全国高考数学卷安徽文含答案.docx
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全国高考数学卷安徽文含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
参考公式:
第I卷(选择题共55分)
一、选择题:
本大题共11小题,每小题5分,共55分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.椭圆
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
3.等差数列
的前
项和为
,若
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
4.下列函数中,反函数是其自身的函数为( )
A.
,
B.
C.
D.
,
5.若圆
的圆心到直线
的距离为
,则
的值为( )
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
1
2
第7题图
6.设
,
,
均为直线,其中
在平面
内,则“
”是“
且
”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
8.设
,且
,
,
,则
的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
9.如果点
在平面区域
上,点
在曲线
上,那么
的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
10.把边长为
的正方形
沿对角线
折成直二面角,折成直二面角后,在
四点所在的球面上,
与
两点之间的球面距离为( )
A.
C.
B.
D.
11.定义在
上的函数
既是奇函数,又是周期函数,
是它的一个正周期.若将方程
在闭区间
上的根的个数记为
,则
可能为( )
A.0B.1C.3D.5
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安微卷)
数学(文科)
第II卷(非选择题共95分)
注意事项:
请用
毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
12.已知
,则
的值等于.
13.在四面体
中,
,
,
,
为
的中点,
为
的中点,则
(用
表示)
14.在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为.
15.函数
的图象为
,如下结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).
①图象
关于直线
对称;
②图象
关于点
对称;
③函数
在区间
内是增函数;
④由
的图角向右平移
个单位长度可以得到图象
.
三、解答题:
本大题共6小题,共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A
B
C
D
16.(本小题满分10分)
解不等式
.
17.(本小题满分14分)
如图,在六面体
中,四边形
是边长为2的正方形,四边形
是边长为1的正方形,
平面
,
平面
,
.
(Ⅰ)求证:
与
共面,
与
共面.
(Ⅱ)求证:
平面
平面
;
(Ⅲ)求二面角
的大小(用反三角函数值表示)
18.(本小题满分14分)
设
是抛物线
的焦点.
(I)过点
作抛物线
的切线,求切线方程;
(II)设
为抛物线
上异于原点的两点,且满足
,延长
,
分别交抛物线
于点
,求四边形
面积的最小值.
19.(本小题满分13分)
在医学生物试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:
6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.
(I)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率;
(II)求笼内至少剩下5只果蝇的概率.
20.(本小题满分14分)
设函数
,
,
其中
,将
的最小值记为
.
(I)求
的表达式;
(II)讨论
在区间
内的单调性并求极值.
21.(本小题满分14分)
某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为
,以后每年交纳的数目均比上一年增加
,因此,历年所交纳的储备金数目
是一个公差为
的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为
,那么,在第
年末,第一年所交纳的储备金就变为
,第二年所交纳的储备金就变为
,
.以
表示到第
年末所累计的储备金总额.
(Ⅰ)写出
与
的递推关系式;
(Ⅱ)求证:
,其中
是一个等比数列,
是一个等差数列.
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文史)参考答案
一、选择题:
本题考查基本知识的基本运算.每小题5分,满分55分.
1.D2.A3.C4.D5.C6.A
7.B8.B9.A10.C11.D
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
12.
13.
14.
15.①②③
三、解答题
16.本小题主要考查三角函数的基本性质,含绝对值不等式的解法,考查基本运算能力.本小题满分10分.
解:
因为对任意
,
,所以原不等式等价于
.
即
,
,
,故解为
.
所以原不等式的解集为
.
17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分.
解法1(向量法):
A
B
C
D
以
为原点,以
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
如图,
则有
.
(Ⅰ)证明:
.
.
与
平行,
与
平行,
于是
与
共面,
与
共面.
(Ⅱ)证明:
,
,
,
.
与
是平面
内的两条相交直线.
平面
.
又平面
过
.
平面
平面
.
(Ⅲ)解:
.
设
为平面
的法向量,
,
.
于是
,取
,则
,
.
设
为平面
的法向量,
,
.
于是
,取
,则
,
.
A
B
C
D
.
二面角
的大小为
.
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:
平面
,
平面
.
,
,平面
平面
.
于是
,
.
设
分别为
的中点,连结
,
有
.
,
于是
.
由
,得
,
故
,
与
共面.
过点
作
平面
于点
,
则
,连结
,
于是
,
,
.
,
.
,
.
所以点
在
上,故
与
共面.
(Ⅱ)证明:
平面
,
,
又
(正方形的对角线互相垂直),
与
是平面
内的两条相交直线,
平面
.
又平面
过
,
平面
平面
.
(Ⅲ)解:
直线
是直线
在平面
上的射影,
,
根据三垂线定理,有
.
过点
在平面
内作
于
,连结
,
则
平面
,
于是
,
所以,
是二面角
的一个平面角.
根据勾股定理,有
.
,有
,
,
,
.
,
,
二面角
的大小为
.
18.本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线与抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力.本小题满分14分.
解:
(I)设切点
.由
,知抛物线在
点处的切线斜率为
,故所求切线方程为
.
即
.
因为点
在切线上.
所以
,
,
.
所求切线方程为
.
(II)设
,
.
由题意知,直线
的斜率
存在,由对称性,不妨设
.
因直线
过焦点
,所以直线
的方程为
.
点
的坐标满足方程组
得
,
由根与系数的关系知
.
因为
,所以
的斜率为
,从而
的方程为
.
同理可求得
.
.
当
时,等号成立.所以,四边形
面积的最小值为
.
19.本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.
解:
以
表示恰剩下
只果蝇的事件
.
以
表示至少剩下
只果蝇的事件
.
可以有多种不同的计算
的方法.
方法1(组合模式):
当事件
发生时,第
只飞出的蝇子是苍蝇,且在前
只飞出的蝇子中有1只是苍蝇,所以
.
方法2(排列模式):
当事件
发生时,共飞走
只蝇子,其中第
只飞出的蝇子是苍蝇,哪一只?
有两种不同可能.在前
只飞出的蝇子中有
只是果蝇,有
种不同的选择可能,还需考虑这
只蝇子的排列顺序.所以
.
由上式立得
;
.
20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.本小题满分14分.
解:
(I)我们有
.
由于
,
,故当
时,
达到其最小值
,即
.
(II)我们有
.
列表如下:
极大值
极小值
由此可见,
在区间
和
单调增加,在区间
单调减小,极小值为
,极大值为
.
21.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.
解:
(Ⅰ)我们有
.
(Ⅱ)
,对
反复使用上述关系式,得
,①
在①式两端同乘
,得
②
②
①,得
.
即
.
如果记
,
,
则
.
其中
是以
为首项,以
为公比的等比数列;
是以
为首项,
为公差的等差数列.
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