第二章 222.docx
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第二章222
2.2.2 反证法
学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.
知识点 反证法
(1)反证法的概念
一般地,由证明p⇒q转向证明:
綈q⇒r⇒…⇒t,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定綈q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.
(2)反证法常见的几种矛盾
①与假设矛盾.
②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.
③与公认的简单事实矛盾(例如,导出0=1,0≠0之类的矛盾).
(3)反证法证明数学命题的一般步骤
①分清命题的条件和结论.
②做出与命题结论相矛盾的假设.
③由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.
④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.
1.反证法属于间接证明问题的方法.( √ )
2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( × )
3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( √ )
4.否定性命题、唯一性命题等只能用反证法进行证明.( × )
一、用反证法证明否定性命题
例1 已知数列{an}的通项公式为an=n2+n(n∈N+),求证:
在数列{an}中,任意连续的三项不可能构成等差数列.
证明 假设在数列{an}中,存在连续的三项,构成等差数列.
设这连续的三项为ak,ak+1,ak+2(k∈N+),则2ak+1=ak+ak+2,
即2[(k+1)2+(k+1)]=(k2+k)+[(k+2)2+(k+2)],
整理得2k2+6k+4=2k2+6k+6,
所以4=6,这显然是矛盾的.因此假设错误,即在数列{an}中,任意连续的三项不可能构成等差数列.
反思感悟 用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.
跟踪训练1 已知三个正数a,b,c成等比数列但不成等差数列,求证:
,
,
不成等差数列.
证明 假设
,
,
成等差数列,
则2
=
+
,
∴4b=a+c+2
.①
∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,②
由②得b=
,代入①式,
得a+c-2
=(
-
)2=0,
∴a=c,从而a=b=c.
这与已知a,b,c不成等差数列相矛盾,
∴假设不成立.故
,
,
不成等差数列.
二、用反证法证明“至多、至少”类问题
例2 a,b,c∈(0,2),求证:
(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.
证明 假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1.
因为a,b,c∈(0,2),所以2-a>0,2-b>0,2-c>0.
所以
≥
>1.
同理,
≥
>1,
≥
>1.
三式相加,得
+
+
>3,
即3>3,矛盾.
所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.
反思感悟
(1)用反证法证明“至少”“至多”类命题,可减少讨论情况,目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么,避免出现错误.需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思.
(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表:
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
跟踪训练2 已知a,b,c是互不相等的实数,求证:
由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.
证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点,
由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,
得Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,
且Δ3=(2a)2-4bc≤0.
同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0,
所以a=b=c.
这与题设a,b,c互不相等矛盾,
因此假设不成立,从而命题得证.
三、用反证法证明唯一性命题
例3 求证:
方程2x=3有且只有一个根.
证明 ∵2x=3,∴x=log23.
这说明方程2x=3有根.
下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.
假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1≠b2),
则
=3,
=3,两式相除得
∴b1-b2=0,则b1=b2,这与b1≠b2矛盾.
∴假设不成立,从而原命题得证.
反思感悟
(1)用反证法证明唯一性命题的一般思路:
证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时,可先证“存在性”,由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾,因此可用反证法证其唯一性.
(2)本例的学习,使学生掌握推理的基本形式和规则,学会有逻辑地思考问题,提升逻辑推理的数学核心素养.
跟踪训练3 求证:
两条相交直线有且只有一个交点.
证明 设两直线为a,b,假设结论不成立,即有两种可能:
无交点;至少有两个交点.
(1)若直线a,b无交点,那么a∥b或a,b是异面直线,与已知矛盾;
(2)若直线a,b至少有两个交点,设为A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
所以假设不成立,两条相交直线有且只有一个交点.
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设( )
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
答案 B
2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°
答案 B
3.“a
A.a≠bB.a>b
C.a=bD.a=b或a>b
答案 D
4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( )
A.a不垂直于cB.a,b都不垂直于c
C.a⊥bD.a与b相交
答案 D
5.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b为实数)”,其反设为______________.
答案 a,b至少有一个不为0
用反证法证题要把握三点
(1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题
1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是
①与已知条件矛盾;②与假设矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与事实矛盾.
其中正确的为( )
A.①②③④B.①③
C.①③④D.①②
答案 A
2.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为( )
A.a,b,c都是偶数
B.a,b,c都是奇数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
答案 D
解析 自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:
3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为“a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数”.
3.
(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1,以下结论正确的是( )
A.
(1)与
(2)的假设都错误
B.
(1)与
(2)的假设都正确
C.
(1)的假设正确;
(2)的假设错误
D.
(1)的假设错误;
(2)的假设正确
答案 D
解析
(1)的假设应为p+q>2,
(2)的假设正确.
4.有下列叙述:
①“x=y”的反面是“x>y或x A.0个B.1个C.2个D.3个 答案 B 解析 ①对;②错,应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上;③错,应为三角形可以有2个或2个以上的钝角. 5.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于( ) A.0B. C. D.1 答案 B 解析 假设a,b,c都小于 ,则a+b+c<1,故与已知a+b+c=1相矛盾.故选B. 6.设a,b,c都是正数,则三个数a+ ,b+ ,c+ ( ) A.都大于2B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2 答案 C 解析 假设a+ <2,b+ <2,c+ <2, 则 + + <6. 又 + + = + + ≥2+2+2=6, 这与假设得到的不等式相矛盾,从而假设不正确,所以这三个数至少有一个不小于2. 二、填空题 7.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设__________. 答案 x=a或x=b 8.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°. 上述步骤的正确顺序为________. 答案 ③①② 9.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲: 我没有偷;乙: 丙是小偷;丙: 丁是小偷;丁: 我没有偷. 根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是________. 答案 甲 解析 假如甲: 我没有偷是真的,则乙: 丙是小偷;丙: 丁是小偷是假的;丁: 我没有偷就是真的,与他们四人中有一人说真话矛盾. 假如甲: 我没有偷是假的,则丁: 我没有偷就是真的,乙: 丙是小偷,丙: 丁是小偷是假的,成立. ∴可以判断偷珠宝的人是甲. 10.完成反证法证题的全过程. 题目: 设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7任意排成的一个数列,求证: 乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明: 假设p为奇数,则________均为奇数.① 因为7个奇数之和为奇数,故有 (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为________.② 而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) =(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=________.③ ②与③矛盾,故p为偶数. 答案 ①a1-1,a2-2,…,a7-7 ②奇数 ③0 解析 由假设p为奇数可知,(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) =(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0为奇数,这与0为偶数相矛盾. 11.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是____________________. 答案 (-∞,-2]∪[-1,+∞) 解析 若两方程均无实根,则Δ1=(a-1)2-4a2 =(3a-1)(-a-1)<0,∴a<-1或a> . Δ2=(2a)2+8a=4a(a+2)<0,
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