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与MATLAB交互:
命令行操作
dir
cd
表达式
函数
在MATLAB下进行基本数学运算,只需将运算式直接打入提示号(>>)之後,并按入Enter键即可。
例如:
>>(5*2+1.3-0.8)*10/25
ans=4.2000
MATLAB会将运算结果直接存入一变数ans,代表MATLAB运算後的答案(Answer)并显示其数值於萤幕上。
小提示:
">>"是MATLAB的提示符号(Prompt)
我们也可将上述运算式的结果设定给另一个变数x:
x=(5*2+1.3-0.8)*10^2/25
x=42
此时MATLAB会直接显示x的值。
由上例可知,MATLAB认识所有一般常用到的加(+)、减(-)、乘(*)、除(/)的数学运算符号,以及幂次运算(^)。
小提示:
MATLAB将所有变数均存成double的形式,所以不需经过变量声明(Variabledeclaration)
若不想让MATLAB每次都显示运算结果,只需在运算式最後加上分号(;)即可,如下例:
y=sin(10)*exp(-0.3*4^2);
若要显示变数y的值,直接键入y即可:
>>y
y=-0.0045
在上例中,sin是正弦函数,exp是指数函数,这些都是MATLAB常用到的数学函数。
4.4MATLAB关闭
exit
quit
直接关闭MATLAB的命令视窗(Commandwindow)
二.MATLAB的基本知识
2.1基本运算和函数
2.2矩阵运算
2.3矩阵函数
2.4字符串
2.5控制语句
2.6辅助语句
2.7输入输出语句
2.8M程序文件
2-1、基本运算与函数
常量:
实数、复数
另外MATLAB有些永久常数(Permanentconstants),虽然在工作空间中看不到,但使用者可直接取用,MATLAB的永久常数:
i或j:
基本虚数单位
eps:
系统的浮点(Floating-point)精确度
inf:
无限大,例如1/0nan或NaN:
非数值(Notanumber),例如0/0
pi:
圆周率p(=3.1415926...)
realmax:
系统所能表示的最大数值
realmin:
系统所能表示的最小数值
变量:
变量:
可用来存放常量、向量或矩阵,并进行各种运算
变量赋值:
变量名=表达式
A=pi+5;
x=[1352];
y=2*x+1
y=[37115]
变量命名的规则:
1.第一个字母必须是英文字母
2.字母间不可留空格
3.不能用MATLAB的常用函数
我们可以随意更改、增加或删除向量的元素:
y(3)=2%更改第三个元素
y=3725
y(6)=10%加入第六个元素
y=[3725010]
y(4)=[]%删除第四个元素,
y=[372010]
在上例中,MATLAB会忽略所有在百分比符号(%)之后的文字,因此百分比之后的文字均可视为语句的注解(Comments)。
MATLAB亦可取出向量的一个元素或一部份来做运算:
x
(2)*3+y(4)%取出x的第二个元素和y的第四个元素来做运算
ans=9
y(2:
4)-1%取出y的第二至第四个元素来做运算
ans=61-1
在上例中,2:
4代表一个由2、3、4组成的向量
变量查询:
在workspace中查询
采用who命令
采用whos命令
MATLAB的查询命令:
若对MATLAB函数用法有疑问,可随时使用help来寻求线上支援(on-linehelp)
help:
用来查询已知命令的用法。
例如:
已知inv是用来计算反矩阵,键入helpinv即可得知有关inv命令的用法。
例:
helplinspace
键入helphelp则显示help的用法
lookfor:
用来寻找未知的命令。
例如要寻找计算反矩阵的命令,可键入lookforinverse,MATLAB即会列出所有和关键字inverse相关的指令。
找到所需的命令后,即可用help进一步找出其用法。
清除变量:
clear
算术运算符号:
加法符号:
+
减法符号:
-
乘法符号:
*
除法符号:
/、\
指数(乘幂)符号:
^
返回数值
逻辑运算符号:
与:
&
或:
|
非:
~输入1或0的标量或向量,
返回0或1或0-1矩阵
MATLAB常用的基本数学函数:
abs(x):
纯量的绝对值或向量的长度
angle(z):
复数z的相角(Phaseangle)
sqrt(x):
开平方
real(z):
复数z的实部
imag(z):
复数z的虚部
conj(z):
复数z的共轭复数
round(x):
四舍五入至最近整数
fix(x):
无论正负,舍去小数至最近整数
floor(x):
地板函数,即舍去正小数至最近整数
ceil(x):
天花板函数,即加入正小数至最近整数
rat(x):
将实数x化为分数表示
rats(x):
将实数x化为多项分数展开
sign(x):
符号函数(Signumfunction)。
当x<0时,sign(x)=-1;
当x=0时,sign(x)=0;
当x>0时,sign(x)=1。
MATLAB常用的三角函数:
sin(x):
正弦函数
cos(x):
余弦函数
tan(x):
正切函数
asin(x):
反正弦函数
acos(x):
反余弦函数
atan(x):
反正切函数
atan2(x,y):
四象限的反正切函数
sinh(x):
超越正弦(正割)函数
cosh(x):
超越余弦(余割)函数
tanh(x):
超越正切函数
asinh(x):
反超越正弦函数
acosh(x):
反超越馀弦函数
atanh(x):
反超越正切函数
2.2矩阵运算
矩阵生成与输入:
矩阵是MATLAB最基本的处理单元
一个标量可以看成是含有一个元素的矩阵
矩阵的产生:
矩阵的各元素必须包括在一对方括号中
矩阵的同一行各个元素用逗号“,”或空格“”隔开
矩阵的每行元素用分号“;”隔开
方括号中的分号“;”也可以由回车换行符号代替
矩阵的元素:
可以是常量:
实数、复数
MATLAB表达式
求矩阵维数:
size(A)
特殊矩阵生成:
零矩阵:
zeros(n)
全1矩阵:
ones(n)
单位矩阵:
eye(n)
空矩阵:
A=[]
产生一个0X0维的矩阵
随机矩阵:
rand(m.n)
产生一个维数为mxn的均匀分布的随机矩阵
Randn(m,n)
产生一个维数为mxn的正态分布的随机矩阵
高维矩阵:
例如:
a=ones(2,2,2)%产生2个全1矩阵
a=ones(2,2,2)
a(:
:
1)=
11
11
a(:
:
2)=
11
11
向量的构成:
对于元素不多的向量,采用枚举输入
如果元素较多,且各元素之间有一定规律,则可以采用冒号符号来产生向量:
start:
step:
end
按照等间隔分布数据点产生向量:
variable=linspace(x1,x2,n)
variable=logspace(x1,x2,n)
子矩阵产生:
利用冒号操作产生子矩阵
矩阵转置:
B=A‘
矩阵加减:
A=[123;456];
B=[3,4,5;7,8,9];
C=A+B
矩阵乘法:
A*B
必须满足矩阵乘法要求,即:
A矩阵的列等于B矩阵的行
A=[123;456];%2行3列
B=[12;12;12];%3行2列
C=A*B%2行2列
C=
612
1530
矩阵乘方:
A^p%方阵的p次方
矩阵的逆矩阵:
B=inv(A)%B是A矩阵的逆矩阵
A必须是可逆矩阵(方阵)
矩阵除法:
左除”/”
A/B=A*inv(B)
右除”\”
A\B=inv(A)*B
点运算:
.*x
A.*B
A和B对应元素相乘
.^
A.^B
A元素用B对应元素乘幂
A(2,3)=5%改变位於第二列,第三行的元素值
A=
1234
5658
9101112
B=A(2,1:
3)%取出部份矩阵B
B=565
A=[AB']%将B转置後以行向量并入A
A=
12345
56586
91011125
A(:
2)=[]%删除第二行(:
代表所有列)
A=
1345
5586
911125
A=[A;4321]%加入第四列
A=
1345
5586
911125
4321
A([14],:
)=[]%删除第一和第四列(:
代表所有行)
A=
5586
911125
这几种矩阵处理的方式可以相互叠代运用
在MATLAB的内部资料结构中,每一个矩阵都是一个以行为主(Column-oriented)的阵列(Array)因此对于矩阵元素的存取,我们可用一维或二维的索引(Index)来定址。
举例来说,在上述矩阵A中,位于第二列、第三行的元素可写为A(2,3)(二维索引)或A(6)(一维索引,即将所有直行进行堆叠后的第六个元素)。
此外,若要重新安排矩阵的形状,可用reshape命令:
B=reshape(A,4,2)%4是新矩阵的行数,2是新矩阵的列数
B=
58
912
56
115
A(:
)就是将矩阵A每一列堆叠起来,成为一个行向量,而这也是MATLAB变数的内部储存方式。
以前例而言,reshape(A,8,1)和A(:
)同样都会产生一个8x1的矩阵。
MATLAB可在同时执行数个命令,只要以逗号或分号将命令隔开:
x=sin(pi/3);y=x^2;z=y*10,
z=
7.5000
若一个数学运算是太长,可用三个句点将其延伸到下一行:
z=10*sin(pi/3)*...
sin(pi/3);
2.3矩阵函数:
矩阵转置
若矩阵是是实数矩阵
复矩阵转置
–为共轭转置
若不想要复数矩阵Z的共轭转置,只想要形式转置,操作:
–Z.’或函数conj(Z’)
矩阵旋转
左右反转:
fliplr()
上下反转:
flipud()
90度旋转:
rot90()
左右反转:
fliplr()
上下反转:
flipud()
90度旋转:
rot90()
求上三角矩阵或下三角矩阵
求上三角矩阵:
triu()
求下三角矩阵:
tril()
矩阵的正交分解
矩阵正交分解(也称为QR分解):
–就是将一个方阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积
格式:
–[Q,R]=qr(X)
矩阵求逆:
inv(A)
求矩阵的特征值:
如果A是nXn矩阵,存在n个λ值满足:
Ax=λx,则称λ为矩阵A的特征值,对应的x向量为A的特征向量
格式:
–Variable=eig(A)%返回特征值
–[X,D]=eig(A)%X的行向量为特征向量,
–%D的对角线数据为特征值
2.4字符串:
用单引号括起来表示字符串:
–S=‘ABCD’
在MATLAB中,字符串是以向量形式存储的
字符串也可以作为矩阵中的元素,此时各行字符串联结成新的字符串
字符串操作:
字符串与ASCII码之间的转换
–A=abs(str)%
–Str=setstr(s)%
字符串与数值之间的相互转换:
判断是否为字符串
–isstr(s)
数值转换为字符串
–S=num2str(x)
字符串转换为数值
–X=str2num(str)
整数转换成字符串
–int2str(n)
字符串比较
strcmp(s1,s2)
检查字母
isletter(str)
检查字符串
isstr(str)
查找
index=findstr(s1,s2)%返回字符串s2在字符串中的位置
替换
strrep(s1,s2,s3)
–%将字符串s1中的所有字符串s2用字符串s3来大体,返回这个新的字符串
字符串处理函数
处理成空格
–str=blanks(n)%含有n个空格的字符串
处理成命令
–eval(s)%将字符串s变成MATLAB命令来执行
大小写转换
–upper(s)
–lower(s)
2.5、控制语句
循环语句
–for循环
–格式:
forvariable=startval:
stepval:
endval
statements
end
在MATLAB中,for语句执行速度较慢
有些for循环语句可以由冒号操作来实现,冒号操作的速度却是比较快的。
for可以嵌套
While循环
格式:
whileexpress
statements
end
当expression为真时,执行statements
如:
sum=0;
k=1;
whilek<=100
sum=sum+k*k;
k=k+1;
end
sum
条件转移语句
最简单的逻辑命令是if,...,end,其基本形式为:
if条件式;
运算式;
end
例如:
>>ifrand(1,1)>0.5
disp('Givenrandomnumberisgreaterthan0.5.');
end
Givenrandomnumberisgreaterthan0.5.
复杂条件转移语句
ifexpress1
statements1
elseifexpress2
statements2
elseif……
……
else
statements0
end
例如:
2.6辅助语句
注释:
%text
中断语句:
–break
–终止一个循环语句的执行过程
暂停语句
–pause
–pause(n)
–暂停程序的执行
回显控制语句:
–echoon/off
–控制是否显示MATLAB正在执行的语句
2.7输入输出语句
输入数值:
X=input(‘string’)
输入字符串:
X=input(‘string’,’s’)
输出语句
输出显示:
disp(variable)
错误信息显示:
error(‘string’)
2.8、M程序文件
若要一次执行大量的MATLAB命令,可将这些命令存放于一个扩展名为m的文件,并在MATLAB提示号下键入此档案的主档名即可。
此种包含MATLAB命令的文件都以m为扩展名,因此通称M文件(M-files)。
例如一个名为test.m的m文件,包含一连串的MATLAB命令,那麽只要直接键入test,即可执行其所包含的命令:
a=[123456;678];
b=[2,2,3,5;6,7,8,9;11,12,13,14];
c=a*b
函数
严格来说,M文件可再细分为命令集(Scripts)及函数(Functions)。
前述的test.m即为命令集,其效用和将命令逐一输入完全一样,因此若在命令集可以直接使用工作空间的变量,而且在命令集中设定的变量,也都在工作空间中看得到。
函数则需要用到输入参数(Inputarguments)和输出参数(Outputarguments)来传递信息,这就像是C语言的函数。
举例来说,若要计算一个正整数的阶乘(Factorial),我们可以写一个如下的MATLAB函数并将之存档於fact.m:
functionoutput=fact(n)
%FACTCalculatefactorialofagivenpositiveinteger.
output=1;
fori=1:
n,
output=output*i;
end
其中fact是函数名,n是输入参数,output是输出参数,而i则是此函数用到的暂时变量。
要使用此函数,直接键入函数名及适当输入参数值即可:
y=fact(5)
y=120
(当然,在执行fact之前,你必须先进入fact.m所在的目录。
)在执行fact(5)时,
MATLAB会跳入一个下层的暂时工作空间(Temperaryworkspace),将变数n的值设定为5,然后进行各项函数的内部运算,所有内部运算所产生的变量(包含输入参数n、暂时变量i,以及输出参数output)都存在此暂时工作空间中。
运算完毕后,MATLAB会将最后输出参数output的值设定给上层的变数y,并将清除此暂时工作空间及其所含的所有变量。
换句话说,在调用函数时,你只能经由输入参数来控制函数的输入,经由输出参数来得到函数的输出,但所有的暂时变量都会随着函数的结束而消失,你并无法得到它们的值。
MATLAB的函数也可以是递归式的(Recursive),也就是说,一个函数可以呼叫它本身。
举例来说,n!
=n*(n-1)!
,因此前面的阶乘函数可以改成递式的写法:
functionoutput=fact(n)
%FACTCalculatefactorialofagivenpositiveintegerrecursively.
ifn==1%Terminatingcondition
output=1;
return;
end
output=n*fact(n-1);
在写一个递归函数时,一定要包含结束条件(Terminatingcondition),否则此函数将会一再呼叫自己,永远不会停止,直到电脑的内存被耗尽为止。
以上例而言,n==1即满足结束条件,此时我们直接将output设为1,而不再呼叫此函数本身。
三、数值分析内容
微分
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个:
–diff(f)传回f对预设独立变量的一次微分值
–diff(f,‘t’)传回f对独立变量t的一次微分值
–diff(f,n)传回f对预设独立变量的n次微分值
–diff(f,‘t’,n)传回f对独立变量t的n次微分值
–数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项:
>>S1='6*x^3-4*x^2+b*x-5';
>>S2='sin(a)';
>>S3='(1-t^3)/(1+t^4)';
>>diff(S1)
ans=18*x^2-8*x+b
>>diff(S1,2)
ans=36*x-8
>>diff(S1,'b')
ans=x
>>diff(S2)
ans=
cos(a)
>>diff(S3)
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3
>>simplify(diff(S3))
ans=t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2
数值微分
积分
int函数用以演算一函数的积分项,这个函数要找出一符号式F使得diff(F)=f。
如果积分式的解析式(analyticalform,closedform)不存在的话或是MATLAB无法找到,则int传回原输入的符号式。
相关的函数语法有下列4个:
int(f)传回f对预设独立变量的积分值
int(f,‘t’)传回f对独立变量t的积分值(不定积分)
int(f,a,b)传回f对预设独立变量的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式(定积分)
int(f,'t',a,b)传回f对独立变量t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式
int(f,'m','n')传回f对预设变量的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式
示范:
>>S1='6*x^3-4*x^2+b*x-5';
>>S2='sin(a)';
>>S3='sqrt(x)';
>>int(S1)
ans=3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x
>>int(S2)
ans=-cos(a)
>>int(S3)
ans=2/3*x^(3/2)
>>int(S3,'a','b')
ans=2/3*b^(3/2)-2/3*a^(3/2)
>>int(S3,0.5,0.6)
ans=2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)
>>numeric(int(S3,0.5,0.6))%使用numeric函数可以计算积分的数值
ans=0.0741
3、求解常微分方程式
MATLAB解常微分方程式的语法是:
dsolve(‘equation’,‘condition’),
–其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'',
condition则为初始条件。
例如:
‘y(a)=b’或'Dy(a)=b'
例如
对应上述常微分方程式的符号运算式为:
>>soln_1=dsolve('Dy=3*x^2','y
(2)=0.5')
–soln_1=
–3*x^2*t-6*x^2+1/2
>>ezplot(soln_1,[-30,30])%看看这个函数的曲线
>>soln_2=dsolve('Dy=2*x*cos(y)^2','y(0)=pi/4')
–soln_2=
–atan(2*t*x+1)
>>soln_3=dsolve('Dy=3*y+exp(2*x)','y(0)=3')
–soln_3=
–-1/3*exp(2*x)+exp(3*t)*(1/3*exp(2*x)+3)
4、非线性方程式的实根
要求任一方程
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