不等式推理证明集体备课.docx
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不等式推理证明集体备课
高三数学
备课资料
不等式、推理证明
一、考纲要求:
见考试说明第51页
二、2008-2012年江苏高考数学不等式、推理证明考查情况:
年
小题
大题
08
4二次不等式、11基本不等式、
10归纳推理
09
11对数不等式、8类比推理
19基本不等式、20含参二次不等式
10
11分段函数解不等式、12不等式性质
19数列不等式、20函数不等式
11
13数列不等式、14线性规划
19不等式推导
12
13函数与不等式、14线性规划
三、考查形式与特点
不等式是中学数学的主干内容之一,它不仅是中学数学的基础知识,而且在中学数学中起着广泛的工具性作用.在近年的高考中,有关不等式的试题都占有不小的比重,试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力等数学素养.
推理与证明是中学数学的重要内容,是高考重点考查的内容之一,近几年从试题直观上可以看到证明的份量加大了,预测2013年高考对本板块的考查:
题型以填空题有可能出现,解答题可能出现证明题,主要考查演绎推理与逻辑证明的能力.
四、知识点
1.一元二次不等式
分
及
情况分别解之,还要注意三种情况,即
或
或
,最好联系二次函数的图象。
2.分式不等式
分式不等式的等价变形:
>0
f(x)·g(x)>0,
≥0
。
3.简单的绝对值不等式
绝对值不等式适用范围较广,向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。
高考试题中,对绝对值不等式从多方面考查。
解绝对值不等式的常用方法:
①讨论法:
讨论绝对值中的式于大于零还是小于零,然后去掉绝对值符号,转化为一般不等式;
②等价变形:
解绝对值不等式常用以下等价变形:
|x| x2 -a |x|>a x2>a2 x>a或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| -g(x) |f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x) 4.线性规划 (1)平面区域 一般地,二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示 某一侧所有点组成的平面区域。 我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。 当我们在坐标系中画不等式 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把直线画成实线。 说明: 由于直线 同侧的所有点的坐标 代入 ,得到实数符号都相同,所以只需在直线某一侧取一个特殊点 ,从 的正负即可判断 表示直线哪一侧的平面区域。 特别地,当 时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 引例: 设 ,式中变量 满足条件 ,求 的最大值和最小值。 由题意,变量 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域。 由图知,原点 不在公共区域内,当 时, ,即点 在直线 : 上,作一组平行于 的直线 : , ,可知: 当 在 的右上方时,直线 上的点 满足 ,即 ,而且,直线 往右平移时, 随之增大。 由图象可知,当直线 经过点 时,对应的 最大, 当直线 经过点 时,对应的 最小,所以, , 。 在上述引例中,不等式组是一组对变量 的约束条件,这组约束条件都是关于 的一次不等式,所以又称为线性约束条件。 是要求最大值或最小值所涉及的变量 的解析式,叫目标函数。 又由于 是 的一次解析式,所以又叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。 满足线性约束条件的解 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。 在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。 其中可行解 和 分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。 5.合情推理与演绎推理 (1)归纳推理: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.显然归纳的个别情况越多,越具有代表性,推广的一般性命题也就越可靠,应用归纳推理可以获得新的结论. 归纳推理的一般步骤 ①通过观察一系列情形发现某些相同的性质. ②从已知的相同的性质中推出一般性命题. (2)类比推理: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.类比推理是由特殊到特殊的推理.类比的结论不一定为真,在一般情况下,如果类比的相似性越多,相似性之间越相关,那么类比得到的结论也就越可靠. 类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论. 注: 归纳推理与类比推理都属于合情推理,两种推理所得的结论未必是正确的(例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了),但它们对于发现新的规律和事实却是十分有用的. (3)演绎推理 (1)从一个一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法叫做演绎推理,它是一种由一般到特殊的推理过程,是一种必然性推理.演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系,因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但是错误的前提可能导致错误的结论. (2)“三段论”推理是演绎推理的一般模式,它包括: ①大前提: 已知的一般性推理. ②小前提: 所研究的特殊情况. ③结论: 根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 也可表示为: 大前提: 是 ,小前提: 是 ,结论: 是 . 用集合的知识可以理解为: 若集合 的所有元素都具有性质 , 是 的子集,那么 中所有元素都具有性质 . 例 指出下面三段论的大前提、小前提和结论. (1)这两个正多边形的边数相同; (2)凡相同边数的正多边形都是相似的; (3)所以这两个正多边形也是相似的. 解析: (1)是“小前提”; (2)是“大前提”;(3)是“结论”. 点评: 三段论的论断基础是这样一个公理: “凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之,“全体概括个体.” (4)合情推理与演绎推理的区别与联系 区别: ①从定义上看: 合情推理: 前提为真,结论可能为真的推理. 演绎推理: 根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理. 从定义上可以看出,合情推理与演绎推理的区别是结论是否为真.合情推理的结论可能为真,但演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,其结论必定为真.故在数学论证中,证明命题的正确性,都是用演绎推理,而合情推理不能用作证明. ②从推理形式上看: 合情推理是由特殊到一般(归纳推理),或由特殊到特殊(类比推理)的认识过程,而演绎推理是由一般到特殊的认识过程. 联系: 二者相辅相成,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理. 6.直接证明与间接证明 1.综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 用 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等, 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为: 综合法的特点: 从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件. 2.分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法. 用 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: 分析法的特点: 从“未知”看“需知”,逐步靠拢已知,其逐步推理,实际上是寻找它的充分条件. 3.反证法 (1)定义: 一般地,假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. (2)用反证法导出的矛盾主要有: ①与假设矛盾; ②与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾; ③与公认的简单事实矛盾. (3)步骤: ①分清命题的条件和结论; ②作出命题结论不成立的假设; ③由假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果; ④否定假设,从而间接的证明了结论. 4.三种证明方法的总结 在解决问题时,经常把综合法和分析法结合起来使用: 根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 ;根据结论的特点去转化条件,得到中间结论 .若由 可以推出 成立,就可以证明结论成立.在证明一个问题时,如果不容易从条件到结论证明时,采取分析的方法或者是间接证明的方法———反证法.有时证明一道题需多法并用. 五、经典例题 在复习的过程中不要就题解题,一定要在解题的过程中提炼出做题时所用的方法和思想,这样才能达到举一反三、触类旁通的效果.在本章的复习中要提炼的主要方法和思想有: 1、分离变量法 我们经常见到有关不等式恒成立的问题,如“f(x,k)>0或f(x,k) 0(其中x∈A)恒成立,求k的取值范围.”这类问题通常可以分离变量为h(k)>g(x)或h(k) g(x),再利用求函数最值的方法解决. 例1(2006江西)若不等式x2+ax+10对一切x 成立,则a的最小值为 解: 因为x ,且x2+ax+10,所以 ,所以 , 又 在 内是单调递减的,所以 , 2、分离常数法 有很多同学认为只有一次分式函数才可以用分离常数法求解,其实不然.形如 的函数很多情况下均可采用分离常数法求解. 例2求函数 的值域. 解: ∵ ,当且仅当x 时等号成立,故值域为 . 评析: 其中将 变形为 就是分离常数法. 3、反客为主法 反客为主法,就是从处于主“地位”的对象入手问题难以解决时,将处于客“地位”的对象转化为处于主“地位”的一种解题方法. 例3对于满足0≤ ≤4的所有实数 ,使不等式 > 成立的 的取值范围是. 解: 设 ,据题意,对于满足0≤ ≤4的所有实数 ,“一次”函数 >0恒成立. 在0≤P≤4上恒正 解得 >3或 <-1. 4、数形结合的思想 例4若不等式|x-4|+|x-3| 解: |x-4|+|x-3|表示的是数轴上坐标为 的点到数轴上坐标分别为4、3的两个点的距离之和,其最小值显然为1,所以|x-4|+|x-3| ,因此要不等式|x-4|+|x-3|1. 5、分类讨论的思想 求解有字母系数的不等式,关键是分类对论.在复习的时候,教师关键是要让学生知道,在该讨论的地方为什么要讨论? 怎样讨论? 讨论题的解法更能说明“数学使人周密(培根)”. 例5解关于x的不等式 . 解: 等价于 . (1)若 ,则 ,不等式变为 ,无解; (2)若 ,则 ,不等式变为 ,无解; (3)若 ,则 ,所以 ; (4)若 或 ,则 ,所以 . 综上所述,当 或 时,原不等式的解集为 ; 当 时,原不等式的解集为 ; 当 或 时,原不等式的解集为 . 6、函数与方程的思想 使不等式 成立的x就是使函数 的值非负的x,而方程 的解正是不等式解的临界点或极限点,
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