预初1整数和整除的意义因数和倍数教师版.docx
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预初1整数和整除的意义因数和倍数教师版
初中数学备课组
教师
班级预初
学生
日期
上课时间
学生情况:
主课题:
1.1整数和整除的意义&1.2因数和倍数
教学目标:
1.掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念
2.掌握整除的条件,会区分整除和除尽
3.在整除中,能够说明谁是谁的倍数,谁是谁的因数
4.掌握求一个整数的所有因数的方法,掌握整数的最小和最大的因数
5.掌握求一个整数在一定范围内的倍数,掌握整数的最小的倍数
教学重点:
1.自然数、整数、整除、因数、倍数;整除、整除的条件
2.掌握求一个整数的所有因数的方法,掌握整数的最小和最大的因数
3.掌握求一个整数在一定范围内的倍数,掌握整数的最小的倍数
教学难点:
1.掌握整数最小和最大的因数
2.掌握整数最小的倍数
考点及考试要求:
1.自然数、整数、正整数、负整数的分类
2.给出算式判断是否为整除
3.会在一定范围内求一个正整数的因数、倍数
知识精要
知识点1:
整数的意义和分类
自然数:
零和正整数统称为自然数(naturalnumber);
整数:
正整数、零、负整数,统称为整数(integer)。
自然数
正整数
零
整数
负整数
知识点2:
整除
(1)整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a能被b整除;或者说b能整除a.
(2)整除的条件(两个必须同时满足):
1
除数、被除数都是整数;
2 被除数除以除数,商是整数而且余数为零。
知识点3:
除尽与整除的异同点
相同点:
除尽与整除,都没有余数,即余数都为0;除尽中包含整除
不同点:
整除中被除数、除数和商都为整数,余数为零;
除尽中被除数、除数和商不一定为整数,余数为零。
知识点4:
因数和倍数
整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数(也称为约
数)。
注:
(1)在整除的条件下才有因数和倍数的概念;
(2)说法:
例如,6
3=2,只能说6是3的倍数,3是6的因数,不能单独说6是倍数,3是因数
(3)如果a是b的倍数,那么b一定是a的因数;反之,如果b是a的因数,
那么a一定是b的倍数
知识点5:
求一个数的因数的方法
(1)列乘法算式:
根据因数的意义,有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式,乘法算式中的因数就是该数的因数
例:
6=1×6,6=2×3,所以1、2、3、6都是6的因数
(2)列除法算式:
用此数除以任意整数,所得商是整数而无余数,这些除数和商都是该数的因数
例:
8
1=8,8
2=4,所以1,2,4,8都是8的因数
规律总结:
一个数的因数个数是有限的。
一个数的最小因数是1,最大因数是它本身。
1的因数只有1,最大的因数和最小的因数都是1,除1以外的整数,至少有两个因数
知识点6:
求一个数的倍数的方法
求一个数的倍数,就是用这个数,依次与非零自然数相乘,所得之数就是这个数的倍数
例:
2×1=2,2×2=4,2×3=6,2×4=8……,则2,4,6,8都是2的倍数
规律总结:
一个数的倍数是无限的,一个数的最小倍数是它本省,没有最大倍数
知识点7:
因数和倍数的性质(规律总结)
(1)1是任何一个整数的因数,任何整数都是1的倍数;
(2)0是任何一个不等于0的整数的倍数,任何一个不等于0的整数都是0的因数
(3)一个正整数既是它本身的最大因数,也是它本身的最小倍数
热身练习
1、把下列各数放入相应的圈内
-1,-0.2,0,0.7,13,0.2323……,
2、最小的自然数是0,最小的正整数是1,最大的负整数是-1
3、下列各组数中,哪个数能整除另一个数?
8和36
26和52
17和3
35和0.5
50和25
1.9和38
答:
26能整除52;
25能整除50
4、、判断题:
(1)负整数中有最大的数。
(√)
(2)0是整数,所以它也是正整数。
(×)
(3)1001能被11整除。
(√)
(4)能整除6的数一共有4个。
(√)
(5)整数a除以b的商为整数,余数为零,那么a能被b整除。
(×)
5、18
2=9,我们可以说18能被2整除,也可以说2能整除18
6、已知39能被正整数n整除,则n可能是1,39,3,13
7、8
4=2,则8是4的倍数,4是8的因数,8的最大因数是8,最小倍数是8
8、已知下列除法算式:
57
7=8……121
7=322
0.2=11022
5=4.4
0
3=02
4=0.5
(1)表示能除尽的算式有哪几个?
(2)哪些算式中可以说被除数能被除数整除?
答:
(1)表示能除尽的算式有:
21
7=322
0.2=11022
5=4.4
0
3=02
4=0.5
(2)被除数能被除数整除的算式有:
21
7=30
3=0
9、
(1)试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系
(2)试比较正整数、负整数,零的大小
(3)试比较负整数,自然数的大小
答:
(1)整数包括自然数和负整数,或者说整数包括正整数、零和负整数;自然数包括零和正整数
(2)负整数<零<正整数
(3)自然数>负整数
10、分别写出36和19的因数
解:
36=1×36=2×18=3×12=4×9
所以36的因数有:
1,2,3,4,9,12,18,36
19=1×19
所以19的因数有:
1,19
11、在圈内填写满足条件的数:
精解名题
例1、先把下列各数放入正确的圈内,然后把这些数按照从小到大的顺序排列,并说明其中最小的正整数,最小的自然数,最大的负整数分别是哪个?
--1,2,-0.3……,15,-0.7,0,3.83,0.3,1,3.83……
从小到大排列如下:
-1,-0.7,-0.3……,0,0.3,1,2,3.83,3.83……,15
其中最小的正整数是1,最小的自然数0,最大的负整数-1
例2、15支铅笔分给几个学生,每人发的一样多且不止1支,可以分给几个人?
每人几支?
有几种分法?
两种:
分给3人,每人5支;或分给5人,每人3支。
例3、五个连续自然数,已知中间数是a,那么其余四个数分别是a-2,a-1,a+1和a+2。
若这五个连续自然数的和是20,试求这五个数。
解:
a-2+a-1+a+a+1+a+2=20,可得a=4
这五个数分别是2,3,4,5,6
例4、2011年的教师节是星期六,老师们可以好好庆祝一下自己的节日了,同学们,明年呢?
我们能否不查日历,就能知道2012年的教师节是星期几呢?
解析:
2011年9月10日到2012年9月10日有366天,而一个星期的周期是7天,所以每相差7天的日期,它们的星期都是一样的,所以我们用366除以7,如果能整除,那么2012年教师节就是星期五,如果不能整除,我们只要按照余数顺延就可以得到答案了。
因为366
7=52……2,所以2012年教师节是星期六后边顺延两天天,也就是星期一
注:
2012年为闰年
闰年:
普通年能被4整除且不能被100整除的为闰年;世纪年能被400整除的是闰年。
例5、李明去儿童乐园玩,儿童乐园是1路车和13路车的始发站,1路车每5分钟发车一次,13路车每6分钟发车一次。
现在这两路车同时发车以后,至少再经过多少分钟又同时发车?
解析:
1路车每5分钟发车一次,也就是每次发车都是5的倍数,13路车每6分钟发车一次,则每次发车都是6的倍数,再次同时发车,这个时间应该既是5的倍数,又是6的倍数,又要求至少再经过多少分钟,就应声5和6的公倍数当中最小的那个数
5的倍数有:
5、10、15、20、25、30、35……
6的倍数有:
6、12、18、24、30、36……
既是5的倍数,又是6的倍数的最小数是30,所以应再过30分钟两车又同时发车
例6、有三个自然数,其和是13,将它们分别填入下式的三个括号中,满足等式要求:
()—1=()÷5=()+2
解析:
令()—1=()÷5=()+2=a
则这三个自然数分别表示为a+1,5a,a-2
则a+1+5a+a-2=13,得到a=2
则这三个数分别为:
3,10,0
拓展提高
1、已知A=2×3×5×7,那么A的全部因数的个数是(D)
A.10个B、12个C、14个D、16个
2、如果(n)表示n的全部因数的和,如(4)=1+2+4=7,则(18)-(21)=7。
3、如果两个整数a、b都能被整数c整除,那么它们的和、差、积也能被c整除吗?
为什么?
答:
能。
若整数a、b都能被整数c整除,则可设cm=a,cn=b(m、n均为整数),那么,a+b=cm+cn=c(m+n);a-b=cm-cn=c(m-n);ab=cm·cn,
所以它们均能被c整除。
思考:
(1)如果两个数都不能被同一个数整除,那么它们的和差是否一定不能被这个数整除?
举例说明;
(2)在加法中,如果有一个加数不能被某个数整除,其它的加数都能被这个数整除,那么这些加数的和能被这个数整除吗?
举例说明。
答:
(1)不一定不能;
(2)一定不能。
4、学校有10个兴趣小组,各组的人数如下表:
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
3
11
6
8
10
12
4
7
13
8
一天下午,学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座,已知有9个小组去听讲座,其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍,还剩下一个小组在教室里讨论问题,这一组是第几组?
解析:
“听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍”的条件可知听讲座的9个小组人数之和是7的倍数,十个小组的总人数经计算是82人,又因为82除以7以后余5,所以留下讨论的那一组人数被7除也应该余5,观察表格,只有第六组符合条件
解:
总人数为:
82人
因为82÷(6+1)=11……5,而12÷(6+1)=1……5
所以留下来讨论问题的是第六组
巩固练习
1、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)0是最小的自然数(√)
(2)正整数是自然数(√)
(3)正整数和负整数统称为整数(×)
(4)整数包括自然数和负整数(√)
2、下列说法正确的是(D)
A.两个整数相除,商一定是整数
B.非负整数是正整数
C.小数一定比整数小
D.自然数包括正整数和零
3、下列各组数中,第一个数不能被第二个数整除的是(C)
A.21和3B.0和8C.12和0.3D.11和1
4、找出1~25以内符合条件的数
5、若18能被正整数a整除,则a为1、18、2、9、3、6。
6、数a能被数b整除,已知数a是最大的两位数,b小于20大于8,那么b的值可能是9或11
7、七个连续的自然数的和为70,那么这七个连续的自然数数是7、8、9、10、11、12、13
8、是否存在最小的的正整数,负整数,自然数;是否存在最大的正整数,负整数,自然数?
如果有,请写出是哪个数
答;最小的正整数是1,没有最小的负整数,最小的自然数是0;
没有最大的正整数,最大的负整数是-1,没有最大的自然数
9、老师问:
“当a=4.5时,b=0.9时,a能被b整除吗”,一个同学回答:
“因为商是5,是整数,所以a能被b整除”你认为对吗?
答:
不对,整除必须满足两个条件:
(1)除数、被除数都是整数;
(2)被除数除以除数,商是整数而且余数为零。
问题中的a,b不满足第一个条件,所以a不能被b整除,只能说是除尽。
10、求26以内能被5整除的所有数的和
解:
26以内能被5整除的数有:
5,10,15,20,25
所以26以内能被5整除的所有数的和为:
75
11、下列各数中是否含有相同的因数,若含有请指出。
(1)6和9
(2)27和51
解析:
先写出各组数中各自的因数,注意不要忘记1
解:
(1)6和9中,6的因数是1,2,3,6;9的因数是1,9,3
所以6和9含有的相同因数是1,3
(2)27和51中,27的因数是:
1,3,9,27;51的因数是:
1,3,17,51
所以27和51含有的相同的因数是1,3
12、用16块面积是1平方厘米的正方形,可以拼成多少种形状不同的长方形?
它的长和宽分别是多少厘米?
解:
正方形面积是1平方厘米,那么正方形的边长为1厘米
要拼成长方形,那么拼成的长方形的长和宽都是16的因数,1的倍数
因为16=1×16=2×8=4×4,所有的正整数都是1的倍数,所以长方形的长和宽可以分别是1、16;2、8;4、4.
13、整数a能被b整除,商是c,那么整数2×a能被b整除吗?
如果能整除,商是多少,?
若不能,请说明理由。
答:
2×a能被b整除,因为a÷b=c,那么2×a÷b=2×(a÷b)=2×c=2c,所以2×a能被b整除,商是2c
自我测试
1、下列说法正确的是(D)
A.整数一定比小数大B.没有最小的自然数
C.若m
n余数为0,则n一定能整除m
D.若整数m除以整数n恰好能除尽,则m一定能被n整除
2、下列说法不正确的是(B)
A.a÷b=c(a,b,c都是正整数),则b是a的因数,a是b的倍数
B.甲数的最大因数正好等于乙数的最小倍数,则甲数一定大于乙数
C.12÷4=3,所以说12是4的倍数
D.51的倍数一定能被17整除
3、下列算式中,被除数能被除数整除的是(D)
A.18÷4B.12÷0.4C.1.8÷1.8D.4÷4
4、已知m能整除71,那么m是(C)
A.142B.11C.1或71D.213
5、除式9÷1.5=6表示(C)
A.9能被1.5整除B.1.5能整除9
C.9能被1.5除尽D.以上说法都不确切
6、如果一个数既是60的倍数,又是120的因数,那么下列说法中正确的是(C)
A.这样的数只有1个B.这样的数有无数个
C.这样的数有2个D.这样的数不存在
7、能被96整除的数一定是下面(B)的倍数
A.18B.32.C.36.D.192
8、把下列各数填入相应的圈内
-3,-1,0,0.5,2,8,-1.5,0.333……,18
9、把表示下列算式的序号填入适当的空格内。
(1)30÷10
(2)7÷25(3)35÷0.1(4)18÷3
(5)0.4÷2(6)3.9÷0.3(7)27÷9(8)16÷4
被除数能被除数整除的:
(1),(4),(7),(8)
能够除尽的:
(1),
(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8)
10、39÷13=3,我们可以说39能被13整除,也可以说13能整除39
11、在圈内写出满足条件的数(从小到大各写3个)
17的倍数
7的倍数
65的倍数
50的倍数
12、若一个自然数a(a>0)则与它相邻的两个自然数可以表示为a-1,a+1,已知三个连续的自然数之和是54,则这三个数是17,18,19
13、一个数的最小倍数是25,这个数的所有因数是:
1,5,25
14、正整数32能被正整数a整除,写出满足条件的a的值
因为32÷1=32,32÷2=16,32÷4=8,32÷8=4,32÷16=2,32÷32=1
所以a可以是1,2,4,8,16,32
15、一个正整数既是48的因数,又是3的倍数,这个数可以是多少?
由于48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8
这个数是3的倍数,且是48以内的正整数,所以:
3×1=3,3×2=6,3×3=9,3×4=12,3×5=15,3×6=18,3×7=21,3×8=24,3×9=27,3×10=30,3×11=33,3×12=36,3×13=39,3×14=42,3×15=45,3×16=48,
所以满足既是48的因数,又是3的倍数的正整数有:
3,6,12,24,48
16、一个正整数只有2个因数而且这个数比10小,这个数可以是多少?
任何一个不等于1的正整数,都至少有两个因数,一个是1,一个是它本身,那么对于只有两个因数的正整数除了本身和1以外没有其它的因数了,10以内满足这个条件的正整数有2,3,5,7
17、有三个自然数,其和是19,将它们分别填入下式的三个括号中,满足等式要求:
()+1=()÷4=()-2
解析:
令()+1=()÷4=()-2=a
则这三个自然数分别表示为a-1,4a,a+2
则a-1+4a+a+2=19,得到a=3
则这三个数分别为:
2,12,5
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