高中数学经典50题附答案.docx

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高中数学经典50题附答案

高中数学题库1.求下列函数的值域：

2txftttxt解法2令＝sin，则（）＝－＋＋1，∵|sin|≤1,∴||≤1.问题转化为求关tft于的二次函数（）在闭区间[－1,1]上的最值．本例题

（2）解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：

由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2.设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离4mm地球相距万千米和万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3和，求该慧星与地球的最近距离。

2322xy1F（c,0）解：

建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点处，椭圆的方程为22ab（图见教材P132页例1）。

时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为312/xFA（或xFA）ABOx于B，则FBFAm能满足。

作33232cam（c）ac故由椭圆第二定义可知得24ca2m（cm）ac33c2131m,a2c.代入第一式得m（4cc）c,m两式相减得a322322cm.accm.332m答：

彗星与地球的最近距离为万千米。

3说明：

（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，ac该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是，ac.另一个是

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。

另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。

30KmKm3.A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6，C在B正北偏西，相距4，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，sKm/s因此4后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1，A若炮击P地，求炮击的方位角。

（图见优化设计教师用书P249例2）xy解：

如图，以直线BA为轴，线段BA的中垂线为轴建立坐标系，则PBPCB（3,0）,A（3,0）,C（5,23），因为，所以点P在线段BC的垂直平分线上。

1k3y3（x4）D（4,3）因为，BC中点，所以直线PD的方程为

（1）BC3PBPA4,P（x,y）又故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。

设，则双曲线方程为22xy1（x0）x8,y53

（2）。

联立

（1）

（2），得，4553k330P（8,53）.所以因此，故炮击的方位角北偏东。

PA83说明：

本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。

4.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2

米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？

2x2py（p0）解：

建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为。

将B（4,-5）代入得P=1.62x3.2y船两侧与抛物线接触时不能通过2则A（2,y），由2=-3.2y得y=-1.25AAA因为船露出水面的部分高0.75米所以h=︱y︱+0.75=2米A答：

水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行[思维点拔]注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。

．llllNl5.如图所示，直线和相交于点M，，点，以A、B为端点的曲线段C12121lAMN上任一点到的距离与到点N的距离相等。

若为锐角三角形，2AM17,AN3,且NB＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。

l解：

以直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲1l线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段C的端2点。

2x,xy2px（p0）（xxx,y0）设曲线段C的方程为，其中为A、B的ABABpppMNAM17,AN3M（,0）,N（,0）横坐标，，所以，由，得22p2（x）2px17

（1）AA2p42x（x）2px9p0，

（1）

（2）联立解得，代入

（1）式，并由

（2）AAAp2p4p2p2p或xAMN解得，因为为锐角三角形，所以，故舍去，所Ax1x2x22AAAp4以x1APxBN4由点B在曲线段C上，得，综上，曲线段C的方程为B22y8x（1x4,y0）[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，

综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

2y4ax（a0）6.设抛物线的焦点为A,以B（a+4,0）点为圆心，︱AB︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。

点P是MN的中点。

（1）求︱AM︱+︱AN︱的值

（2）是否存在实数a，恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列？

若存在，求出a，不存在，说明理由。

解：

（1）设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M′,N′,P′.︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=x+x+2a又圆方程MN22[x（a4）]y16222y4axx2（4a）xa8a0将代入得xx24a得︱AM︱+︱AN︱=8MN

（2）假设存在a因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱所以︱AP︱=︱PP′︱，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。

故a不存在。

2AF,MF,BFy2pxp07.抛物线上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若成等差数列

（1）求证线段AB的垂直平分线过定点QMF4,OQ6

（2）若（O为坐标原点），求抛物线的方程。

（3）对于

（2）中的抛物线，求△AQB面积的最大值。

ppAx,y,Bx,y,Mx,yAFxBFx解：

（1）设，则，，1122001222xxp21x,tMFxxAB，由题意得，的中点坐标可设为，其中00022yy12AFMFBFp0t0，（否则）2yyyy2pp1212k，故AB的垂直平分线为而AB1yytxx22yy1212122pttxxpyp0Qxp,0ytxx，即，可知其过定点000pp2MF4,OQ6y8xp4,x2x4,xp6

（2）由，得联立解得。

，0002

4222y8xy2ty2t160ytx2（3）直线AB：

，代入得，t2t22222xxyyyyyy4yy644t，1212121212162t122222ABxxyy16t,16t16t121242124d16tQ6,0256t，，又点到AB的距离211142246SABd256t16t4096256t16ttAQB24424635u4096256t16ttu512t64t6tu0令，则，令即4161622352512t64t6t0t16ttt3t0，得或或，时33364S6。

AQB9[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

22l:

ytan（x22）x9y9l8、已知直线交椭圆于A、B两点，若为的倾斜角，AB且的长不小于短轴的长，求的取值范围。

yl解：

将的方程与椭圆方程联立，消去，得2222（19tan）x362tanx72tan9026tan622AB1tanxx1tan2122（19tan）19tan1332AB2,得tan,tan由，3335,0,的取值范围是66tanl[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。

本题由于的方程由给出，所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。

222yxyk（x1）9、已知抛物线与直线相交于A、B两点

OAOB

（1）求证：

10OABk

（2）当的面积等于时，求的值。

2yx2xkyyk0

（1）证明：

图见教材P127页，由方程组消去后，整理得。

yk（x1）2A（x,y）,B（x,y）yy1yxA,B设，由韦达定理得在抛物线上，1122122222yx,yx,yyxx11221212yyyy11212kk1,OAOBOAOBxxxxyy121212xy0,则x1，即N（－1，0）k0,

（2）解：

设直线与轴交于N，又显然令111SSSONyONyONyyOABOANOBN121222211122S1（yy）4yy（）4OAB121222k1114,解得kS10,10OAB226k[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。

210、在抛物线y=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。

2〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y=4x得：

2y+4ky-4m=0，设B（x，y）、C（x，y），BC中点M（x，y），则1122002y=（y+y）/2=-2k。

x=2k+m，012032k2k32∵点M（x，y）在直线上。

∴-2k（2k+m）+3，∴m=-又BC与抛物线交于不00k32k2k3（k1）（kk3）200即，同两点，∴⊿=16k+16m>0把m代入化简得kk解得-1

92211、已知椭圆的一个焦点F（0，-2），对应的准线方程为y=-，且离心率e满足：

142/3，e，4/3成等比数列。

（1）求椭圆方程；

1ll

（2）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-平2l分。

若存在，求的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

22〖解〗依题意e=322a9222a222

（1）∵-c=-2=，又e=∴=3，c=2，b=1，又F（0，-2），1c43492对应的准线方程为y=-。

∴椭圆中心在原点，所求方程为：

42y2x=191lll

（2）假设存在直线，依题意交椭圆所得弦MN被x=-平分，∴直线的斜率存在。

设2lykxmykxm直线：

由2y2x=1消去y，整理得9222（k9）x2kmxm9=0l2222∵直线与椭圆交于不同的两点M、N∴⊿=4km-4（k+9）（m-9）>022即m-k-9<0①设M（x，y）、N（x，y）11222xxk9km112m∴②，∴22k22k9k3或k3把②代入①可解得：

2l,,∴直线倾斜角3223[思维点拔]倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。

3xy60xy2012、设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大x0,y023值为12，则的最小值为（）ab

25811A．B．C．D．4633答案：

A解析：

不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，23232a3b13ba1325（）（）2即4a+6b=12，即2a+3b=6,而=，故选abab66ab66A．点评：

本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求23的ab最小值常用乘积进而用基本不等式解答．13、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用500不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是万元．答案：

70xzy解析：

设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为xy≤300，y500x200y≤90000，元，由题意得500x≥0，y≥0.400z3000x2000y目标函数为．xy≤300，3005x2y≤900，二元一次不等式组等价于Ml200x≥0，y≥0.100作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．l:

3000x2000y03x2y0如图：

作直线，即．0100200300xM平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．

xy300，x100，y200（100，200）M联立解得．点的坐标为．5x2y900.z3000x2000y700000（元）．max点评：

本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．a2f（x）2x（xa）|xa|14、设为实数，函数．a

（1）若，求的取值范围；f（0）1f（x）

（2）求的最小值；h（x）f（x）,x（a,）h（x）1（3）设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的．．．．解集．a0a1a|a|1；解析：

（1）若，则f（0）12a12f（a）,a02a,a022f（x）3x2axa,xa

（2）当时，，f（x）a22aminf（）,a0,a0332f（a）,a02a,a022f（x）x2axa,f（x）xa当时，，minf（a）,a022a,a022a,a0f（x）2综上；2amin,a03x（a,）223x2axa10h（x）1（3）时，得，2224a12（a1）128a66a或a0,x（a,）当时，；2222a32aa32a66）（x）0（xa；当时，△>0，得：

3322xa

26a（,）（a,）讨论得：

当时，解集为；2222a32aa32a62][,）（a,a（,）；当时，解集为33222a32a22,）[a[,]．当时，解集为322点评：

本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．132f（x）xx215、知函数．32aSa3（a,a2a）（Ⅰ）设是正数组成的数列，前n项和为，其中．若点（nnn1nn1n1''（n,S）yf（x）yf（x）∈N*）在函数的图象上，求证：

点也在的图象上；nf（x）（a1,a）（Ⅱ）求函数在区间内的极值．1'232f（x）x2xf（x）xx2,解析：

（Ⅰ）证明：

因为所以，3'222yf（x）（a,a2a）（nN）a2aa2a由点在函数的图象上,nn1n1n1n1nn（aa）（aa）2（aa）a0（nN），又，n1nn1nnn1naaa2a3,d2所以，是的等差数列，nn1n1n（n1）'22Sf（n）f（n）n2nS3n2=n2n所以,又因为,所以,nn2'（n,S）yf（x）故点也在函数的图象上．n2x0或x2f（x）x2xx（x2）f（x）0,（Ⅱ）解:

令得．f（x）f（x）x当变化时,﹑的变化情况如下表:

x（-∞,-2）-2（-2,0）f（x）+0-f（x）↗极大值↘（a1）a12注意到,从而

2a12a,即2a1时,f（x）的极大值为f

（2）f（x）①当,此时无极小3值；a10a,即0a1时,f（x）f（x）f（0）2②当的极小值为,此时无极大值；a2或1a0或a1时,f（x）③当既无极大值又无极小值．点评：

本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．11ab333a0,b0.的最小值为（）16、设若是与的等比中项，则ab1A．8B．4C．1D．4答案：

B1111baabab1（ab）（）2333解析：

因为，所以，ababab1baba224ab，当且仅当即时“=”成立，故选择B．ab2ab点评：

本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．3*a1c,cN,其中ca0,aca为实数．17、设数列满足n0n1n*a[0,1]nNc[0,1]（Ⅰ）证明：

对任意成立的充分必要条件是；n1n1*a1（3c）,nN0c，证明：

；（Ⅱ）设n321222*0caaan1,nN（Ⅲ）设，证明：

．12n313c∵a0,∴a1c∵a[0,1],∴01c1解析：

（1）必要性：

，又，即122c[0,1]．*a[0,1]nNc[0,1]充分性：

设，对用数学归纳法证明，nn1a0[0,1]a[0,1]（k1）当时，．假设，1k33aca1cc1c1aca1c1c0则，且，k1kk1k

*∴a[0,1]a[0,1]nN，由数学归纳法知对所有成立．k1n1n1a00c

（2）设，当时，，结论成立．1332n2∵aca1c,∴1ac（1a）（1aa）当时，，nn1nn1n1n112a[0,1]1a01aa3∵0C,由

（1）知，所以且，n1n1n1n13∴1a3c（1a），nn12n1n1∴1a3c（1a）（3c）（1a）（3c）（1a）（3c），nn1n21n1*∴a1（3c）（nN）．n122n10ca02（3）设，当时，，结论成立，1313cn1n2a1（3c）0当时，由

（2）知，n2n12n12（n1）n1∴a（1（3c））12（3c）（3c）12（3c），n22222n12∴a]aaaan12[3c（3c）（3c）12n2nn2（1（3c））2n1n1．13c13c点评：

该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：

一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：

（1）公差为0的有6个；

（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B．点评：

本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．Sa4nnn19、等差数列{a}和{b}的前n项和分别用S和T表示，若，则的值为（）nnnnT3n5bnn

4n28n36n36n2ABCD3n16n28n28n3答案：

AaaT（2n1）b12n1S（2n1）（2n1）a解析：

∵；．2n1n2n1n24（2n1）aS8n44n2n2n1∴．3（2n1）5bT6n23n1n2n1点评：

考查等差数列的前n项和的变形。

2（a＋b）20、已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小cd值是________．答案：

4222（a＋b）（x＋y）（2xy）解析：

∵＝≥＝4．cdxyxy点评：

考查等差等比数列的基本知识，均值不等式。

222xxa0x4ax3a0xx60p:

q:

21、命题实数满足，其中，命题实数满足2ax2x80pq或，且是的必要不充分条件，求的取值范围．22x|3axaAx|x4ax3a0（a0）解析：

设，2222Bx|xx60或x2x80x|xx60x|x2x80x|2x3x|x4或x2x|x4或x2=pqqppq因为是的必要不充分条件，所以，且推不出CBx|4x2CAx|x3a,或xa而，RR3a2a4x|4x2Øx|x3a或xa所以，则或a0a02a4a0即或．3点评：

考查逻辑用语，一元二次方程及其含参数的解集。

f（x）f（x）2x22、已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1,3）．

f（x）f（x）6a0（l）若方程有两个相等的根，求的解析式；f（x）

（2）若的最大值为正数，求a的取值范围．a0f（x）2x0f（x）2xa（x1）（x3）解析：

（1）因为的解集为（1，3），所以且．2f（x）a（x1）（x3）2xax（24a）x3a因而

（1）2ax（24a）x9a0f（x）6a0由方程得：

（2）因为方程

（2）有两个相等的根．22[（24a）]4a9a05a4a10所以，即．1a1a解得：

（舍去）或，511632af（x）xxf（x）将代入

（1）得的解析式为：

，5555212aa4a122a（x）f（x）ax2（12a）x3a

（2），aa2a4a1f（x）有a<0，可得的最大值为，a2a4a1所以>0，且a<0．aa23或2