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因数倍数
广州卓越教育机构一对一
五年级数学专题学案
因数和倍数
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课时:
一、知识点讲解:
知识点一:
因数和倍数
如果a×b=c(a、b和c是不为0的整数),那么a、b就是c的因数(或约数),c就是a、b的倍数。
注意:
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的是本身,一个数的倍数是无限的,其中最小的倍数是本身。
知识点二:
质数、合数与分解质因数
1、质数与合数:
(1)一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数)。
(2)一个数,如果只有1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数。
2、质因数:
一个数的因数是质数,叫做这个数的质因数。
3、分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
4、自然数分类:
质数、合数、1.
知识点三:
最大公约数、最小公倍数的应用
1、公约数和最大公约数:
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
2、公倍数和最小公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
3、最大公约数与最小公倍数的求法:
枚举法、分解质因数法、短除法。
4、互质数:
如果两个数的最大公约数是1,那么这两个数叫做互质数。
5、互质关系的两个数的最大公约数是1,最小公倍数是这两个数的乘积。
倍数关系的两个数的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是其中较大的数。
二、例题讲解
例1:
6是倍数、3和2是因数。
(×)
分析:
因数和倍数是两个不同的概念,但又是一对相互依存的概念,不能单独存在,即:
不能说谁是倍数,也不能说谁是因数;应该说谁是谁的因数,或谁是谁的倍数。
改正:
6是3和2的倍数,3和2是6的因数。
例2:
两个质数的和是39,这两个质数的积是多少?
思路导航:
两个数的和是39,说明这两个数必定是一奇一偶,这两个数都是质数,质数中只有2是偶数,因此,另一个数一定是37.
解:
因2+37=39,而2×37=74,所以这两个数的积是74.
答:
这两个质数的积是74.
练习:
1、两个质数和是99,这两个质数为几?
2、100可以用两个质数的和来表示,这两个质数的差最小的值是多少?
3、两个质数的和是50,这两个质数的乘积最大值是多少?
例3:
(1)用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?
(2)一个数用9、15、20除都能整除,这个数最小是多少?
思路导航:
(1)一个数去除30、60、75都能整除,这个数就是30、60、75的公约数,要求符合条件的最大的数就是求30、60、75的最大公约数。
解:
530607530、60、75的最大公约数为3×5=15
361215所以,这个数最大是15.。
245
(2)一个数用9、15、20除都能整除,这个数就是9、15、20的公倍数,要求符合条件的最小数,就是求9、15、20的最小公倍数。
解:
3915209、15、20的最小公倍数为3×5×3×1×4=180
53520所以这个数是180.
314
练习:
1、
(1)求48和64的最大公约数,
(2)求8和12的最小公倍数。
2、求42、168、252的最大公约数和最小公倍数。
3、希望小学买来360个苹果,480个桔子,400个梨,带这些水果去慰问敬老院的老人们,最多可以分成多少份同样的礼物?
每份中苹果、桔子、梨各有多少个?
例4:
有3根铁丝,长度分别是12厘米、18厘米和24厘米。
现在要把它们截成相等的小段,每根都不许有剩余。
每小段最长是多少厘米?
一共可以截成多少段?
思路导航:
要截成相等的小段,且无剩余,所以每段长度必须是12、18、24的公约数。
又因为每段尽可能长,所以要求每段长度是12、18、24的最大公约数。
解:
3121824
2468
234
(12、18、24)=3×2=6
12÷6+18÷6+24÷6
=2+3+4
=9(段)
答:
每段最长为6厘米,一共可以截成9段。
练习:
1、有三根铁丝,分别长12厘米、18厘米、54厘米。
要把它们都截成同样长的小段不许剩余,每段最长是多少厘米?
一共能截多少段?
2、有3根钢管,分别长200厘米、240厘米、360厘米,现在要把这三根钢管截成尽可能长且相等的小段,一共能截成多少段?
3、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育锻炼,要把他们分成人数相等的小组,但各班同学不能打乱。
最多每组多少人?
每班各分多少组?
例5:
有一批图书,总数在1000本以内,若按24本书包一捆,最后一本差2本;若按28本书包一捆,最后一捆还是差2本;若按32本书包一捆,最后一捆也是差2本。
这批图书有多少本?
思路导航:
从题意可知,如果再加上2本图书,总图书数就能被24、28、32这三个数整除,是它们的公倍数。
这个公倍数必须小于1000即为最小公倍数,最后再从最小公倍数中减2。
解:
[24,28,32]=672
672-2=670(本)
答:
这批图书有670本。
练习:
1、有一篮鸡蛋,按每4个一堆分多1个;按每5一堆分多1个;按每6个一堆分也多1个。
这篮鸡蛋至少有多少个?
2、有一盒小花,每次8个8个地数、10个10个地数、12个12个地数,最后总是剩下3朵。
这盒小花至少有多少朵?
3、一个数,不论是被10除,被4除,还是被15除,最后都少3,这个数最小是多少?
三、课堂作业
一、填空
1、因为36÷9=4,所以()是()和()的倍数,()和()是()的因数。
2、45的因数有:
()
25以内5的倍数有()。
3、有甲、乙两数,它们既不是倍数关系,又不是互质数,两数的最小公倍数是294。
如果甲数为49,那么乙数为()。
4、a=2×3×5,b=2×3×7,a和b的最大公约数是(),最小公倍数是()。
5、A=2×3×M,B=3×5×M(M是自然数且M≠0),如果A和B的最大公约数是21,则M是(),A和B的最小公倍数是()。
6、如果A=60,B=42,那么A、B的最大公因数是(),最小公倍数是()。
7、在6、3、5、0、8、7这六个数中选出五个数组成一个能同时被2、3、5整除的最小五位数()。
8、右图是A、B、C三个互相咬合的齿轮若A轮转3圈,B
轮转了7圈,C轮转2圈,那么,这三个齿轮的齿数最少
是A轮()齿,B轮()齿,C轮()齿。
9、一个数个位和十位上的数字都是合数,而且是互质数,这个数最小是()。
10、从0、4、5、7中选择三个数字组成一个能同时被2、3、5整除的最大三位数,这个三位数是(),把它分解质因数是()。
11、篮子里有鸡蛋若干个,每次取出3个,最后剩1个;每次取5个,最后剩下3个;每次取7个,最后剩下5个,则篮子里最少有()个鸡蛋。
12、已知a与b的最大公约数是10,a与c,b与c的最小公倍数都是30。
则满足此条件的a,b,c共有()组。
二、选择
1、属于因数和倍数关系的等式是()
A、2×0.25=0.5B、2×25=50C、2×0=0
2、甲每4天去少年宫一次,乙每6天去一次,丙每8天去一次,如果6月1日,甲乙丙同时去少年宫,则下次同去少年宫应是()
A、6月9日B、6月19日C、6月15日D、6月25日
3、一个大厅里共有200盏彩灯。
每两盏灯与一个拉线开关相连(同时亮或同时熄)。
现在,所有开关按序号1—100安装在同一个控制箱内,所有的灯都处于“熄”的状态。
李明先将序号是3的倍数的开关拉一遍,接着六强将序号是5的倍数的开关拉了一遍,这时,大厅里共有()盏灯亮着。
A、40B、80C、82D、94
4、在所有的质数中,偶数的个数有()。
A、一个也没有B、有一个C、有两个D、有无数个
5、a与b是互质数,它们的最小公倍数是最大公约数的m倍,则m是()
A、abB、aC、bD、1
三、判断
1、因为0.6×5=3,所以3是0.6和5的倍数。
()
2、相邻两偶数的和是30,则它们的最大公约数是2。
()
3、任意两个相邻的自然数(0除外)都是互质数。
()
4、所有的质数都是奇数。
()
5、除2以外所有的质数都是奇数。
()
6、奇数与偶数的积是偶数。
()
7、4和15都是合数,又是质数。
()
8、分子、分母都是质数的分数一定是最简分数。
()
四、解决问题
1、有三张卡片,它们上面各写一个数字,从中抽出一张、二张、三张,按任意次序排列出来,可以得到不同的一位数、二位数、三位数,请你将其中的质数都写出来。
3
2
1
2、一个长方体木块,它的长、宽、高的厘米数正好是三个连续的自然数,这个长方体的体积是504立方厘米。
求这个长方体的表面积是多少平方厘米?
3、希望小学五年级有90名同学出去郊游,途中要过一条河,船夫用几只小船分3次把所有的同学渡过河去。
已知船载的人数都相等,并且至少载2人。
问每次应有几只船?
每只船载多少人?
4、两个数的最大公约数是6,最小公倍数是144,这两个数各是多少?
有几组这样的数?
5、一张长方形纸长112厘米,宽80厘米,把它剪成若干个同样大小的正方形,使边长是整厘米且不能有剩余,最少能剪多少个?
6、有一块长、宽、高分别是120厘米、90厘米、60厘米的长方体木料,现在要把它锯成大小相等的正方体木块且木料没有剩余。
锯成的正方体木块棱长最长是多少厘米?
共可以锯成多少块?
7、张妮有若干张画片,7张一数还余4张,5张一数又少3张,3张一数正好。
问:
张妮至少有多少张画片?
8、琦琦、梦梦、妮妮。
浩浩四位小朋友,每隔不同的天数去敬老院做好事一次,琦琦3天去一次,梦梦4天去一次,妮妮5天去一次,浩浩6天去一次。
有一次四位小朋友是星期一在敬老院相逢,至少要过多少天四位小朋友才会在敬老院再次相逢?
相逢时是星期几?
9、公路上一排电线杆,共25根,每相邻两根间的距离原来都是45米,现在要改成60米,可以有几根不需移动?
10、在长廊两侧每隔4米种一棵枫树,结果第一课与最后一棵相距48米。
现在将树栽成每隔6米种一棵,其中有几棵不需要移动?
11、A、B两地有一段公路长7200米,路旁有路标,原来每300米有一个(起点、终点各一个),现在要改为800米一个,有多少个旧路标可以利用?
12、从小张家到学校每隔50米有一根电线杆,加上两端的两根一共有55根电线杆。
现在实行线路改造,改成每隔60米安装一根电线杆,那么包括两端共有多少根不必移动?
13、有甲、乙两个互相衔接的齿轮,甲轮有437齿,乙轮有323齿,甲轮的某一齿与乙轮的某一齿从第一次接触到第二次接触,需要各转几圈?
14、一对啮合齿轮,一个有132个齿,一个有48个齿,其中啮合的任意一对齿从第一次相接到再次相接,两个齿轮各要转动多少圈?
15、一对互相啮合的齿轮,分别有84和30个齿,问:
其中某一对齿从第一次相遇到第二次相遇,两个齿轮至少各转多少圈?
16、在一种电动机中有三个齿轮互相啮合,第一个齿轮有28个齿,第二个齿轮有42个齿,第三个齿轮有108个齿。
现在三个齿轮中某几个齿互相啮合后,到下次还是这几个齿再互相啮合时,各齿轮最少需要转多少圈?
答案:
例2练习
1、两个数的和是99.99是奇数,那么两个数必一奇一偶,偶质数只有2,那么另一个质数是97,所以这两个质数为2和97.
2、用两个质数的和表示100的方法有很多种,要使它的差最小,这两个数应充分接近,经试验可知,当100=53+47时,两数差最小,是53-47=6.
3、把50表示为两个质数的和,共有四种形式:
50=3+47=7+43=13+37=19+31。
因为19×31=589>13×37=481>7×43=301>3×47=141,所以所求的最大乘积是589。
例3练习
1、
(1)48的因数有:
1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
64的因数有:
1、2、4、8、16、32、64
48、64公有的因数有1、2、4、8、16,所以(48、64)=16
(2)8的倍数有:
8、16、24、32、40、48、56、64、72、……
12的倍数有:
12、24、36、48、60、72、……
因为8、12的公倍数有24、48、72。
所以[8,12]=24。
2、﹙42、168、252﹚=2×7×3=42[42、168、252]=2×7×3×2×1×2×3=504
3、﹙360、480、400﹚=40(份)每份中有苹果9个,桔子12个、梨10个。
例4练习:
1、每段最长6厘米,能截14段。
2、能截成20段。
3、(24,36,42)=624÷6=4(组)36÷6=6(组)42÷6=7(组)
三个班各分成4组、6组和7组。
所以每组最多有6人。
例5练习:
1、61个2、123朵
3、要求的这个数应比10,4和15的最小公倍数少3.
[10,4,15]=60,60-3=57,所以这个数是57.
课堂作业:
一、填空
1、369494362、13591545
3、424、62105、72106、64207、35670
8、146219、4910、750750=2×3×5×5×5
11、10312、6
二、选择
1、B2、D3、D4、B5、A
三、判断
1、×2、√3、×4、×5、√6、√7、×8、√
四、解决问题
1、答:
可排出质数2,3,13,31,23.
2、504=2×2×2×3×3×7
=﹙2×2×2﹚×﹙3×3﹚×7
=7×8×9
因此这个长方体的长、宽、高分别为7厘米、8厘米和9厘米(顺序不限)。
它的表面积为:
(7×8+7×9+8×9﹚×2=382(平方厘米)
答:
这个长方体的表面积是382平方厘米。
3、因为每只船所载的人数相等,且3次就把90人全渡过河去,所以每次渡过河的总人数相等,均为90÷3=30(人)
每次渡河总人数30=每只船上的人数×船数
30=2×3×5,因为每只船上的人数相等,且至少载2人,每次渡河的船次与每只船上所载的人数有以下几种情况:
用2只船,每只船载15人。
用3只船,每只船载10人。
用5只船,每只船载6人。
用6只船,每只船载5人。
用10只船,每只船载3人。
用15只船,每只船载2人。
4、
设这两个数为甲和乙,根据它们的最大公约数是6,可以设
6甲乙
ab(a与b互质)
那么,它们的最小公倍数就是6ab=144,因此ab=24,由于a与b互质,所以ab分别为1和24,或ab分别为3和8,原来的两个数是
1×6=6或3×6=18
24×6=1448×6=48
符合条件的数有2组。
答:
这两个数是6和144或18和48,共2组。
5、因为要剪成同样大的正方形,无剩余,那么这个正方形的边长一定要能整除这张纸的长和宽。
即正方形的边长是112和80的公约数,又因为剪的个数越少正方形边长就越长,而题中要求最少剪多少个,因此正方形的边长必须最长。
也就是正方形的边长是112和80的最大公因数。
解:
(112、80)=16
(112÷16)×(80÷16)=7×5=35
答:
最少可以剪35个正方形。
6、把锯得的所有木料堆起来,适当组合以后,一定可以堆成原来长方体木料的形状,那么木料的长、宽、高都是小木块棱长的倍数;反过来,小木块的棱长就是原来木料长、宽、高的公约数,要求正方体木块棱长最长就是求长、宽、高的最大公约数。
木料锯成小正方体之后体积总和没有改变,所以用木料原来的体积除以小正方体的体积,就可以得到小正方体的块数。
解:
(120、90、60)=10×3=30
120×90×60÷(30×30×30)=24(块)
答:
锯成正方体木块棱长最长是30厘米,一共可以锯为24块。
7、根据题意,张妮的画片数量应是3的倍数,同时又是比3、5、7的最小公倍数少3的数。
3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105,105-3=102(张)
答:
张妮的画片至少有102张。
8、从这一次相逢到下一次再相逢,所需的天数一定能被3、4、5、6整除,所以所需天数是3、4、5、6的公倍数,要求至少需要多少天才会再次相逢,其实就是求3、4、5、6的最小公倍数。
因为一周等于7天,所以用求得的天数除以7所得的余数再加上1(星期一)即可知相逢时是星期几。
解:
234563、4、5、6的最小公倍数是
332532×3×2×5=60(天)
125160÷7=8(个)……4(天)4+1=5
答:
至少要过60天四位小朋友才会在敬老院再次相逢,相逢时是星期五。
9、60和45的最小公倍数是180,则从第一根起每隔180米的一根不移动,这条公路长为
45×﹙25-1﹚=1080﹙米﹚
解:
1080÷180=6(根)
最后一根也不必移动,所以是:
6+1=7(根)
答:
可以有7根不需移动。
9、[4,6]=12(米)(48÷12+1)×2=10(棵)
10、[300,800]=2400(7200÷2400+1)=31(个)
12、50×(55-1)=2700(米)[50,60]=300
2700÷300=9(根)9+1=10(根)
13、解:
[437,323]=7429
7429÷437=17(周)
7429÷323=23(周)
答:
甲轮转17周,乙轮转23周可以第二次接触。
14、[132,48]=528528÷132=4(圈)……大齿轮转的圈数
528÷48=11(圈)……小齿轮转的圈数。
15、[84,30]=420420÷84=5(圈)……大齿轮的圈数
420÷30=14(圈)……小齿轮转的圈数。
16、[28,42,108]=756(个)756÷28=27(圈)……第一个齿轮转的圈数。
756÷42=18(圈)……第二个齿轮转的圈数。
756÷108=7(圈)……第三个齿轮转的圈数。
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