以CD∥EF,CD=EF,
所以四边形CDEF为平行四边形,
所以CE∥DF,
因为CE⊄平面PAD,DF⊂平面PAD,
所以CE∥平面PAD.
(2)因为CD⊥平面PAD,PA⊂平面PAD,
所以CD⊥PA,
因为△PAD中,PD=AD,F为PA的中点,
所以DF⊥PF,因为CE∥DF,所以CE⊥PA,
因为CE∩CD=C,CE⊂平面CDE,CD⊂平面CDE,
所以PA⊥平面CDE.
4.证明:
(1)连接AD1,由ABCDA1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,
因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,
故直线BC1∥平面EFPQ.
如图,连接AC,BD,则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,
所以BD⊥平面ACC1.
而AC1⊂平面ACC1,
所以BD⊥AC1.
因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,
所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.
5.证明:
(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,
所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=
PA=3,EF=
BC=4.
又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,
所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.
又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,
所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABC.
6.证明:
(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC.
由于E为AD的中点,AB=BC=
AD,AD∥BC,
所以AE∥BC,AE=AB=BC.
因此四边形ABCE为菱形,
所以O为AC的中点.
又F为PC的中点,因此在△PAC中,可得AP∥OF.
又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知ED∥BC,ED=BC,
所以四边形BCDE为平行四边形,因此BE∥CD.
又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.
又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,
所以BE⊥平面PAC.
【C级训练】
1.D 解析:
A.过A作AO⊥平面BCD于O,
因为正四面体ABCD,
所以O是正三角形BCD的中心,
因为F、G分别是CD、DB的中点,
所以GF∥BC,则BC∥平面AGF,故A正确;
B.因为E、F、G分别是BC、CD、DB的中点,
所以CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,
因为EG∥CD,所以EG⊥平面ABF,故B正确;
D.因为E、F、G分别是BC、CD、DB的中点,
所以CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,
因为CD⊂面BCD,所以平面ABF⊥平面BCD,
故D正确,只有C错误.
2.解析:
(1)证明:
因为AB⊥平面PAD,
所以PH⊥AB,
因为PH为△PAD中AD边上的高,
所以PH⊥AD.
因为AB∩AD=A,所以PH⊥平面ABCD.
(2)如图,连接BH,取BH的中点G,连接EG,
因为E是PB的中点,所以EG∥PH,EG=
PH=
,
因为PH⊥平面ABCD,所以EG⊥平面ABCD,
所以VEBCF=
S△BCF·EG=
·
·FC·AD·EG=
.
(3)证明:
如图,取PA中点M,连接MD,ME,
因为E是PB的中点,所以ME綊
AB,
因为DF綊
AB,所以ME綊DF.
所以四边形MEFD是平行四边形,
所以EF∥MD.
因为PD=AD,所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD,所以MD⊥AB.
因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB.所以EF⊥平面PAB.
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