广州中考数学复习尺规作图知识点与练习.docx
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广州中考数学复习尺规作图知识点与练习
尺规作图
【知识回顾】
1、尺规作图的定义:
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、六种基本作图:
1、作一条线段等于已知线段;
2、作已知线段的垂直平分线;
3、作已知角的角平分线;
4、作一个角等于已知角;
5、过直线外一点作已知直线的垂线;
6、过直线上一点作已知直线的垂线;
(1)题目一:
作一条线段等于已知线段。
已知:
如图,线段a.
求作:
线段AB,使AB=a.
作法:
(1)作射线AP;
(2)在射线AP上截取AB=a.
则线段AB就是所求作的图形。
(2)题目二:
作已知线段的中点(作已知线段的垂直平分线)
已知:
如图,线段MN.
求作:
点O,使MO=NO(即O是MN的中点).
作法:
(1)分别以M、N为圆心,大于
的相同线段为半径画弧,
两弧相交于P,Q;
(2)连接PQ交MN于O.
则点O就是所求作的MN的中点。
补充知识点:
三角形的外接圆,圆心位于该三角形任意两边的垂直平分线的交点处.
(3)题目三:
作已知角的角平分线。
已知:
如图,∠AOB,
求作:
射线OP,使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)。
作法:
(1)以O为圆心,任意长度为半径画弧,
分别交OA,OB于M,N;
(2)分别以M、N为圆心,大于 的线段长
为半径画弧,两弧交∠AOB内于P;
(3)作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
补充知识点:
三角形的内切圆的圆心位于三角形任意两角的角平分线的交点处.
(4)题目四:
作一个角等于已知角。
已知:
如图,∠AOB。
求作:
∠A’O’B’,使A’O’B’=∠AOB
作法:
(1)作射线O’A’;
(2)以O为圆心,任意长度为半径画弧,交OA于M,交OB于N;
(3)以O’为圆心,以OM的长为半径画弧,交O’A’于M’;
(4)以M’为圆心,以MN的长为半径画弧,交前弧于N’;
(5)连接O’N’并延长到B’。
则∠A’O’B’就是所求作的角。
(6)题目五:
经过直线外一点作已知直线的垂线
已知:
如图,直线AB及外一点P。
求作:
直线CD,使CD经过点P,
且CD⊥AB。
作法:
(1)以P为圆心,任意长为半径画弧,交AB于M、N;
(2)分别以M、N圆心,大于
长度的一半为半径画弧,两弧交于点Q;
(3)过P、Q作直线CD。
则直线CD就是所求作的直线。
补充知识点:
该方法也可用于以已知直线为对称轴作直线外一点的对称点
(5)题目六:
经过直线上一点做已知直线的垂线。
已知:
如图,P是直线AB上一点。
求作:
直线CD,是CD经过点P,且CD⊥AB。
作法:
(1)以P为圆心,任意长为半径画弧,交AB于M、N;
(2)分别以M、N为圆心,大于
的长为半径画弧,两弧交于点Q;
(3)过D、Q作直线CD。
则直线CD是求作的直线。
3、三种三角形作图
(5)题目七:
已知三边作三角形。
已知:
如图,线段a,b,c.
求作:
△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
作法:
(1)作线段AB=c;
(2)以A为圆心,以b为半径作弧,
以B为圆心,以a为半径作弧与
前弧相交于C;
(3)连接AC,BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目八:
已知两边及夹角作三角形。
已知:
如图,线段m,n,∠
.
求作:
△ABC,使∠A=∠
,AB=m,AC=n.
作法:
(1)作∠A=∠
;
(2)在AB上截取AB=m,AC=n;
(3)连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目九:
已知两角及夹边作三角形。
已知:
如图,∠
,∠
,线段m.
求作:
△ABC,使∠A=∠
,∠B=∠
AB=m.
作法:
(1)作线段AB=m;
(2)在AB的同旁
作∠A=∠
,作∠B=∠
,
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所求作的图形(三角形)。
【真题实训】
1、(2016海珠一模)如图,四边形ABCD是平行四边形.
利用尺规作∠ABC的平分线BE,交AD于E(保留作图痕迹,不写作法);
作图原理:
_________
2、(2015越秀一模)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
动手操作:
利用尺规作∠ABC的平分线,交AC于点O,
再以O为圆心,OC的长为半径作⊙O(保留作图痕迹,不写作法);
作图原理:
_________
3、(2016番禺一模)已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB边上一点O为圆心,过A、D两点作⊙O(不写作法,保留作图痕迹)
作图原理:
_________
4、(2016天河一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.
利用尺规,以AB为直径作⊙O,交BC于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
作图原理:
_________
5、(2016白云一模)如图:
△ABC中,∠C=45°,点D在AC上,
且∠ADB=60°,AB为△BCD外接圆的切线.
用尺规作出△BCD的外接圆(保留作图痕迹,可不写作法);
作图原理:
_________
6、(2016从化一模)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角分线.以AB上的一点O为圆心,AD为弦在图中作出⊙O.
(不写作法,保留作图痕迹);
作图原理:
_________
7、(2014越秀一模)如图,已知□ABCD.作图:
延长BC,
并在BC的延长线上截取线段CE,使得CE=BC(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
作图原理:
_________
8、(2015海珠一模)如图,在△ABC中,AB=BC,点E在边AB上,
EF⊥AC于F.尺规作图:
过点A作AD⊥BC于点D
(保留作图痕迹,不写作法)
作图原理:
_________
9、(2016越秀一模)如图,等腰三角形ABC中,AC=BC,
动手操作:
利用尺规作以BC为直径的⊙O,⊙O交AB于点D,
⊙O交AC于点E,并且过点D作DF⊥AC交AC于点F.
作图原理:
_________
10、(2014广州中考)如图,
中,
动手操作:
利用尺规作以
为直径的⊙
,并标出⊙
与
的交点
,
与
的交点
(保留作图痕迹,不写作法).
作图原理:
_________
11、(2013广州中考)已知四边形ABCD是平行四边形(
如图),
把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.
利用尺规作出△AˊBD.(要求保留作图痕迹,不写作法)
作图原理:
_________
12、(2015广州中考)如图,AC是⊙O的直径,
点B在⊙O上,∠ACB=30°利用尺规作∠ABC的平分线BD,
交AC于点E,交⊙O于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法)
作图原理:
_________
13、(2016广州中考)如图,利用尺规,在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB,
在射线AE上截取AD=BC,连接CD(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)
作图原理:
_________
14.(2016花都一模)在△ABF中,C为AF上一点且AB=AC.尺规作图:
作出以AB为直径的⊙O,⊙O分别交AC、BC于点D、E,在图上标出D、E,在图上标出D、E(保留作图痕迹,不写作法).
作图原理:
_________
15、(2014海珠一模)如图圆O内接三角形
.
把
以点O为旋转中心,顺时针方向旋转
的度数
得到
.利用尺规作出
(要求保留作图痕迹,不写作法)
作图原理:
_________
【拓展练习】
1、如图:
107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使P到OA、OB的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
2、三条公路两两相交,交点分别为A,B,C,现计划建一个加油站,要求到三条公路的距离相等,问满足要求的加油站地址有几种情况?
用尺规作图作出所有可能的加油站地址。
3、过点C作一条线平行于AB。
4、如图,平行四边形纸条ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点。
张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF沿EF翻折,得到一个V字形图案。
请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE;(用尺规作图,不写画法,保留作图痕迹)。
5、如图,已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形,∠AOB画在方格纸上,请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB的平分线。
6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案,图中AB为直径,O为圆心(要求用尺规作图,保留作图痕迹)。
7、已知线段AB和CD,如下图,求作一线段,使它的长度等于AB+2CD.
8、如图,已知∠A、∠B,求作一个角,使它等于∠A-∠B.
9、如图,画一个等腰△ABC,使得底边BC=
,它的高AD=
10、如图,有A,B,C三个村庄,现要修建一所希望小学,使三个村庄到学校的距离相等,学校的地址应选在什么地方?
请你在图中画出学校的位置并说明理由(保留作图痕迹).
11、如图,A、B两村在一条小河的的同一侧,要在河边建一水厂向两村供水.
(1)若要使自来水厂到两村的距离相等,厂址应选在哪个位置?
(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省,厂址应选在哪个位置?
请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出,并保留作图痕迹.
.B
A.
12、如图,A为∠MON内一点,试在OM、ON边上分别作出一点B、C,使△ABC的周长最小.
13、如图,已知两点P、Q在锐角∠AOB内,分别在OA、OB上求点M、N,使PM+PN+NQ最短.
尺规作图练习参考答案
【真题实训】参考答案
1、作图原理:
作已知角的的角平分线.图略.
2、作图原理:
作已知角的角平分线
3、作图原理:
作已知线段的垂直平分线.
4、作图原理:
作已知线段的垂直平分线.
第2题图
第3题图第4题图
5、作图原理:
作已知线段的垂直平分线.图略.
6、作图原理:
作已知线段的垂直平分线.
7、作图原理:
作一条线段等于已知线段
8、作图原理:
过直线外一点作已知直线的垂线.,图略
9、作图原理:
作已知线段的垂直平分线.、过直线外一点作已知直线的垂线.
第6题图第7题图第9题图
10、作图原理:
作已知线段的垂直平分线.图略
11、本题有两种解答方法
方法一:
作图原理:
作一个角等于已知角;
作法:
①作∠A′BD=∠ABD,
②以B为圆心,AB长为半径画弧,交BA′于点A′,
③连接BA′,DA′,
则△A′BD即为所求;
方法二:
作图原理:
过直线外一点作已知直线的垂线(以BD为对称轴作A点的对称点E),作法与图略.
12、作图原理:
作已知角的角平分线
作法:
①以点B为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角ABC两边于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于
MN的长度为半径画弧,两弧交于一点;③作射线BE交AC与E,交⊙O于点D,则线段BD为△ABC的角平分线;
13、作图原理:
作一个角等于已知角;作一条线段等于已知线段
14、作图原理:
作已知线段的垂直平分线,图略
作法:
作AB的垂直平分线交AB于O,以O为圆心,OA为半径作圆,⊙O即为所求;
15、作图原理:
作一条线段等于已知线段
【拓展练习】参考答案
1.使P到OA、OB的距离相等,P在角AOB的平分线上,且PC=PD,则P又在CD的垂直平分线上;作CD垂直平分线交角AOB平分线P点
作法:
分别以C、D为圆心,大于CD/2半径在CD两侧做圆弧,连接圆弧交点并延长,以O为圆心任意半径 长做圆弧交OA、OB于2点,再分别以这两点为圆心,相同半径(大于两点连线长度的一半)做圆弧,连接O到交点并适当延长,和CD垂直平分线的交点即P点
2.如图所示:
(1)作出△ABC两内角的平分线,其交点为O1;
(2)分别作出△ABC两外角平分线,其交点分别为O2,O3,O4,
故满足条件的修建点有四处,即O1,O2,O3,O4.
3.过C点作AB的垂线l,再过C点作l的垂线即可
4.解:
(1)如图所示,
①以点E为圆心,分别以AE、BE长为半径化弧;
②以点F为圆心,分别以BF、BE为半径化弧,与前两弧分别相交于A′,B′两点,连接A′B′,A′E,B′F即可;
5.略
6.作法:
分别以A、B为圆心,以AO(或BO)的长为半径画弧,分别交半圆于点M、N;连接OM、ON即可.
7.作直线l,在直线上任取一点e,顺次截取线段,分别等于AB、CD、CD即可.
8.如图所示,上面两角为已知角,AB=A'B'=A''B'',BC=B'C',CD=C'D',
则∠CAB=∠a,∠CAD=∠b,
∴∠BAD=∠a-∠b,就是所画的角
9.设A,B,C为顶点构建三角形,作任意两边的中垂线,交于点O,O点即是学校的位置.
理由:
线段垂直平分线上的点到两顶点的距离相等,由作图可知,OA=OB,OB=OC,∴OA=OC,则学校建在O处,三个村庄到学校的距离相等.
10.
(1)根据中垂线的性质:
中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知,
作出AB的中垂线与河岸交于点P,则点P满足到AB的距离相等.
(2)作出点A关于河岸的对称点C,连接CB,交于河岸于点P,连接AP,则点P能满足AP+PB最小,
理由:
AP=PC,三角形的任意两边之和大于第三边,当点P在CB的连线上时,CP+BP是最小的.
第
(1)小题第
(2)小题
11.①分别作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;②连接A′、A″,分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求
12.作点Q'与点Q关于线OB对称,连接点P、Q‘交OB于点N;再作PM垂直于OA于点M,此时的PM+PN+NQ最小.
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