全国高中物理竞赛模拟题四.docx
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全国高中物理竞赛模拟题四
全国高中物理竞赛模拟题四
1.卩子的电量q=-e(e=1.6x10-19C),静止质量mo=1OOMeV/$,静止时的寿命t
o=1CT6s。
设在地球赤道上空离地面高度为h=104m处有一卩子以接近于真空中光速的速度垂直向下运动。
北
mZ
nB
1)、试问此卩子至少应有多大总能量才能到达地面?
2)、若把赤道上空104m高度范围内的地球磁场看作匀强磁场,磁感应强度B=104T,磁场方向与地面平行。
试求具有第1问所得能量的卩子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角
分析:
利用时间膨胀公式可将地球上观测到的子的
寿命与静止系中的寿命0建立联系。
对地球上的观察者而言,子为能达到地面,所具速度必须保证它在时间内走完全程。
利用质能公式可得子的相应能量。
由于子的动能比重力势能大得多,重力影响可忽略。
又因地磁场引起的偏转较
小,计算第1问时可不考虑洛伦兹力,因此,可把子近似看成作匀速直线运动。
求解第2问时,必须考虑由地磁场引起的洛伦兹力,此力使子产生偏转。
因洛伦兹力对子不做功,故其能量保持常值。
根据动力学方程和质能公式可写出子坐标所遵从的微分方程,解此微分方程即可求得偏转量。
子除受洛伦兹
力外,还受地球自转引起的科星奥利力的作用,它对子偏转的影响应作一估算。
解:
(1)近似地把子看成是作匀速直线运动,速度为,到达地面所需地
球时间为
为能到达地面,需满足
t
式中为地球观察者测得的子寿命,它与0的关系为
0
:
2
12
c
由质能公式,子的能量为
2
moc
r
2
..1
c
给合以上诸式,有
2
m°c—
0
2tm0ch
m°c-
t00
代人数据,子至少应有能量
(2)、如图所示,取直角坐标系Oxyz原点0在地面,x轴指向西,y轴垂直
于地面向上指向北。
子的初始位置和初速度为
磁场B与z轴方向一致,
子所受洛伦兹力为
z00
子的动力学方程为
其中
dPFeBdt
E
d
r
dt
PmC2e=常量
i
j
k
2
ce
E
x
y
z
0
0
B
B
成分量形式为
c2eB
c2eB
y,y
(1)
(2)
(1)式对t求导后再将
(2)式代入,得
x2x0
式中
c2eB
E
上述方程的解为
xcost
x——sintx
因此,有
c2eBc2eB
xysintsin
EE
故得
sint
y
-cost
y
初条件为
x0
cos
0
x0
——sin
x0
y0
sin
y0
cos
h
得
2,
x——-,yh
最后得子的坐标为
x—sint1cost
2
y—costhh—sint
2
到达地面时,y=0,即有
丄hc2eBh
sint
E
因c,有
sint
ceBh
E
844
3101010
9
3.3109
0.091
1cost11
子到达地面时的x坐标为
朝X方向(向西)的偏转角为
0.091rad
0.046rad
落地点向西偏离的距离为
ha
104
0.046m460m
子落地过程需时
3.3
5
10s
1c2
此阶段地球表面一点转过的距离为
可见,s?
x地,即由地球自转引起的偏离可以忽略。
2.热中子能有效地使铀235裂变,但裂变时放出的中子能量代谢较高,因此
在核反应堆中石墨作减速剂。
若裂变放出的中子动能为2.2MeV欲使该中子慢化为热中子(动能约为0.025eV),问需经过多少次对撞?
解:
运动的中子与石墨中静止的碳原子碰撞可作为弹性碰撞处理。
设第k次
碰拼音字母前中子速度大小为k1,碰后速度大小为k,由动量守恒和能量守恒
可得
memn
kk1
memn
Ek0.025eV,则有
两边取对数解得
k54.8
取整数后为
55(次)
3.半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳,AD和
ACE悬挂于同一点A,并处于平衡,如图11-205所示,已知悬点A到球心0的距离
为L,不考虑绳的质量和绳与球的摩擦,试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的
夹角B。
分析:
在平衡条件下,一个物体受到三个共点力作用时,这三个力的作用线
必相交于一点。
这是平衡问题的一个基本结论,本题就是一例。
解:
作用在球上的力有重力M^'AD绳的拉力T和ACE绳的压力N。
由于不
考虑绳与球的摩擦,所以N的方向沿半径指向球心,重力也是通过球心的。
由于
图11-206)。
D
C
球平衡,所以绳AD的拉力也必过球心,因此可判断绳一定沿0A方向(如
对球和重物组成的系统,根据平衡条件,M1g和M2g对A点的力矩大
M?
g
图11-206
L(MiM2)
M2R
arcsin
L(M1M2)
4.火车以速度vi向前行驶。
司机忽然发现,在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车,它沿相同的方向以较小的速度V2作匀速运动,于是他立即使车作匀
减速运动,加速度大小为a,要使两车不致相撞,则a应满足的关系式为
分析:
司机使火车作匀减速运动,当后面的火车与前方火车时的速度相等时,
两车再也不能接近了,也就是后面的火车与前面火车的速度相等时,后面火车的
的时间为t,则
时,其位移小于S,两车不会相撞,即
(V1V2)2
(V1V2)2
2as,a2s。
2
图12-34
解法三:
作出两车运动的速度一时是图像如图12-34所示,由图像可知:
在两
图像相交前与时间轴所围面积之差(即图中阴影部分)小于S时,两车不会相撞。
撞,即
s1s2(V|v2)t
at2
at2
(v1v2)ts
以上四种解法中,以第二种解法最简捷。
5.如图24-28所示,有一个一端开口、
一端封闭的长圆柱形导热
容器,将其开口向上竖直放置。
在气温为
27C、气压为760mmHg
相对湿度为75%寸,用一质量可不计的光滑薄活塞将开口端封闭。
已
知水蒸气的饱合蒸气压为26.7mmHg,在0C时为4.5mmHg。
(1)若
保持温度不变,想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始
活塞
.水银
、
(v1v2)22as
2
(ViV2)
2s。
说明此二次函数无解,即
图24-28
当水
有水珠出现,那么容器至少为多长?
(2)若在水蒸气刚开始凝结时固定活塞,降低容器温度,当温度降至0C时,容器内气体压强为多大?
分析:
当活塞上加入水银时,密闭管内的空气和水蒸气的压强均增大,蒸气的压强达到饱和气压后,管内开始有水珠出现。
解:
(1)灌水银前空气柱中水蒸气的压强为
3
P汽P饱
4
设容器长为
10,空气柱长度减小到1时,水蒸气达饱和状态,根据玻意耳定律
有
P汽?
l0P饱?
1
14l0,
此时活塞上下方压强分别为
760-l0mmHg,
4
4尹.
Pi
476026.7mmHg986.3mmHg.
因活塞固定,气体降温过程等容,故有
p1p1897.5mmHg.
27327
容器内气体总压强为
pp1p2897.54.58
902.1mmHg
6.如图24-31所示,一个静止的竖直放置的玻璃管,长为H=23cm,粗细均
匀,开口向下,其内有一段长为h=10cm的水银柱,把长为l_o=1Ocm的空气柱封闭在管的上端。
设外界大气压强po=1.OX1O5Pa,求当管以20m/s2的加速度上升时,管中封闭的气柱长为多少厘米?
(取g=10m/s2,水银密度p=1.4X104kg/m3)
解:
管加速上升时,水银柱所受合力向上,管内气体对水银柱的压强应减小,管内气体体积应增大,由于管长度一定,有可能使管内水银溢出的情况。
设当管
加速上升时,圭寸闭气柱压强为P,长为L,水银柱质里为m,对于气柱,根据玻意
耳定律得
(P。
gh)L°S
pLS
(1)
对水银柱根据牛顿定律有
P°S
PSmg
ma
(2)
(3)
(4)
mgh
PP。
h(ga)
由
(1)、(4)式得
(Pogh)Lo
L0-0.15(m)15cm
Poh(ga)
因为Lh25cmH23cm
所以加速上升时,水银将溢出管外。
这时设余下水银柱长为h,其质量为m,
封闭气柱压强为P,长为L。
对水银柱,根据牛顿第二定律有
p°SPSmgma(5)
又有mhS(6)
所以PRh(ga)(7)
对封闭气柱,根据玻意耳定律有
(Pogh)LoSPLS(8)
此时LHh(9)
把(7)式、(9)式代入(8)式并化简得
(ga)h2[P0(ga)H]hP°H(P°gh)L°0
代入数值,并化简有
2
8h21.97h
0.1440
解得
hi
0.09m
9.0cm,h20.38m(大于h舍去)
所以正在以a20m/s2加速度上升的玻璃管,其上端封闭的气柱长为
LHh239.014(cm)
7•如图24-55所示,用导热材料制成的两端开口的U型管ABCD其中AB高
h=24cm,CD高L2=20cm,截面积分别为S\B=1cm2,SCcF2cm2,开始时两管均有高h=16cm的水银柱,现用两个橡皮帽将两个管口封闭,打开下方的阀门K,用注射器从底部缓慢抽出水银,当其中的一个管内的水银被抽干时立即关闭阀门K。
(已知大气压强为po=75cmHg
D
C
(1)请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银?
(2)另一只管中剩余的水银柱高度为多少?
解:
求解这一类题时,应根据可解的情况先做出必要的假设,然后按着所做出的假设进行推理,在推理过程中,对所做假设做出否定或认同即可求解。
图24-55
,对左管
假设左管内水银先被抽干,并设这时右管内剩余水银柱的高度为内封闭气体用玻意耳定律有
可得
所以右管内气体压强为
p225cmHg
再对右管内被圭寸气体,根据玻意耳定律得:
752016Scd25
20
Scd
整理得:
45
2000
解得:
5cm或40cm不合题意舍去
在根据以上假设列的方程中,有满足题设的实数解,故所做假设成立,即左
管内水银先抽干,且此时右管内剩余水银柱高度为5cm。
8•如图24-57(a)所示,水平固定的圆筒由足够长粗筒和细筒+—L」
Ijk唧1-补
、
相接而成,筒中有直径不同的两个活塞A、B用一根细绳相连,活A;EB&
塞B通过水平细绳、定滑轮与一个质量为m=2.0kg的重物C连接,□
图24-57(a)
A、B两活塞的横截面积分别为Si=20cm2,S2=10cm2。
当两活塞圭寸
闭的空气柱温度为t=327C时,两活塞保持静止,此时两活塞分别与大小圆筒的相
接面的距离均为L,已知大气压强p°=1.0X105Pa,活塞与筒壁、滑轮与轮轴间的摩
擦均可忽略不计,取g=10m/s2,求:
(1)此时筒内两活塞间气柱的压强为多大?
(2)当筒内气柱的温度缓慢降到27C时,活塞A能否向右移动距离L,试
说明理由。
(3)当气柱温度降到27C时,筒内气柱的压强为多大?
(在整个变化过程
中,A、B绳子始终有作用力)。
解:
(1)将活塞A、B(包括连接两活塞的细绳)作为整体,其受力如图答24-57
(b)所示,根据物体的平衡条件得
P1S1P0S2P1S2Pobmg
(1)
PimgPo1.2105pa
SiS2
PoSi
PiSi
PoS2
P1S2U
Fmg
(2)当气体的温度缓慢降低时,气体的压强P在减小,由
(1)
图24-57(b)
式可知当式中的Pi(气体的压强)在减小时,由于SS2,故方程
故活
左边比右边小,平衡被破坏,这就意味着向右的作用力大于向左的作用力,塞右移,使气体的体积减小,压强增大,可以认为是一个等压过程(直到活塞与细筒侧壁相接触时为止),活塞不能无限制地向右移动,当活塞A移到与粗、细圆
筒的交接处时,不再移动。
设活塞刚好移到两筒交接处时气体的温度为T,此时活塞对细筒侧壁无相互作用力,在等压过程中,有
V
Ti
T
Ti600K
P400KT2300K
其中
故当筒内气体的温度缓慢降至27C,活塞A能向右移动距离L
(3)当筒内气体的温度缓慢降至27C,其末态有:
V2300K
由理想气体状态方程
9.众所周知,在沙漠中能观察到蜃楼现象,假设在近大地的空气层中,光速
加
n3
n2ni
按c(z)=co(1-az)规律变化,式中co为光沿地面的速度,z为离地高度试问:
观察者观察到蜃楼现象时,估计真实景物离他多远?
设观察者身高为h。
解:
光在沙漠上空气中的传播速度随离地面高度的增加而减少,这意味着贴近地面的空气的折射角比上层空气要小,致使远处来的光线在射向地面时,不断被折射,入射角逐渐增大。
当光线射到贴近地面大气层的入射角大于临界角时,就发生全反射现象。
如图33-41所示,将近大地的空气层划分为多个间距很小的层面,每个层面都
与大地平行,这样可认为光速在某一层面的不同高度处相同(即可视为折射率相
同)。
设各层介质的折射率分别为n1、n2、n3…光速与分界面法线的夹角分别为X、i2、i3…由折射定律可得
n1sinhn2sini2n3sini3常数
Co1
即nsini常数。
而"cz1az,
且在地面附近处CCo,i90,图33-42
故sini1az
由图33-42可见,上式是一个圆方程,这说明光线在不均匀空气中是沿圆弧传播的。
设圆半径为R,贝U
sini
R-故a
另由几何关系得
22
RzR2
并将z=h代入上式可得
点评:
将折射率连续变化的介质分成许多个折射率不相同的层面(层面中折射率
相同)是处理本题的关键。
图33-102
10.如图33-102所示,在内半径为r、外半径为R,折射率为ni的玻
璃管中充满了折射率为n2的发光液体,试问,从远处看,当管的厚度消
失时,r和R应满足什么条件?
分析:
在物理学中存在大量的临界问题,以原理、定理或定律为依据,
直接从临界状态和相应的临界量入手,求出所研究问题的特殊规律和特殊解;然后,以此对一般情况进行分析、讨论和推理,即采用从特殊到一般
的推理方法称为临界法
本题中,液体发出的光线经玻璃两次折射后射出。
从远处看,只能接受平行
光线。
管的厚度消失,即经管边缘射向远方的光线与该处的管直径2R垂直。
即光
图33-103
线从玻璃折向空气时,入射角为全反射临界角
解:
如图33-103所示,厚度消失时,切向光线MN与半径垂
直,管内存在PM光线,PM入射角C为全反射临界角,有
1
sinc
PM光线是从液体P点发出,从液体射向玻璃时折射角为。
如图33-103所示,
由正弦定理有
sinCsin
R.R
sinsinC
所以有
r门订
管壁中是否存在PM光线呢?
从P点由液体射向玻璃的入射光线的入射角最大
为90,相应折射角为max。
若n2厲则
ni
max
n2sin90
若n2ni则sinmax1
Rn_2
存在PM光线的条件是sin
sinmax,即要求门2ni时,nirni,即
Rn2r
旦iR
n2ni时,mr,即r
点评:
本题是以临界状态和相应的临界角为前提,作为分析、讨论的出发点,
由于题目未说明ni和n2的大小,应分别就ni°2和ni门2两种情况进行讨论,从而确定r和R应满足的条件。
ii.空气中放一个半径为R、折射率为n的玻璃球,两支相距d<2R的平行细光束相对球心对称地射到球上,两支光束与球心共面,如图33-I24所示。
(I)为使两支光束在球内有实交点,d与n之间必须满足什么样的关系?
(2)为使两支光束对任何d<2R均在球外有实交点,n可取哪些值?
分析:
由下面图33-125可看到,当折射角
2时两支光束在球
面上相交,这是两支光束是在球内,还是在球外有实交点的分界点,
2
d
图3
因此要分别讨论当
2与2时的情况。
图33-125
解:
如图33-125所示,有
1.
sinsin
n
sind/2R
sinsin—
2
与前两式联立,并利用
sin2sin—cos—
22
即得所求条件为
cos—
2
(2)球外相交,要求2,即可得
因此0d2R,故22/R22
为保证前一不等式对任何d均成立,便要求n2这便是n的取值范围。
12•如图41-84所示,半径为R的绝缘圆环由直径AB分成的两半部分各均匀带有正、负电荷。
正负电荷的电量都是Q。
(1)
试证明过直径AB的直线是一条电势为零的等势线。
(2)求带正电的半圆环所激发的电场在环心0点的电势。
解:
只要证明过AB的直线上各点场强方向与AB垂直,则此直线
图41-84就是等势线。
如进一步证明到直径上某一点的电势为零,则此直线上各
处电势均为零。
证法1:
(1)在直径AB上任取一点C,在环上任取关于AB对称的两点a和b,设a、b为中点的微段圆弧所带电量为q。
由于C点到这两微段的距离相等,故两段在C点产生的场强的大小相等,方向如图(它们与AB直线的夹角相等)。
所以,这两微段在C点产生的合场强必定与AB垂直。
同理,环上其它关于AB对称的任意两段在C点产生的合场强也与AB垂直,故过AB直线上各点的场强处处与AB垂直。
利用这个方法,也可证明在AB连线延长线上任一点C的合场强也与AB连线的延长线垂直,故过直径AB的直线是一条等势线。
设将一点电荷从无穷远处沿AB所在直线移到A点。
电荷的移动方向与电荷受
的电场力垂直,故电场力对电荷不做功,则有:
W电q(UUa)0
因为
所以UaU0
故此直线上各处电势均为零。
(2)以a点为中心的微段在圆心0处产生的电势为
半圆环上其它各微段在
U,kq'
R
0点产生的电势都为该值。
因电势是标量,故可直接
证法2:
(1)在环上任取的关于
AB对称的两点a和b为中点的微段圆弧所带
累加,得圆心0处的电势为
电量分别为qi和qi,a、b到C点的距离为r、a、b对C点的电势分别为
Uck』Uck』
rr
由电势叠加原理,C点的电势。
UciUcUc0
同理可得在环上任意关于AB对称的两点对C点的电势均为零,可得整个圆环对
C点电势为0。
利用上述方法可得在AB连线上任意一点电势为零。
故可得AB是一条电势为零的等势线。
(2)同证法1
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