高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第1讲函数图象与性质.docx
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高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第1讲函数图象与性质
第1讲 函数图象与性质
高考定位 1.以基本初等函数为载体,考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质,能用函数的图象与性质解决简单问题;3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.
真题感悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f(x)=的图象大致为( )
解析 f(x)=为奇函数,排除A;当x>0时,f
(1)=e->2,排除C,D,只有B项满足.
答案 B
2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50B.0C.2D.50
解析 法一 ∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且f(1-x)=f(1+x),∴f(4+x)=f(x),∴f(x)是周期函数,且一个周期为4,又f(0)=0,知f
(2)=f(0),f(4)=f(0)=0,由f
(1)=2,知f(-1)=-2,则f(3)=f(-1)=-2,从而f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=0,故f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f
(1)+f
(2)=2,故选C.
法二 由题意可设
f(x)=2sin,作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知,f(x)的一个周期为4,所以f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f
(1)+f
(2)=2.
答案 C
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则( )
A.f(x)在(0,2)上单调递增
B.f(x)在(0,2)上单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析 由题意知,f(x)=lnx+ln(2-x)的定义域为(0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=
ln[-(x-1)2+1],由复合函数的单调性知,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;又f(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确,D错误.
答案 C
4.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f[f(15)]的值为________.
解析 因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),所以函数f(x)的最小正周期为4.又因为在区间(-2,2]上,f(x)=
所以f[f(15)]=f[f(-1)]=f=cos=.
答案
考点整合
1.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:
一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究.
(3)函数图象的对称性
①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
2.函数的性质
(1)单调性:
单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
(2)奇偶性:
①若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x).
②若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0.
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.
(3)周期性:
①若y=f(x)对x∈R,f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数.
②若y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数.
③若y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数.
④若f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数.
易错提醒 错用集合运算符号致误:
函数的多个单调区间若不连续,不能用符号“∪”连接,可用“和”或“,”连接.
热点一 函数及其表示
【例1】
(1)函数y=的定义域为( )
A.(-∞,1]
B.[-1,1]
C.∪
D.∪
(2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=则满足f(x+1) A.(-∞,-1]B.(0,+∞) C.(-1,0)D.(-∞,0) 解析 (1)函数有意义,则 即 所以函数的定义域为. (2)当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(x+1)<f(2x),则需或所以x<0. 答案 (1)C (2)D 探究提高 1. (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合,只需构建不等式(组)求解即可. (2)抽象函数: 根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解. 2.对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;形如f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则. 【训练1】 (1)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( ) A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1) (2)(2018·郑州质检)函数f(x)=且f(a)=-2.则f(14-a)=________. 解析 (1)由4-x2≥0得-2≤x≤2,∴A=[-2,2], 由1-x>0得x<1,∴B=(-∞,1).∴A∩B=[-2,1). (2)当x<0时,f(x)=2x+1>0,由f(a)=-2,知-log2(a+1)+2=-2,∴a=15.故f(14-a)=f(-1)=2-1+1=1. 答案 (1)D (2)1 热点二 函数的图象及应用 【例2】 (1)(2018·浙江卷)函数y=2|x|sin2x的图象可能是( ) (2)(2018·合肥调研)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),且x1+x2+x3的取值范围为(1,8),则实数m的值为________. 解析 (1)设f(x)=2|x|sin2x,其定义域关于坐标原点对称,又f(-x)=2|-x|·sin(-2x)=-f(x),所以y=f(x)是奇函数,故排除选项A,B;令f(x)=0,则sin2x=0,所以x=(k∈Z),故排除选项C.故选D. (2)作出f(x)的图象,如图所示,可令x1 答案 (1)D (2)1 探究提高 1.已知函数的解析式,判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,以及函数图象上的特殊点,根据这些性质对函数图象进行具体分析判断. 2. (1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究. 【训练2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y=1+x+的部分图象大致为( ) (2)(2018·贵阳质检)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定: 当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( ) A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 解析 (1)法一 易知g(x)=x+为奇函数,其图象关于原点对称.所以y=1+x+的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度,选项D满足. 法二 当x=1时,f (1)=1+1+sin1=2+sin1>2,排除A,C.又当x→+∞时,y→+∞,B项不满足,D满足. (2)画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.由“规定”,在A,B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)| 综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值. 答案 (1)D (2)C 热点三 函数的性质与应用 考法1 函数的奇偶性、周期性 【例3-1】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则 f(-a)=________. (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________. 解析 (1)设g(x)=f(x)-1=ln(-x),则g(x)为奇函数.由f(a)=4,知g(a)=f(a)-1=3.∴g(-a)=-3,则f(-a)=1+g(-a)=-2. (2)∵f(x+4)=f(x-2),∴f(x+6)=f(x),则T=6是f(x)的周期.∴f(919)=f(153×6+1)=f (1), 又f(x)在R上是偶函数, ∴f (1)=f(-1)=6-(-1)=6,即f(919)=6. 答案 (1)-2 (2)6 考法2 函数的单调性与最值 【例3-2】 (1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(32a-1)≥f(-),则a的最大值是( ) A.1B.C.D. (2)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( ) A.a C.b 解析 (1)f(x)在R上是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,由f(32a-1)≥f(-)=f(),∴32a-1≤,则2a-1≤,∴a≤.故a的最大值是. (2)法一 易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数, ∵奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0. ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数. 又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1), ∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b. 法二 (特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,又3>log25.1>20.8, 从而可得c>a>b. 答案 (1)D (2)C 探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解. 2.函数单调性应用: 可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性. 【训练3】 (1)(2018·潍坊模拟)若函数f(x)=为奇函数,则 f(g(-3))=( ) A.-3B.-2C.-1D.0 (2)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f (2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________. 解析 (1)由题意得g(-3)=f(-3)=-f(3)=2-log33=1.因此f[g(-3)]=f (1)=log31-2=-2. (2)由题意知f(x-1)>f (2). 又因为f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递减, 所以f(|x-1|)>f (2),即|x-1|<2,解得-1 答案 (1)B (2)(-1,3) 1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域,如求函数f(x)=的定义域时,只考虑x>0,忽视lnx≠0的限制. 2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(|x|)=f(x). 3.三种作函数图象的基本思想方法 (1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图; (2)对函数解析式进行恒等变换,转化为已知方程对应的曲线; (3)通过研究函数的性质,明确函数图象的位置和形状. 4.函数是中学数学的核心,函数思想是重要的思想方法,利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质,对于给定的函数若不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,数形结合直观求解. 一、选择题 1.设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=( ) A.2B.4C.6D.8 解析 由已知得a>0,∴a+1>1, ∵f(a)=f(a+1),∴=2(a+1-1), 解得a=,∴f=f(4)=2(4-1)=6. 答案 C 2.(2018·西安质检)函数f(x)=的图象是( ) 解析 f(x)=为奇函数,排除选项A,B,由f(x)=0,知x=0或x=±1,选项D满足. 答案 D 3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是( ) A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x) 解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=lnx的图象上,所以y=ln(2-x). 法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=lnx的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A,C,D,选B. 答案 B 4.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( ) A.a<b<cB.a<c<b C.c<a<bD.c<b<a 解析 由f(x)=2|x-m|-1是偶函数可知m=0, 所以f(x)=2|x|-1. 所以a=f(log0.53)=2|log0.53|-1=2log23-1=2, b=f(log25)=2|log25|-1=2log25-1=4,
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