动态规划作业完整.docx
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动态规划作业完整
动态规划作业
1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器,由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择,而进口港又有三个可供选择,进口后可经由两个城市到达目的地,其间的运输成本如图中所标的数字,试求运费最低的路线?
把A看作终点,该问题可分为4个阶段。
fk(Sk)表示从第K阶段点Sk到终点A的最短距离。
f4(Bl)=20,f4(B2)=40,f4(B3)=30
f3(Ci)=min[d3(Ci,Bi)+f4(Bi),d3(Ci,B2)+f4(B2),d3(Ci,B3)+f4(B3)]=70,U3(Ci)=B2或B3
f3(C2)=40,U3(C2)=B3
f3(CJ=80,U3(C3)=Bi或B2或B3
f2(Di)=80,U2(Di)=Ci
f2(D2)=70,U2(D2)=C2
fi(E)=ii0,Ui(E)=Di或D2
所以可以得到以下最短路线,
EtDi^Ci^B2/B3TA
Etd2^C2^B3^A
2、习题4—2
解:
1)将问题按地区分为三个阶段,三个地区的编号分别为1、2、
3;
2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数,
Xk表示为分配给第k个地区的销售点数,Sk+1=Sk—Xk
Pk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值
fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值
3)递推关系式:
fk(Sk)=max[Pk(Xk)+fk+i(Sk—Xk)]k=3,2,1
f4(S4)=0
4)从最后一个阶段开始向前逆推计算
第三阶段:
设将S3个销售点(S3=0,1,2,3,4)全部分配给第三个地区时,最大利润值为:
f3(S3)=max[P3(X3)]其中X3=S3=0,1,2,3,4
表1
X.X3
S3\
P3(X3)
f3(S3)
*
X3
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
12
12
1
2
22
22
2
3
36
36
3
4
47
47
4
第二阶段:
设将S2个销售点(S2=0,1,2,3,4)分配给乙丙两个地区时,对每
一个S2值,都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:
f2(S2)=max[P2(X2)+f3(S2-X2)]
其中,X2=0,1,2,3,4
表2
P2(X2)+f3(S2-X2)
f2(S2)
*
X2
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
0+12
13+0
13
1
2
0+22
13+12
24+0
25
1
3
0+36
13+22
24+12
34+0
36
0,2
4
0+47
13+36
24+22
34+12
42+0
49
1
第一阶段:
设将S1个销售点(S1=4)分配给三个地区时,则最大利润值为:
f1(S1)=max[P1(X1)+f2(4-X1)]
其中,X1=0,1,2,3,4
表3
\/1S1\
P1(X1)+f2(4-X1)
f1(4)
*
X1
0
1
2
3
4
4
0+49
16+36
28+25
40+13
50+0
53
2,3
然后按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有两个:
最大总利润为53
1)由X1*=2,X2*=1,X3*=1。
即得第一个地区分得2个销售点,第二个地区分得1个销售点,第三个地区分得1个销售点。
2)由X1*=3,X2*=1,X3*=0。
即得第一个地区分得3个销售点,第二个地区分得1个销售点,第三个地区分得0个销售点。
3、某施工单位有500台挖掘设备,在超负荷施工情况下,年
产值为20万元/台,但其完好率仅为0.4,在正常负荷下,年产值为15万元/台,完好率为0.8。
在四年内合理安排两种不同负荷下施工的挖掘设备数量,使第四年年末仍有160台设备保持完好,并使产值最高。
试求出四年内使得产值最高的施工方案和产值数。
解:
1)该问题分成四个阶段,k表示年度,k=1,2,3,4
2)设Sk表示为分配给第k年初拥有的完好挖掘设备数量,
Uk表示为第k年初分配在超负荷下施工的挖掘设备数量,
Dk(Sk)={Uk|0 Sk—Uk表示为第k年初分配在正常负荷下施工的挖掘设备数量。 状态转移方程: Sk+1=0.4Uk+0.8(Sk—Uk),S1=500台 3)设vk(sk,uk)为第k年度的产量,则 vk=20Uk+15(Sk—Uk) 4 故指标函数为V1,4='Vk(Sk,Uk) k=1 fk(Sk)表示由资源量Sk出发,从第k年开始到第4年结束时所生产的产量最大。 4)递推关系式: fk(Sk)=MAX{20Uk+15(Sk—Uk)+fk+1【0・4Uk 5)从第4阶段开始,向前逆推计算 当k=4时, S5=160,0.4U4+0.8(S4-U4)=1602S4-U4=400U4=2S4-400 f4(S4)=MAX{20U4+15(S4—U4)+f5[0・4U4+0・8(S4—U4)]} =MAX{5U4+15S4} =25S4-2000 当k=3时, f3(S3)=MAX{20U3+15(S3—U3)+f4[0・4U3+0・8(S3—U3)]} =MAX{5U3+15S3+25(0・8S3-0・4U3)-2000} =MAX{-5U3+35S3-2000} 故得最大解U3*=0 所以f3(S3)=35S3-2000 依次类推,可求得: U2*=0,f2(S2)=43S2-2000 U1*=0,f1(S1)=49.4S1-2000 因为S1=500台,故f1(S1)=22700台 最优策略为U1*=0,U2*=0,U3*=0,U4*=112 已知S1=500, S2=0・4U1*+0・8(S1—U1*)=0・8S1=400 S3=0・4U2*+0・8(S2—U2*)=0・8S2=320 S4=0・4U3*+0・8(S3—U3*)=0・8S3=256 即前三年应把年初全部完好的挖掘设备投入正常负荷下施工,第四年应把年初112台全部完好的挖掘设备投入超负荷下施工,144台投入正常负荷下施工。 这样最高产量为22700台。 4、某电视机厂为生产电视机而需生产喇叭,生产以万只为单 位。 根据以往记录,一年的四个季度需要喇叭分别是3万、2万、3 万、2万只。 设每万只存放在仓库内一个季度的存储费为0.2万元, 每生产一批的装配费为2万元,每万只的生产成本费为1万元。 问应该怎样安排四个季度的生产,才能使总的费用最小? 再生产点性质, Ci(Xi)="0以: =眷=1,2,nhi(xi)=0.2Xi C(1,1)=C(3)+h(0)=5C(1,2)=C(5)+h (2)=7.4 C(1,3)=C(8)+h(5)+h(3)=11・6 C(1,4)=C(10)+h(7)+h(5)+h (2)=14.8 C(2,2)=C (2)+h(0)=4C(2,3)=C(5)+h(3)=7.6 C(2,4)=C(7)+h(5)+h (2)=10.4 C(3,3)=C(3)+h(0)=5C(3,4)=C(5)+h (2)=7.4 C(4,4)=C (2)+h(0)=4 f0=0f1=f0+C(1,1)=5j (1)=1 f2=min{f0+C(1,2),f1+C(2,2)}=min{0+7.4,5+4}=7.4j (2)=1 f3=min{f0+C(1,3),f1+C(2,3),f2+C(3,3)} =min{0+11.6,5+7.6,7.4+5}=11.6j(3)=1 F4=min{f0+C(1,4),f1+C(2,4),f2+C(3,4),f3+C(4,4)} =min{0+14.8,5+10.4,7.4+7.4,11・6+4}=14.8j(4)=1,3 当j(4)=1,X仁d1+d2+d3+d4=10,X2=0,X3=0,X4=0 当j(4)=3,X3=d3+d4=5,X4=0,X1=d1+d2=5,X2=0。 5、某工厂生产三种产品,各产品重量与利润关系如下表所示, 现将此三种产品运往市场出售,运输能力总重量不超过6吨。 问如何 安排运输使总利润最大。 种类 1 2 3 重量 2 3 4 利润 80 130 180 解: f36二maX180x3max(80X130x2)? 二max'180x3f26-4x3' x3=0,1 二max: 0f26,180f? 2? f261=max130x2max(80x1)' 二max‘130x2仏6-3x2 x2=0,1,2 二max〈0f6,130f3,260f“0 二max: 240,210,260^ 二260 x1=0 f22二ma护130x2max(80x1)』二maxS30x2」2-3x2 x2=0 fi2 =80 x1二1 f36二max「260,260? 二260 x1=0,x2=2,x3=0 x1=1,x2=0,x3=1 6、某工厂在一年进行了A、B、C三种新产品试制,由于资金不足,估计在年内这三种新产品研制不成功的概率分别为0.40、0.60、 0.80,因而都研制不成功的概率为0.4X0.6X0.8=0.192。 为了促进三 种新产品的研制,决定增援2万元的研制费,并要资金集中使用,以万元为单位进行分配。 其增援研制费与新产品不成功的概率如下表所示。 试问如何分配费用,使这三秤新产品都研制不成功的概率为最小。 新产品 不成功IS率 A B c -■a_--N 0 0J0 (MO 0.80 I 0J0 0J0 j 2 0.15 0J0 0.30 解: 1)(1分)将问题按产品A、B、C分为三个阶段,k=1、2、 3; 2)(6分)设Sk表示第k阶段可分配给第k个产品到第n个产品的研制费,S1=2 Xk设为决策变量,表示第k阶段分配给第k个产品的研制费。 状态转移方程为Sk+1=Sk—Xk 允许决策集合: Dk(Sk)={XkI0 Pk(Xk)表示为第k个产品失败的概率 fk(Sk)表示为Sk万元研制费分配给第k个产品到第n个产品的最小的失败概率 3)(4分)递推关系式: fk(Sk)=min[Pk(Xk)fk+i(Sk—Xk)]k=3,2,1 边界条件: f4(S4)=1 4)(11分)从最后一个阶段开始向前逆推计算 第三阶段: 设将S3万元研制费(S3=0,1,2)全部分配给C产品时,最小的失败概率为: f3(S3)=min[P3(X3)]其中X3=S3=0,1,2 \X3 S3\ P3(X3) f3(S3) * X3 0 1 2 0 0.80 0.80 0 1 0.50 0.50 1 2 0.30 0.30 2 X3*表示使得f3(S3)为最大值时的最优决策。 第二阶段: 设将S2万元研制费(S2=0,1,2)分配给B、C产品时,最小的失败概率为: f2(S2)=min[P2(X2)f3(S2—X2)] 其中,X2=0,1,2 P2(X2)f3(S2—X2) f2(S2) * X2 0 1 2 0 0.600.80 0.48 0.48 0 1 0.600.50 0.30 0.400.80 0.32 0.30 0 2 0.600.30 0.18 0.400.50 0.20 0.200.80 0.16 0.16 2 第一阶段: 设将S1万元研制费(S1=2)分配给三个产品时,最小的失败概率为: f1(S1)=min[P1(X1)f2(S1—X1)] 其中,X1=0,1,2 P1(X1)f2(S—X1) f1 (2) * X1 0 1 2 2 0.400.16 0.064 0.200.30 0.060 0.150.48 0.072 0.060 1 )即分配给A产品1万元,B产品0万元,C产品1万元,可使三 个小组都失败的概率减小到0.060。
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