高中数学人教选修11课件12充分条件与必要条件.docx

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高中数学人教选修11课件12充分条件与必要条件

充分条件与必要条件

知识点一

在物理中，我们经常遇到这样的电路图:

问题1：

图中A开关闭合时B灯一定亮吗?

提示：

一定亮.

问题2：

B灯亮时A开关一定闭合吗？

提示：

不一定，还可能是C开关闭合.

［导入新知］

充分条件与必要条件

真是”

Jg则奇题

"命

假是则勤题

出系推关

-

件条分-充

的是

P

TTT二.一

系关

虫一的曰『

件条要5

［他解疑瑋】

1.P是q的充分条件是指“P成立可充分保证g成立，但是如果没有p，g也可能成立”•

2.g是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若g不成立，则p—定不成立”；但即使有g成立，卩未必会成立.

泡B亮，开关A—定闭合吗?

提示：

一定闭合.

问题2：

开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B亮作为命题的

结论©你能判断p,g之间的推出关系吗?

提不:

poq.

［导入新知］

充要条件

如果既有PW,又有gp,记作上竺_・则P是？

的充分必要

条件，简称充要条件.

［祀解疑碓］

P是g的充要条件时，g也是P的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件？

是等价的，如果卩和g是两个命题，则这两个命题是等价命题.

［例1］判断下列各题中卩是g的什么条件.

⑴在AABC中，p：

A>B9qzBC>AC；

（2）p：

x>l,qzx2>l；

（3）p：

（a—2）（a—3）=0,q：

a=3；

a

（4）p：

a

方Vl・

［解］⑴由三角形中大角对大边可知，若A>B,贝I）BC>AC；反之,若则A>B.因此，p是g的充要条件.

（2）由兀>1可以推出x2>l；由x2>l,得x<-l,或x>l,不一定有x>l.因此，p是g的充分不必要条件.

（3）由（a—2）（a—3）=0可以推出a=2,或a=3,不一定有”=3；由a=3可以得出@一2）（“一3）=0.因此，p是g的必要不充分条件.

（4）由于a1；

当方>0时，彳<1,故若不一定有彳VI；

当a>0,方>0,时，可以推出ab.

因此P是q的既不充分也不必要条件.

［类题通法］

充分、必要、充要条件的判断方法

判断P是g的什么条件，其实质是判断“若卩，则及其逆命题“若g,则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则P是g的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是彳的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用.

［活学活用］

指出下列各组命题中p是q的什么条件.

（2）p：

（x—l）2+（y—2）2=0,q：

（x—l）（y—2）=0.

解：

（I）'••四边形的对角线相等片四边形是平行四边形,

四边形是平行四边形冷四边形的对角线相等，

:

.p是q的既不充分也不必要条件.

（2）V（x-1）2+（y-2）2=0=>x=1且j=2=>（x-l）-（y-2）=0,

W（x-l）（y-2）=0#>（x-l）2+（y-2）2=0,

•'•p是q的充分不必要条件•

［例2］试证:

一元二次方程ax2+Z>x+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

［解］⑴必要性：

因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,

所以A=b2—4ac>09XiX2=^<0（Xi，七为方程的两根），所

以GCV0.

⑵充分性：

由“cVO可推得A=b2—4ac>0及x1x2=|<0（Xi，勺为方

程的两根）.

所以方程ax2+Z>x+c=0有两个相异实根,且两根异号，

即方程ax2+^x+c=0有一正根和一负根.

综上所述，一元二次方程ax2+bx-\-c=^有一正根和一负根的充要条

件是ac

［类题通法］

充要条件的证明思路

（1）在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时，要注意：

若证明“P的

充要条件是,那么“充分性”是q=p,"必要性”是円;若证明“P是？

的充要条件”，则与之相反.

（2）证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立.若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明.

［活学活用］

11

已知兀，丁都是非零实数，且X>J,求证：

的充要条件是

xyxj>0.

证明：

⑴必要性：

由£v；,得!

一fvo,即二^vo,又由X>yt得y—A：

V0,所以xy>0.

（2）充分性：

由巧>0及x>yf得為>身，即

综上所述，的充要条件是xj>0.

xy

［例3］己知p：

—q：

1—fwWxWI+加，且p是g的

充分不必要条件，求实数加的取值范

［解］因为p是g的充分不必要条件,

所以p=>g但g=>/p,

即*1—2WxW10｝是闭1—加WxWl+加｝的真子集,

所以实数血的取值范围为同汝$9｝.

［类题通法］应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合

间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之

间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合

思想的应用.

［活学活用］

已知P={x\a—4

是xGg的必要条件，求实数“的取值范围.

解：

由题意知，e={xll

所以

a—4W1，a+4M3,

■

解得一1WgW5・故实数"的取值范围是[一1，5]・

）三

I?

]

有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯

穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切,

F面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法.

1.定义法

定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若P,则

q”与“若©贝V”的判断，根据两个命题是否正确，来确定P与g之间的充要关系.其基本步骤是：

［例1］（广东高考）在AABC中，角A,B,C所对应的边分

别为a,b,g则“aWb”是“sinAWsinB”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.

必要不充分条件

径），得a=2RsinA9b=2RsinB.

aW方o2/?

sin4W2/?

sinBosinAWsinB.

［答案］A

［活学活用］

11

1."sina=y是"cos2a=J的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：

由cos2a=；可得sin2a=|,即sin«—故sincos2么=£的充分不必要条件.

答案：

A

2.等价转化法

等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题

的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断.其

基本步骤为:

化简>化简相关条件人、利用互为逆否命题的两个命题的等价性,将判断判更A7与y之间的充要关系转化为判断之间的充要关系卞结逐A根据定义法判断之间的关系

［例2］已知兀，丿为两个正整数,p：

xH2或yH3,g：

x+yH5,则卫是？

的条件.

［解析］締p：

x=2fix=3,締彳：

兀+尸5.可知繍p=＞締彳，而続qnl絲p.所以絲q是繍p的必要不充分条件，故卩是？

的必要不充分条件.

［答案］必要不充分

［活学活用］

2.“加工3”是“I加IH3”

的条件.

答案：

必要不充分

3.集合法

集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关

系来判断充要关系的方法.主要解决两个相似的条件难以进行

区分或判断的问题.其解决的一般步骤是:

［例3］指出下列命题中p是g的什么条件.

⑴p：

（X—l）（x+2）^0,q：

x<2；

（2）p：

x2—2x—8=0,q：

兀=—2或兀=4・

［解］⑴令A={xl（x-l）（x+2）^0}=

{xl-2WxWl}，集合B={xlxV2}・

显然，AB9所以p=>q9但q^p,

即p是？

的充分不必要条件.

（2）令A={xlx2—2r—8=0}={xlx=—2或x=4}={—2,4},

B={x\x=—2或x=4}={—2,4}・

VA=B,:

.poq9即p是g的充要条件.

髻方程宀+1十。

）有-个正根和-个负根的：

分不必要条件是

A.«<0B.小

D.a

解析：

丁一元二次方程a/+2x+1=0（。

H0）有一正根和一负根•

由于{a\a<-l}{«1«<0},故选C.

答案：

C

1・给定空间中的直线Z及平面的条件“直线/与平面疣内无数条直

线都垂直”是“直线/与平面rz垂直”的

解析：

直线Z与平面内无数直线都垂直，不能得到直线2丄心因为有可能是直线I在平面«内与一组平行直线垂直.若Z±a,则直线I垂直于«内的所有直线.

答案：

B

2.已知非零向量“，b9c9则“a・b=ivc"是“b=c”的

解析:

Va丄b,a丄c时，a・b=a・c,但方与c不一定相等,

反之,b=ga・b=a・c・答案:

B

3.己知M={jdOVxW3},N={xlOVxW2},那么“aUM”是“aUN”

的条件.

解析：

：

•宙aWMn/aWN,但aWNaaWM,...“aGM”是“aWN”的必要不充分条件•

答案：

必要不充分

4.在平面直角坐标系兀Oy中，直线x+（m+l）y=2-m与直线

zwx+2j=—8互相垂直的充要条件是加=

2（加+1）・2=0O/W=_亍

答案：

-1

5.若p：

x2+x—6=0Mq：

ax+l=0的必要不充分条件，求实数a的值.

解：

p：

x2+x—6=0,即x=2或兀=—3.q：

«x+l=0,当a=0时，方程无解；

1

当“H0时，x=—~.

由题意知p=>/g,qnp,故”=0舍去;当aHO时，应有一严=2或一£=一3,解得a=—£或4=牛

弁鞭冀中靈糕

^AFis中！

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M一篠遢黛社終血弋

罐铮酸加於册琨。