北京历年高考文科数列大题汇总.docx
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北京历年高考文科数列大题汇总
北京历年高考文科数列大题汇总
1.(本小题13分)
已知等差数列
满足
.
(Ⅰ)求
的通项公式;
(Ⅱ)设等比数列
满足
.问:
与数列
的第几项相等?
2.(本小题满分13分)已知
是等差数列,满足
,
,数列
满足
,
,且
是等比数列.
(1)求数列
和
的通项公式;
(2)求数列
的前
项和.
3.(本小题共13分)
给定数列
,
,
,
。
对
,该数列前
项的最大值记为
,后
项
,
,
,
的最小值记为
,
。
(1)设数列
为
,
,
,
,写出
,
,
的值。
(2)设
,
,
,
(
)是公比大于
的等比数列,且
,证明
,
,
,
是等比数列。
(3)设
,
,
,
是公差大于
的等差数列,且
,证明
,
,
,
是等差数列。
4.(本小题共13分)
设
是如下形式的2行3列的数表,
满足性质
,且
。
记
为
的第
行各数之和
,
为第
列各数之和
;记
为
,
,
,
,
中的最小值。
(Ⅰ)对如下数表
,求
的值
(Ⅱ)设数表
形如
其中
。
求
的最大值;
(Ⅲ)对所有满足性质
的2行3列的数表
,求
的最大值
5.(本小题共13分)
若数列
满足
,则称
为
数列,记
.
(Ⅰ)写出一个E数列A5满足
;
(Ⅱ)若
,n=2000,证明:
E数列
是递增数列的充要条件是
=2011;
(Ⅲ)在
的E数列
中,求使得
=0成立得n的最小值.
6.(本小题共13分)
已知集合
对于
,
,定义A与B的差为
A与B之间的距离为
(Ⅰ)当n=5时,设
,求
,
;
(Ⅱ)证明:
,且
;
(Ⅲ)证明:
三个数中至少有一个是偶数
7.(本小题共13分)
设数列
的通项公式为
.数列
定义如下:
对于正整数m,
是使得不等式
成立的所有n中的最小值.
(Ⅰ)若
,求
;
(Ⅱ)若
,求数列
的前2m项和公式;
(Ⅲ)是否存在p和q,使得
?
如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.
8.(本小题共13分)
数列{an}满足
(Ⅰ)当a2=-1时,求λ及a3的值;
(Ⅱ)数列{an}是否可能为等差数列?
若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;
(Ⅲ)求λ的取值范围,使得存在正整数m,当n>m时总有an<0.
9.(本小题共13分)
数列
中,
(
是常数,
),且
成公比不为
的等比数列.
(
)求
的值;
(
)求
的通项公式.
答案:
1.(共13分)
解:
(Ⅰ)设等差数列
的公差为
因为
,所以
又因为
,所以
,故
所以
(Ⅱ)设等比数列
的公比为
因为
所以
所以
由
得
所以
与数列
的第63项相等
2.(共13分)
解:
(1)设等差数列
的公差为
,由题意得
设等比数列
的公比为
,由题意得
,解得
所以
从而
(2)由
(1)知
数列
的前
项和为
,数列
的前
项和为
所以,数列
的前n项和为
3.(本小题共13分)
解:
(1)
,
,
(2)因为
,
,
,
(
)是公比大于
的等比数列,且
所以
所以当
时,
所以当
时,
所以
,
,
,
是等比数列。
(3)若
,
,
,
是公差大于
的等差数列,则
,
,
,
应是递增数列,证明如下:
设
是第一个使得
的项,则
,
,所以
,与已知矛盾。
所以,
,
,
,
是递增数列
再证明
数列
中最小项,否则
(
),则
显然
,否则
,与
矛盾
因而
,此时考虑
,矛盾
因此
是数列
中最小项
综上,
(
)
于是
,也即
,
,
,
是等差数列
4.
5.(共13分)
解:
(Ⅰ)0,1,0,1,0是一具满足条件的E数列A5.
(答案不唯一,0,—1,0,1,0;0,±1,0,1,2;0,±1,0,—1,—2;0,±1,0,—1,
—2,0,±1,0,—1,0都是满足条件的E的数列A5)
(Ⅱ)必要性:
因为E数列A5是递增数列,
所以
.
所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.
所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.
充分性,由于a2000—a1000≤1,
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—at≤19999,即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12,a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故
是递增数列.
综上,结论得证.
(Ⅲ)对首项为4的E数列Ak,由于
……
……
所以
所以对任意的首项为4的E数列Am,若
则必有
.
又
的E数列
所以n是最小值是9.
6.(共13分)
(Ⅰ)解:
=(1,0,1,0,1)
=3
(Ⅱ)证明:
设
因为
,所以
从而
由题意知
当
时,
当
时,
所以
(Ⅲ)证明:
设
记
由(Ⅱ)可知
所以
中1的个数为k,
中1的个数为
设
是使
成立的
的个数。
则
由此可知,
三个数不可能都是奇数
即
三个数中至少有一个是偶数。
7.本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.
(Ⅰ)由题意,得
,
解
,得
.
∴
成立的所有n中的最小正整数为7,即
.
(Ⅱ)由题意,得
,
对于正整数m,由
,得
.
根据
的定义可知
当
时,
;
当
时,
.
∴
.
(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式
及
得
.
∵
根据
的定义可知,对于任意的正整数m都有
,
即
对任意的正整数m都成立.
当
(或
)时,得
(或
),这与上述结论矛盾!
当
,即
时,得
,
解得
.(经检验符合题意)
∴存在p和q,使得
;p和q的取值范围分别是
,
.
8.
解:
(Ⅰ)由于
且a1=1,
所以当a2=-1时,得
故
从而
(Ⅱ)数列{an}不可能为等差数列.证明如下:
由a1=1,
得
若存在
,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即
解得
=3.
于是
这与{an}为等差数列矛盾,所以,对任意
,{an}都不可能是等差数列.
(Ⅲ)记
根据题意可知,b1<0且
,即
>2且
N*),这时总存在
N*,满足:
当n≥n0时,bn>0;当n≤n0-1时,bn<0.
所以由an+1=bnan及a1=1>0可知,若n0为偶数,则
,从而当n>n0
时an<0;若n0为奇数,则
,从而当n>n0时an>0.
因此“存在m
N*,当n>m时总有an<0”的充分必要条件是:
no为偶数,
记no=2k(k=1,2,…),则
满足
故
的取值范围是
4k2+2k(k
N*).
9.(共13分)
解:
(
)
,
,
,
因为
,
,
成等比数列,
所以
,
解得
或
.
当
时,
,不符合题意舍去,故
.
(
)当
时,由于
,
,
,
所以
.
又
,
,故
.
当
时,上式也成立,
所以
.
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