车道被占用对城市道路通行能力的影响的数学模型.docx
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车道被占用对城市道路通行能力的影响的数学模型
车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘要
现代城市生活交通拥堵是普遍存在的现象,在发生交通事故或道路修建时等各种原因而导致车道被占用而引起的交通拥堵尤为严重。
本文主要研究因交通事故而导致车道被占用时,城市道路通行能力的变化过程。
针对问题一,因为实际通行能力是在通常道路交通条件下,单位时间内通过道路某一横断面的最大可能车辆数。
故而我们通过将视频1以一个信号灯周期为时间段分段的方法,并利用Excel软件求得一组时间序列的标准车流量和相应的标准车流量的变化图,并且求出平均的标准车流量。
针对问题二,在分析过程中,我们采用了与第一问相同的方法得到一个平均的标准车流量,另外还引用了“交叉口道路通行能力估计模型”来分析结果,并用实际的数据检验。
最后得到车道三的通行能力>车道二的通行能力>车道一的通行能力,进而得知被占用车道不同,对该横断面实际通行能力影响也是不同的。
结果是视频1的交通事故对该横断面实际通行能力的影响比视频2的大。
针对问题三,我们首先利用Excel软件统计出视频1和视频2中每次出现120米的红绿框标记时的时间及相应的车辆数,并得到其饱和状态下的标准车辆数,从而与车辆排队长度联系起来。
另外,我们构建了一个集散波模型,通过这个模型我们建立了交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系,结果是线性关系,方程为
。
针对问题四,我们在假设从小区路口1进入的车辆和从小区路口2出来的车辆相等的情况下,结合问题三的函数关系求出从事故发生时到车辆排队长度到达上游路口的时间,结果是6分27秒。
关键词车道通行能力标准车流量集散波模型
一、问题重述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素,导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。
由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点,一条车道被占用,也可能降低路段所有车道的通行能力,即使时间短,也可能引起车辆排队,出现交通阻塞。
如处理不当,甚至出现区域性拥堵。
车道被占用的情况种类繁多、复杂,正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度,将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
视频1(附件1)和视频2(附件2)中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面,且完全占用两条车道。
请研究以下问题:
1.根据视频1(附件1),描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
2.根据问题1所得结论,结合视频2(附件2),分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
3.构建数学模型,分析视频1(附件1)中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4.假如视频1(附件1)中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米,路段下游方向需求不变,路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零,且事故持续不撤离。
请估算,从事故发生开始,经过多长时间,车辆排队长度将到达上游路口。
二、模型假设
假设1假设开车的司机的都是遵守交通规则的,不存在闯红灯现象,且他们都是风险厌恶者,不会选择在即将开始黄灯时候的时候通过,故而我们可以由第一相位中绿灯时间27秒得知上游直行中车辆可由十字路口进入小道的时间是27秒。
假设2假设从小区路口1进入的车辆和从小区路口2出来的车辆相等,即可相互抵消。
假设3假设从上游十字路口中右转进入小道的交通量在与红绿灯交替无相关关系,而是一个单位时间内不变的量。
三、符号说明
车辆排队长度
实际通行能力
事故持续时间
路段上游车流量
信号灯周期
某相位的绿灯时间
绿灯后第一辆车通过停止线的时间
直线或右转车辆通过停止线的时间
某相位下每小时通过单车道停止线的最大车辆数
四、问题分析
针对问题一的分析:
第一问的问题要求我们描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力
的变化过程。
因为实际通行能力是在通常道路交通条件下,单位时间内通过道路某一横断面的最大可能车辆数。
故而我们的重点就是求得该横断面单位时间内的最大交通量。
针对问题二的分析:
我们根据问题1所得结论,结合视频2,分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
那么问题的关键在于分析每个车道上的实际通行能力的差异,并且在寻找差异时我们应把路段下游方向需求考虑在内。
针对问题三的分析:
问题三是在上游车流量稳定的前提下来研究交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、以及路段上游车流量间的关系,这个关系不会像问题一、二中的分段函数关系那样麻烦,这是一个因变量大于零的线性关系。
针对问题四的分析:
在假设2成立的条件下,问题四中的情况正好符合问题三中的线性关系,只要代入相应的值就可以得出结果。
五、模型的建立与求解
5.1问题一的求解
5.1.1解题思路
观察视频1得知,经过事故点的车辆有时候多有时候少,多的时候甚至会形成堵车减速排队等现象,而少的时候车辆便可以自由行驶。
而首当其冲,造成这种现象的主要原因必然是红绿灯的交替。
在绿灯之后,小道上来自上游的车辆逐渐增多,由于上游路口距事故点有一定距离,所以事故点要经过一小段时间后才能感觉到附近的车辆增多,我们可以将这种现象称为绿灯效果的滞后性。
而黄灯转为红灯之后,上游路口便无从直行道上进入小道的车辆,而只有从上游路口经过右转而进入小道的车辆,这一部分车不受红绿灯交替的影响,故而我们将其上游右转交通量视为恒定不变的值。
受上游路口红灯的滞后性影响,经过一定时间后,事故点的附近的车辆会越来越少直至降低为一个定值,而该值就是右转进入小道的车辆。
我们采取将整个视频分段的方法取得每一时间段内的车辆通过量,我们的任务不仅是记录各个时间段的时间,还要记录每一种车型的辆数,由于车辆的类型不同,所造成的堵塞情况也会不相同,所以我们将所有通过事故发生处的车辆进行标准化,数据处理时需将其转化换算成标准车当量数。
转换为标准车的折算系数见表1
表1车辆类型折算系数
车型
小型
中型
大型
特大型
折算系数
1.0
1.5
2.0
3.0
相关参数
≦5吨
≦20吨
≦40吨
>40吨
折算说明
:
以上折算标准均以小型客车为基数,最终计算的车流量是以小型客车为单位。
5.1.2数据的收集与处理
为求得单位时间内的最大标准车当量数,我们应该选取交通量较大的时间段研究,而如我们所知,当红灯开始至红灯结束转为绿灯这30秒期间,处于十字路口后面的车将陆续停下且紧挨着前一辆车,那么该信号指示的十字路口便会形成一个车队等待绿灯的到来,当红灯转为绿灯,处于路口的第一辆车开始启动,而后面的车便也会陆续启动出发进入小道。
为求得单位时间内事故点横断面的最大车辆数,我们从红灯变成绿灯之后,启动车队抵达事故点的时刻开始计时直至整个车队走完,用时一分钟左右,因为此时单位长度内的车辆数即车辆密度达一个信号周期内的最大值。
用这种方法,我们即可求出事故之后的事故点横断面的通行能力的变化过程。
并根据上表中折算系数计算出通过事故发生出的标准车流量。
因为每一相位的时间为30s,周期为60s,所以我们以60s为一个单位统计了通过事故发生至撤离期间的所有车辆,并将其换算成标准的车型,见表2。
表2视频1中事故发生至撤离期间每分钟标准车流量
序号
起始时刻
时间间隔(s)
小型车
中型车
大型车
车流量
标准车流量
1
16:
42:
32
60
12
1
4
21.5
1290
2
16:
43:
33
61
18
0
1
20
1200
3
16:
44:
35
62
15
0
0
15
900
4
16:
45:
32
57
16
0
1
18
1080
5
16:
46:
35
63
14
1
0
15.5
930
6
16:
47:
45
60
19
0
1
21
1260
7
16:
48:
35
60
19
0
0
19
1140
8
16:
50:
06
60
18
1
1
21.5
1290
9
16:
51:
06
60
16
1
0
17.5
1050
10
16:
52:
06
60
15
1
2
20.5
1230
11
16:
53:
06
60
12
1
1
15.5
930
12
16:
54:
06
60
16
1
1
19.5
1170
13
16:
55:
06
60
16
3
0
20.5
1230
平均值
--
60
16
1
1
19
1131
由上表2我们可以知道事故横断面实际通行能力
。
5.1.3事故所处横断面实际通行能力的变化过程
为了了解事故所处横断面的标准车流量和事故持续时间之间的关系,我们以时间为横轴,以该横断面的标准车流量为纵轴,通过Excel描绘出其变化的趋势图,见图1
图1视频1中标准车流量的变化
根据上图1我们可以看出,每分钟通过事故发生至撤离期间的标准车流量都在其均值1131pcu/h上下波动,方差为19707.69,标准差为140.3841。
5.2问题二的求解
5.2.1解题思路
同上文中对视频1的处理方法一样,我们对视频2也进行了相同的处理,处理结果见表1。
并用图形描绘出其标准车流量的变化情况,变化情况见图2.。
然后与问题一的结论相结合比较其中差异,并分析每个车道上的实际通行能力的差异,并且在寻找差异时我们应把路段下游方向需求考虑在内。
最后我们用每个车道上实际通行能力的差异,进而说明视频1和视频2中同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
5.2.2数据的收集与处理
表3视频2中事故发生至撤离期间每分钟标准车流量
序号
时间
时间间隔(s)
小型车
中型车
大型车
车流量
标准车流量
1
17:
35:
17
60
17
2
2
24
1440
2
17:
36:
17
60
20
0
2
24
1440
3
17:
37:
17
60
20
0
1
22
1320
4
17:
38:
17
60
17
0
3
23
1380
5
17:
39:
17
60
20
0
1
22
1320
6
17:
40:
17
60
14
0
3
20
1200
7
17:
41:
17
60
18
0
2
22
1320
8
17:
42:
17
60
20
0
1
22
1320
9
17:
43:
17
60
23
0
2
27
1620
10
17:
44:
17
60
14
2
1
19
1140
11
17:
45:
17
60
16
0
1
18
1080
12
17:
46:
17
60
20
1
0
21.5
1290
13
17:
47:
17
60
12
0
2
16
960
14
17:
48:
17
60
13
0
4
21
1260
15
17:
49:
17
60
18
0
1
20
1200
16
17:
50:
17
60
22
0
1
24
1440
17
17:
51:
17
60
20
0
1
22
1320
18
17:
52:
17
60
17
1
1
20.5
1230
19
17:
53:
17
60
17
1
1
20.5
1230
20
17:
54:
17
60
17
0
2
21
1260
分析表3中的时间和对应时间标准车流量的关系。
我们用EXCEL中的画图工具,画出不同时间段标准车流量的变化情况,见图2
图2视频2中标准车流量的变化
根据图2我们可以看出,每分钟通过事故发生至撤离期间的标准车流量都在其均值1289pcu/h上下波动,方差为18964.29,标准差为137.7109。
由于问题二要我们分析同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力应影响的差异,所以我们把图1和图2中的标准车流量的变化画到同一个坐标轴,我们就可以得到下图3:
图3视频1和视频2中标准车流量的变化
由图3我们可以看到视频2的标准车流量总体比视频1的标准车流量要大。
另外,比较两个视频中的标准车流量的均值我们也可以得到视频2的平均标准车流量比视频1的稍大点。
因此,视频2中交通事故占车道一、二对该横断面实际通行能力的影响相对视频1中交通事故占车道二、三对该横断面实际通行能力的影响要小些。
5.2.3现象的原因分析
我们知道,在城市的十字路口是通过信号灯控制道路的通行能力的,而信号灯控制道路的通行能力是指在某一相位下单位时间通过停止线的最大车辆数,它是在这样的假设下计算的:
红灯时车辆已在停止线后排成一列等待,绿灯后第1辆车立即启动通过停止线,其余车辆按照固定的(或视为平均的)时间间隔通过停止线。
(1)计算通行能力
记信号灯周期为
某相位的绿灯时间为
,绿灯后第1辆车通过停止线的时间为
,直线或右转车辆通过停止线的时间为
,反映车辆通过路口不均匀性的折线系数为
,某相位下每小时通过单车道停止线的最大车辆数为
则有
(1)
一般情况下
取2.3s,
取2.5s(小型车辆)~3.5s(大型车辆),在此我们取3.0s,而信号灯的周期题中给出
绿灯
。
另外由城市道路交叉口通行能力的分析与应用
的资料可知在城市主干道,,一般越靠近路中心线的车道通行能力为最大,其折减系数假设为1.00,车道二为0.80~0.89,车道一为0.65~0.78,在此取其平均值车道二为0.85,车道一为0.71。
因此我们可以用公式
(1)分别算出三条车道在不堵车的情况下能承受的最大通行量,进而可以得到上游十字路口某相位下每小时通过停止线的最大车辆数。
因此,某相位下每小时通过上游车道停止线的最大车辆数是:
所以,
车道三的通行能>车道二的通行能力>车道一的通行能力
另外我们还可以得到某相位下每小时通过上游车道停止线的最大车辆数是:
即上游的车道最大通行流量是1418pcu/h。
(2)结果检验:
要对此模型的检验,我们可以用统计上游路口实际的流通量来检验,如果实际的流通量比模型得到的上游车道最大通行流量1418pcu/h大,那就说明我们的模型错了。
因此我们从16:
42:
03开始大约每60s统计一次上游路口通过的车量种类和数量,并且换算成标准车型。
统计结果如下表所示:
表4上游路口的车流量
组号
时间
时间间隔/s
大型车
中型车
小型车
标准型车
车流量
1
16:
43:
03
60
1
0
15
17
1020
2
16:
44:
10
67
0
0
19
19
1140
3
16:
45:
10
60
1
0
21
23
1380
4
16:
46:
10
60
0
0
16
16
960
5
16:
47:
10
60
1
0
24
26
1560
6
16:
48:
11
61
0
0
18
18
1080
7
16:
49:
11
61
1
0
13
15
900
8
16:
50:
06
55
0
0
19
19
1140
9
16:
51:
06
60
1
0
25
27
1620
10
16:
52:
06
60
1
0
16
18
1080
11
16:
53:
06
60
2
0
16
20
1200
12
16:
54:
06
60
0
1
13
14.5
870
13
16:
55:
06
60
0
0
13
13
780
平均值
——
60
1
0
18
19
1133
上游路口每分钟的车流量的变化情况如下图所示:
图4上游路口车标准流量变化图
从图4我们可以看出,每分钟通过上游路口的标准车流量都在其均值1133pcu/h上下波动,方差为60113.61,标准差为245.1808。
上游路口的标准车流量均值1133pcu/h比模型中得到的上游车道最大通行流量是1418pcu/h要小,因此模型的结果还比较符合真实的情况。
视频1中是只有车道一畅通,而视频2中是只有车道三畅通。
由上面的模型结果我们知道车道三的通行能力比车道一的强,因此视频二对该横断面实际通行能力的影响相对视频1要小些。
另外,根据附件3,我们可以知道车道下游路口的左转流量、直行流量、右转流量三者所占的比例分别是35%,44%,21%。
因此,当从上游来的车进入这个路段时靠中心线的车道三比靠外边的车道一中的车辆数会比较多,因此,当车道三被事故堵住时对该横断面实际通行能力的影响比车道一被事故堵住时大,即车道三被事故堵住时的实际通行能力比车道一被事故堵住时要小。
5.3问题三的求解
问题三是要我们构建数学模型,分析视频1(附件1)中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
设车辆排队长度为
,事故横断面实际通行能力为
,事故持续时间为
,路段上游车流量为
,其中由第一问的结果知
。
由视频1和视频2,我们可以统计出每次出现120米的红绿框标记时的时间及相应的车辆数,如下表5和表6所示:
表5视频1中120米的红绿框标记时的时间及相应的车辆数
序号
时刻
小型车
中型车
大型车
标准型车
1
16:
42:
46
8
0
3
14
2
16:
47:
50
10
0
1
12
3
16:
50:
42
22
0
0
22
4
16:
51:
44
22
0
1
24
5
16:
52:
46
20
1
2
25.5
6
16:
54:
03
22
1
2
27.5
表6视频2中120米的红绿框标记时的时间及相应的车辆数
序号
时刻
小型车
中型车
大型车
标准型车
1
17:
41:
45
13
0
1
15
2
17:
50:
04
16
1
0
17.5
3
17:
50:
48
19
1
1
22.5
4
17:
51:
50
24
1
1
27.5
5
17:
54:
51
21
0
2
25
6
17:
55:
53
14
0
4
22
7
17:
58:
51
20
0
4
28
8
18:
00:
04
30
0
2
34
9
18:
02:
06
28
0
3
34
由表5、表6中的标准型车量的折线图以及线性趋势线分别如下图5、图6所示:
图5视频1中120米的红绿框标记时的时间及相应的车辆数的曲线图
图6视频2中120米的红绿框标记时的时间及相应的车辆数的曲线图
由上述图表,我们可以看出从事故发生时开始,绿灯结束时堵车量的总体趋势是逐渐增加的,根据两次线性拟合的结果可以看出
都在0.75以上,即呈线性增加的趋势很明显。
根据我们的生活常识,我们知道这个120米内的堵车数量是不会一直这样线性增加下去的,最后一定会达到一个最大的值。
图7是视频1与视频2的连接图,序号1—6是视频1中的数据点,序号7—15是视频2的数据点。
图7视频1和视频2中120米的红绿框标记时的时间及相应的车辆数的曲线图
由图7可看出120米内的堵车数量最多的时刻是视频2中的18:
00:
04与18:
02:
06,并且堵车数量都是34pcu。
因此120米以内的堵车数量的最大值
。
所以,当堵车长度是
时,此刻的堵车量
(2)
根据车波动理论
列队行驶的车辆在瓶颈路段入口处减缓车速陆续排队而集结成密度高的队列,它所体现的车流波称为集结波;通过瓶颈路段后,排队的车辆又陆续启动而疏散成一列具有适当密度的车队,它所体现的车流波称为疏散波。
交通流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传动的现象称为交通流的波动。
集结波和疏散波统称为集散波。
我们可以建立一个集散波模型
,在有交通事故处车集结的速度是
车疏散的速度是
,因此,在事故处单位时间内堵车的数量等于
(3)
从而在事故发生
时间后的堵车数量就等于
(4)
结合公式
(2)、(4),当
时
从而我们就得到了车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系
(5)
5.4问题四的求解
对于问题四,由于交通事故所处横断面距离上游路口变为140米,所以当车辆排队长度到达上游路口时,排队长度就是140米,即此时的
代入(5)式,得到
又由已知,知
,所以
即从事故发生开始,经过6分27秒的时间,车辆排队长度将到达上游路口。
六、模型优缺点分析
模型的优点:
(1)此论文中所用到的视频是建立在现实生活中真实模拟的基础上,所以数据具有一定的真实性,这为我们后期模型的建立打下了基础。
(2)在问题二中,我们不仅引用了“交叉口道路通行能力估计模型”, 并做了相应的检验,这更加增强了统计结果的精确性和模型的有效性。
(3)在第三问的视频1和视频2的120米红绿框标记时的时间及相应的车辆数的曲线图中,我们可以看到一次函数对其车辆数变化的拟合度分别高达0.8543和0.7815。
这充分说明了第三问中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系确为线性关系。
模型的缺点:
(1)在视频数据统计过程中曾出现一些时间段的缺失以至对我们的统计数据造成一定的误差,进而影响到了模型的精确度。
(2)我们在统计过程中只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量,而没有考虑到四轮以下车辆对横断面实际通行能力造成的影响。
(3)模型存在的诸多假设相当于把模型的实用性理想化了,如从小区路口1进入的车辆和从小区路口2出来的车辆相等,这在实际生活中发生的概率极低。
以及从上游十字路口中右转进入小道的交通量与红绿灯交替不会是没有关系的,肯定会有些阻碍。
七、参考文献
[1]姜启源,《数学建模》,北京:
高等教育出版社,2011。
[2]郭华、吴江,《交通事故中的交通波理论分析》,
[3]杨开春、段胜军、许迅雷,《城市道路交叉口通行能力的分析与应用》,
[4]关于车流量折算方式的建议
[5]实际通行能力
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