第56讲 函数导数与不等式上下.docx

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第56讲函数导数与不等式上下

第5讲函数、导数与不等式（上）

题一：

已知函数满足，则与的大小关系是（）

A.B.C.D.不能确定

题二：

设是定义在上的可导函数，且，则当时有（）

A.B.

C.D.

题三：

已知函数f（x）=x-ax-1（a≠0）.

（I）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a>0时，若过原点（0，0）与函数f（x）的图象相切的直线恰有三条，求实数a的取值范围．

题四：

设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1

（Ⅰ）确定b、c的值

（Ⅱ）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）

证明：

当时，

（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。

题五：

已知函数

（Ⅰ）证明：

曲线

（Ⅱ）若,求的取值范围。

题六：

已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：

（I）当时，；

（II）当时，．

第6讲函数、导数与不等式（下）

题一：

证明：

当时，

题二：

设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．

（I）求a，b的值；（II）证明：

≤2x-2．

题三：

对正整数n，设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和公式是

题四：

设数列的通项是，请用导数的方法求它的前n项和

题五：

已知函数f（x）=－x+8x,g（x）=6lnx+m是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？

若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

题六：

设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。

（I）求a、b的值，并写出切线的方程；

（II）若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。

第5讲函数、导数与不等式（上）

题一：

选B.

详解:

设函数求导得

因为，则

题二：

选A。

详解:

设，由已知有在定义R上是减函数，则，即。

题三：

a的取值范围为（3，+∞）.

详解:

（Ⅰ）由3得或，

若，当或时，所以当时，在上为增函数，在上为减函数；若，当或时，所以当时，在上为增函数；，在上为减函数.

（Ⅱ）依题意设切点为（），则切线方程为，

∵切点在切线和的图象上，则，，

∴，由题意知满足条件的切线恰有三条，则方程有三个不同的解，令，由得或，

∵，分析可知在上为增函数，在上为减函数；

又当时，的极大值为1，恒大于0，当时，的极小值为，

∴只需即可，∴故a的取值范围为（3，+∞）.

题四：

见详解

详解:

（Ⅰ）由f（x）=

得：

f（0）=c，f’（x）=，f’（0）=b。

又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，

得到f（0）=1，f’（0）=0。

故b=0，c=1。

（Ⅱ）f（x）=，f’（x）=。

由于点（t，f（t））处的切线方程为

y-f（t）=f’（t）（x-t），而点（0,2）在切线上，所以2-f（t）=f’（t）（-t），

化简得，

即t满足的方程为。

下面用反证法证明。

假设f’（）=，

由于曲线y=f（x）在点及处的切线都过点（0,2），

则下列等式成立：

由（3）得

由

（1）-

（2）得

又

∴，此时，与矛盾，所以。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，过点（0,2）可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根。

设，则。

令＝0得

列表如下：

0

＋

0

－

0

＋

↗

极大值1

↘

极小值

↗

由的单调性知，要使=0有三个相异的实根，当且仅当，即。

∴a的取值范围是。

题五：

的取值范围是。

详解:

（Ⅰ），，又

曲线的切线方程是：

，在上式中令，得，所以曲线

（Ⅱ）由得，（i）当时，没有极小值；

（ii）当或时，由得

故。

由题设知，当时，不等式

无解；

当时，解不等式得

综合（i）（ii）得的取值范围是。

题六：

见详解

详解:

（Ⅰ）由得

而①

又∴②

∵∴∵

∴③

由①、②、③得

即

（Ⅱ）证法一：

由，得

∴

下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立

即证成立∵

设，则

令得，列表如下：

极小值

∴

∴对任意两个不相等的正数，恒有

证法二：

由，得

∴

∵是两个不相等的正数

∴

设，

则，列表：

极小值

∴即

∴

即对任意两个不相等的正数，恒有

第6讲函数、导数与不等式（下）

题一：

证明：

设

所以由在上有得在上递增。

又，即有，则

题二：

详解:

（I）由已知条件得，解得

（II），由（I）知

设则

而

例5：

曲线，点

过作x轴垂线交曲线与，曲线在处的切线交x轴与，过作x轴垂线交曲线于，曲线在处的切线交x轴于，……如此形成的点列

求。

题三：

详解:

又切点为切线为

令，则，则数列的通项公式

故前n项和公式

题四：

详解:

先将3换成x，则

从而有

，

再讲x=3代入得

题五：

m的取值范围为（7，15—6ln3）.

详解:

（I）f（x）=－x2+8x=－（x－4）2+16,

当t+1<4，即t<3时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，h（t）=f（t+1）=－（t+1）2+8（t+1）=－t2+6t+7;

当t≤4≤t+1时,即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16;

当t>4时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，h（t）=f（x）=－t2+8th（t）

t<3,

3≤t≤4,

t>4

综上，h（t）=

（II）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，即函数

ϕ（x）=g（x）－f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∴ϕ（x）=x2－8x+16lnx+m,∵=2x－8+

当x∈（0,1）时，>0，ϕ（x）是增函数；当x∈（1,3）时，<0，ϕ（x）是减函数；

当x∈（3,+∞）时，>0，ϕ（x）是增函数；当x=1，或x=3时，=0；∴ϕ（x）极大值=ϕ

（1）=m－7,ϕ（x）极小值=ϕ（3）=m+6ln3－15.∵当x充分接近0时，ϕ（x）<0，当x充分大时，ϕ（x）>0.∴要使ϕ（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须既7

所以存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15—6ln3）.

题六：

；切线的方程：

；的取值范围是。

详解:

（I），由于曲线曲线与在点（2,0）处有相同的切线，故有，由此解得：

；切线的方程：

（II）由（I）得，依题意得：

方程有三个互不相等的根，故是方程的两个相异实根，所以

；

又对任意的，恒成立，特别地，取时，

成立，即，由韦达定理知：

，故，对任意的，有

，则：

；又

所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：

的取值范围是。