Aonefactormodelofinterestratesanditsapplicationtotreasurybondoptions翻译.docx
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《利率的单因素模型以及它在国债期权上的应用》全文翻译
在一种比较简单和通用的利率模型中,所有证券的价格和利率都取决于一个因素---短期利率。
长期利率和它们的估计波动率的现有模型被用来构建未来短期利率的可能性树。
之后,这棵树便可以用来给利率敏感性证券定价。
例如,一种两年期的零息债券在第二年末的时候会有个已知价格,不论是以哪种短期利率为准。
一年之后它的可能价格可以使用一年之后的短期利率来对预期的两年价格做贴现得到。
与现行市场期限结构一致的利率可以通过迭代方法得到。
然后现在的价格就可以通过使用现在的短期利率对一年期价格(在一棵二叉树中,可能出现的两种一年期价格的平均值)贴现来得到。
给出一个市场期限结构和由短期利率导出的树,这个模型就可以用来给债券期权定价。
首先,找出国债在不同时点的未来价格。
这些价格用来决定期满时期权的价值。
给定一个看涨或看跌期权的期末价值,它们在到期前的可能价值就可以通过使用给债券定价的相同的贴现过程来找到。
这个模型也可以用来决定期权对冲比率。
这篇文章论述了一个可以用来给任何利率敏感性证券定价的利率模型。
我们通过集中精力研究国债期权定价问题来解释它是如何发挥作用的。
这个模型有三个主要特征:
1.它的基本变量时短期利率---年化的一年期利率。
短期利率是这个模型的一个因素,它的改变将促使所有证券的价格发生改变。
2.这个模型对不同期限的债券输入了一系列长期利率(零息国债收益)和一系列收益率波动率。
我们称前一系列为收益率曲线,后一系列为波动率曲线,合在一起称为期限结构。
3.这个模型对未来的短期利率改变了一系列的平均值和一系列的波动性来匹配输入。
当未来波动性改变时,未来平均值方向改变。
我们检验一下在一个理想世界里这个模型是如何起作用的。
在这个理想世界里:
所有债券收益率都是完全相关的;对所有债券在一期里的预期收益率都是相等的;短期利率在任何时点都是呈对数正态分布的;没有税收和交易费用。
假设今天我们拥有一只利率敏感性证券S。
我们假设它在下一期的价格以相同的概率可能上升到Su或者下降到Sd。
图A显示了S在一年后的可能变化,起始状态短期利率为r。
一年以后S的预期价格为1/2(Su+Sd)。
预期收益为1/2(Su+Sd)/S。
因为我们假设所有预期收益是相等的,并且由于我们可以r借钱,所有我们可以导出:
r是现在的短期利率。
从未来价格中获得今天的价格
我们可以用一步树来把今天的价格和一步之后的价格联系起来。
类似的,我们可以推导出一步以后的价格,从两步以后的价格中。
用这种方法,我们可以把今天的价格跟两步之后的价格联系起来。
图B显示了两步树的利率和价格。
短期利率起始为10%。
我们预期它会以相同的概率上升为11%或者下降为9%。
第二棵树显示了两年期零息国债的价格。
两年之后,零息国债的价格将是100美元。
它一年后的价格可能是91.74美元(100美元按9%利率贴现)或者90.09美元(100美元按11%贴现)。
一年之后的期望价格为90.09和91.74的平均值,即90.92美元。
我们的定价公式
(1)通过对这个平均价格按照10%利率进行贴现得到的值为82.65美元。
我们可以用这种方法来定价任意期限的零息债券,只要提供了足够长远的未来短期利率。
我们简单地从到期时证券的面值开始,然后通过贴现找到较早一个结点的价格(利用我们的公式和所在结点所对应的短期利率)。
最终,我们计算到树根结点,得到了今天的价格。
从期限结构中寻找短期利率
利率的期限结构一般用收益率而不是价格来表示。
今天的N年期零息债券的年收益率为y,则其价格为S,需满足:
相似地,一年之后的收益率Yu和Yd对应的价格Su和Sd由下式给出:
我们想要找到短期利率以确定模型的期限结构和今天市场上的期限结构是匹配的。
表一给出了假设的市场期限结构。
零息债券今天的价格就是一期之后的价格的期望值以今天的短期利率进行贴现得到的值。
短期利率,r,为10%。
使用图C中的价格树,我们可以看到Su=Sd=100,并且S=90.91:
在未来的单期短期利率
我们现在可以通过表一中的期限结构查看两年期零息债券的收益率和波动性来寻找一年后的短期利率了。
看看图D中的两年期短期利率树。
我们称未知的未来短期利率为ru和rd。
我们这样定义的目的是想让两年期的零息债券的价格和波动性与表一中的相匹配。
我们知道今天的短期利率为10%。
假设我们猜测ru=14.32,rd=9.79.现在我们再来看图D。
一种两年期零息债券于第二期末在任何结点的价格都是100美元,不管用的是什么样的短期利率。
使用等式
(1)我们发现一年期的价格可以用ru和rd的期望价格来贴现而得到;我们得到价格87.47美元和91.08美元。
使用方程(3),我们发现收益率14.32和9.79对应这些价格。
这些都显示在图D中的收益率树中。
现在我们有了两年期的价格和一年之后的收益率,我们可以使用定价公式来得到今天两年期零息债券的价格和收益。
今天的价格通过等式
(1)给出,通过对一年之后的期望价格金融贴现来得到(使用今天的短期利率):
我们可以得到今天两年期零息债券的收益率,通过使用等式
(2)(今天的价格为S)。
正如图D中所示,y2为11%。
这种两年期收益率的波动率被定义为一年期收益比率的自然对数:
使用我们选择的一年期短期利率,两年期零息债券收益率和波动率与表一中的期限结构能够匹配。
这就意味着我们对ru和rd的猜想是正确的。
如果它们是错误的,那么我们肯定能够通过反复尝试来找到正确的。
所以初始的短期利率10%以及接下来的等概率一年期短期利率14.32和9.79保证了我们的模型和期限结构中的前两年数据一致。
更远期的短期利率
我们通过匹配一年期收益率得到了今天的单一短期利率。
我们通过匹配两年期的收益率和波动率得到了两个一年期的短期利率。
现在我们寻找两年期以外的短期利率。
图E显示了超过两年期的短期利率。
我们已经知道一年期以外的短期利率了。
另外三个在第二年末不知道的短期利率为ruu,rud和rdd。
这三个短期利率的值应该让我们的模型匹配三年期零息债券的收益率和收益率波动率。
因此,我们必须通过猜测这三个短期利率来匹配两个变量。
这与寻找一年期短期利率不同,在那里我们必须使用两种短期利率来匹配两个变量。
一般来说,使用两种短期利率来匹配两个变量得到的结果是唯一的。
只有一组短期利率数值能够产生正确的配对。
使用三种短期利率来匹配两个变量得到的结果不是唯一的,很多组三个短期变量都可以产生正确的收益率和波动率。
但是,记住我们的模型假设短期利率是对数正态分布的,并且波动率仅仅取决于时间。
一年之后的未来,短期利率为14.32%,波动率为1/2ln(ruu/rud);当短期利率为9.79时,波动率为1/2ln(rud/rdd)。
因为这些波动率肯定是相同的,于是我们知道ruu/rud=rud/rdd,或者r2ud=ruurdd。
所以,我们并不是真的对利率做了三个独立的猜想;中间的那个,rud,可以从其他两个中求得。
这就意味着我们只须匹配两个短期利率---ruu和rud---使用两个变量---模型中的三年期收益率和波动率。
这通常会有唯一的解。
在这个例子中,图E显示了ruu,rdd和rud的值19.42%,9.76%和13.77%,分别产生了一个三年期收益率12%和波动率18%,就像表一中需求一样。
我们现在知道了未来一年和两年期的短期利率。
利用相似的过程,我们可以找到未来更远期的短期利率。
图F显示了以一年为间隔的所有的与表一的期限结构相匹配的短期利率。
给国债期权定价
给定表一期限结构和图F中显示的导出的短期利率树,我们可以利用模型来对债券期权进行定价。
息票债券转换为零息债券集合
在我们能对国债期权定价之前,我们需要找到树上不同结点国债的未来价格。
考虑一种国债,息票率10%,面值100美元,还有三年到期。
为了方便起见,把这种国债看成是一种由三种零息债券组成的组合---一种面值10美元的一年期零息债券;一种面值10美元的两年期零息债券;和一种三年期面值110美元的零息债券。
这个组合的支付和10%利率还有三年到期的国债的支付是一样的。
所以这个组合和这个国债应该具有相同的价值。
图F用来根据今天的收益率曲线来对所有的零息债券进行定价,因此我们可以用它来对上述组合中的三种零息债券进行定价。
图G中面板(e)显示了10%利率国债的价格,作为所有零息债券的现值之和---95.51美元。
面板(f)中的树给出了三年期国债的价格减去每期的应计利息10美元后的值。
国债上的看跌和看涨期权
我们发现一种三年期,利率10%的国债的价格是95.51美元。
这种证券在今天是被低估的;它有10%的息票,在今天的收益率曲线中的收益一般会高于10%。
我们想对这种证券上的期权价值进行定价---一种两年期的欧式看涨期权和一种两年期的欧式看跌期权,执行价格都是95美元。
从图G(e)中,我们看到两年之后三年期的国债可能是以下三个价格的其中之一---110.22,106.69,102.11。
对应的价格去掉应计利息为,100.22,96.69,92.11。
到期时,如果这种债券值100.22或者96.69,那么95美元的看涨期权是实值期权。
看涨期权的价值是债券价格和执行价格之间的差值。
95美元的看涨期权将会值5.22美元如果债券到期时以100.22美元交易,或者值1.69美元,如果交易价为96.69美元。
看涨期权是虚值期权,因此价值为0,如果债券到期时交易价格为92.11美元。
图H显示了两年期短期利率树,也显示了两年内到期时看涨期权的可能价值。
到期时,看跌期权是实值期权,如果债券价格为92.11美元(没有应付利息)。
看跌期权的价值为92.11与95之间的差,即2.89美元。
如果债券价格为另外两个价格中的一个,那么看跌期权是没有价值的。
图H给出了看跌期权的价值。
知道了到期时看涨期权的价值,使用等式
(1)中的定价规则,我们可以找到到期前一年时看涨期权的可能价值。
如果一年以后的短期利率是14.32%,到期前一年时看涨期权的价值将是:
如果从现在起的一年期短期利率为9.79%,那么看涨期权的价值为:
给定一年之后的看涨期权价值,我们可以找出看涨期权今天的价值,当短期利率是10%时,为:
看跌期权价值可以用相似的方法得到。
图H显示了看涨期权和看跌期权价值的全树图。
我们已经通过对未来期权的预期价值向前一步贴现得到了任意结点上的价值,并且最终为欧式期权做了定价。
美式期权不需多花很多努力就可以得到定价。
因为美式期权可以在任意时间执行,它在任意一个结点的价值是继续持有和执行中的价值较大者。
如果继续持有,我们通过使用定价公式来求其值。
如果被执行,它的价值就是结点上债券的价格和执行价格之间的差值。
期权对冲比率
当利率改变时,债券价格和债券期权价格也随之改变。
债券期权投资者自然感兴趣的是,期权价格改变的部分由多少可以由标的债券价格的改变来解释。
我们用对冲比率(或者delta)来测度这种关系。
表一显示了国债、看涨、看跌期权的一步树图。
对于一个价值为C的看涨期权和价格为T的标的国债,对冲比率为:
其中,Cu和Cd是对应于短期利率ru和rd的看涨期权的价值。
对看跌期权可以做相似的结论。
我们只需把等式(4)中的C换成P就可以了。
对于上面所考虑的三年期国债上的两年期看跌和看涨期权,我们从发现一年之后的可能价格之间的区别开始。
给定图G中显示的国债价格,和图H中的期权价格:
我们现在可以使用等式(4)来推导对冲比率:
这些对冲比率给了我们期权对标的资产变化的敏感性,通过描述期权价格的变化对国债的价格变化。
因此,它们也告诉了我们如何用期权对冲国债,反之亦然。
看涨期权的对冲比率为正值,因为当国债价格增加时看涨期权的价格也增加。
与此相反,看跌期权的对冲比率为负值,因为看跌期权的价格随着国债价格的增加而减小。
减小区间大小
在上面的例子中,短期利率树的步长大都为一年,国债每年支付息票,而期权一年只能被执行一次。
为了得到精确的期权价格,我们需要一棵今天到到期日之间步长更合适的树。
理想情况下,我们需要以一天为步长,跨度为30年,这样的话,息票支付和期权执行日期就能够准确地落在某个结点上。
我们也想设置更多的步数,即使对于即将到期的期权。
实际中,我们的电脑没有足够的内存来建立一棵以天为步长的30年期的树。
即使它能够做到,那么也将花上数个小时才能计算一个证券的价格。
相反,我们可以建立一系列短期利率树,每棵树都有相同的步长但是被压缩为很短的跨度。
这样,每棵树比前面那棵更具有精确的步长。
例如,我们可以利用今天的期限结构来建立扩展到超过30年、15年、7-1/2年等等的短期利率树。
用这种方法,无论期权何时到期,我们总能有一棵树拥有足够的步数来准确地为期权定价。
为了对一种以任意国债为标的的期权,我们使用两种树---一种拥有足够的步数来从到期日倒推到现在来准确计算国债价格的粗糙的树,和一种精确的拥有足够的步数来从到期日倒推到现在来准确计算期权价格的树。
我们对到期日到现在运用定价定理便可以计算出粗糙树中的国债价格。
然后,我们把这些国债价格插入精确树中,这棵树一般会有60期之多。
到期日,那些落在结点之间的到期日期和息票日期就会被仔细及时地插入最近的结点之中。
用这种方法可以精确地对期权进行定价。
跨树插入给了我们精确而且快速的结果。
一旦发现模型值和期限结构中的一致,我们在几秒钟就可以为期权定价。
模型的改善
我们考虑使用多于一个因素的更复杂模型来描述收益率曲线的移动问题。
增加因素的数量改善了模型的结果。
但是多因素模型相比单因素模型更难理解和研究。
而且它需要更多的时间来计算。
因此,我们认为使用不同因素的单因素模型比使用多因素模型更有意义。
沿着这个思路,我们检验了我们模型的效果,通过允许远期均值回归和远期短期利率波动率独立变动。
我们发现改变远期均值回归和改变远期短期利率波动率给出了非常不同的结果。
我们可以单独使用一个或者其他,或者两个的混合,来匹配期限结构。
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