评《高中数学》第一册第一章的逻辑概念内容.docx
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评《高中数学》第一册第一章的逻辑概念内容
評《高中數學》第一冊第一章的『邏輯概念』內容
洪萬生
台灣師範大學數學系
一、前言
邏輯相對於數學知識本身來說,是屬於後設層次(meta-level)的一門學問。
我們將它納入高中課程單元,顯然是高中學生有能力作嚴格論證之後,我們還期待他(她)們可以進行『方法論層次』(methodologicallevel)的反思。
這種期待或許也呼應一些來自教育現場的觀察,那就是高中教師發現:
絕大部分學生無法體會譬如『數學歸納法』(mathematicalinduction)與『歸謬法』(reductiontoabsurdity,reductionadabsurdum)等方法論的本質。
因此,在高一上學期安排『邏輯概念』這個單元(內容不外乎是命題、論證或證明)的目的,無非是讓高中學生對於『數學方法論』中涉及證明的反思,有一點起碼的理解,從而有助於她(他)們進行嚴密的論證(argumentation)思考。
不過,由於初升高一的學生對於數學所知相當有限,同時,他(她)們也沒有太多學習如何有效操作證明的經驗,因此,除了極少數的數學精英之外,一般學生大概都很難在學習數學證明時,監控(monitor)自己的論證過程。
如果這樣的推斷不太離譜的話,那麼,高一上學期絕對不是學習邏輯的最佳時機。
我們認為一個學習階段(譬如:
整個高中學程)即將結束,才適合引領學生進行後設反思。
到了高三下,教師如有機會幫助他(她)們統整初等數學知識,那麼,他(她)們的數學素養理應可以更上層樓。
此時,由於他(她)們的學習經驗豐富,擁有很多垂手可得的數學實例,還有,數學素養也比較成熟,『邏輯』單元或許就不再是教師與學生的夢魘了。
其實,純就知識內容而論,此一『邏輯』單元也有值得商榷之處。
筆者撰寫本文,就是指出各種現行高中數學各個版本的可能疏漏與不足,希望將來再版時,它們有機會做適當的修訂,以便給予高中學生更清晰可讀的邏輯單元知識。
為此,本文第二節介紹這些教科書版本。
為了評論它們,筆者先在第三節簡介西方邏輯發展的歷史。
然後,在第四節中說明命題與論證的意義。
在第五節引述各個版本教科書邏輯單元的內容,以作為第六節評論的依據。
二、高中數學教科書一綱多本
本文所稱『高中數學』教材,是指編者根據教育部於民國八十四年十月十九日頒佈的『高級中學數學課程標準』編輯而成的教科書。
在此,筆者將根據下列五套教材提出評論。
它們的出版資料與其各自的『邏輯』單元所佔篇幅,先在本節介紹。
至於『邏輯』內容,則將留到下文第五節再說。
(1)楊維哲、蔡聰明、吳隆盛編著的『三民版』(由三民書局發行)。
本書第1章有三節(各約有10頁),分別是1-1『簡單的邏輯概念』(佔10頁)、1-2『集合的基本概念』(佔12頁)以及1-3『函數的基本概念』(佔8頁)。
這1-1節又細分成為七個小節,依序分別是:
淺談敘述、敘述的真偽、敘述與命題、命題的真偽與證明、命題的轉換、歸謬法,以及命題與條件。
(2)柳賢、左太政、葉永南、黃必群、謝哲仁、毛延宗、黃重嘉編著的『翰林版』(由翰林出版事業公司出版)。
本書第1章分成三節,分別是1-1『簡單的邏輯概念』(佔10頁)、1-2『集合的基本概念』(佔13頁)以及1-3『函數的基本概念』(佔8頁)。
其中第1-1節又細分成下列四個小節呈現:
敘述、命題、充分與必要條件、以及反證法。
(3)李虎雄、陳昭地、黃登源、李政貴、林礽堂、儲啟政編著的『康熙版』(由康熙圖書公司經銷)。
類似『三民版』,本書第1章也有三節,分別是1-1『簡單的邏輯概念』(佔12頁)、1-2『集合的基本概念』(佔9頁)以及1-3『函數的基本概念』(佔6頁)。
第1-1節又細分成下列兩小節『命題』與『證明』呈現。
至於其學習目標,則是「認識基本的邏輯用詞,如充分條件、必要條件;瞭解證明的意義及反證法的證明模式。
」
(4)余文卿、翁錫五、李善文、丁村成編著,李白飛、康明昌審訂的『龍騰版』(由龍騰文化公司編印)。
本書第1章分成四節,分別是1-1『邏輯的基本概念』(佔11頁)、1-2『集合』(佔16頁)、1-3『集合的運算』(佔7頁)以及1-4『函數』(佔10頁)。
第1-1節又分成四小節:
充分條件與必要條件、必要條件、或與且、歸謬證法與反證法。
(5)林福來、李恭晴、徐正梅、陳冒海、陳順宇編著的『南一版』(由南一書局出版發行)。
本書第1章有三節,與前幾套版本不同之處,在於它將集合、邏輯單元對調,因此,其順序為1-1『集合的基本概念』(佔14頁),1-2『簡單的邏輯概念』(佔10頁),1-3『函數的基本概念』(佔16頁)。
至於第1-2節則再細分成『若…,則…』、『且與或的用法』、『充分條件與必要條件』以及『反證法』等四小節。
其實,上述這些版本在邏輯概念這一節的內容大同小異,我們將在下文第五節各自引述一些材料,以便作為評論的依據。
不過,我們必須在此先指出:
只有『龍騰版』澄清了『歸謬法』與『反證法』之關係。
無論這兩者的名稱與指涉為何,我們呼籲各版教科書再版時,務必統一才好。
三、三段論法、命題邏輯與與關係邏輯
本節一開始,我們將根據數學史家MorrisKline的說明,說明西方邏輯的演進,以便用以評論高中數學課程的邏輯單元之參考依據。
其次,我們再針對命題與論證的意義,提供一些與這一單元相關的內容說明。
在希臘數學史上,亞里斯多德被認為是系統化研究邏輯的鼻祖。
一般人很容易對他的三段論法琅琅上口,而忽略了他的邏輯與今日的不同。
簡單地說,他的邏輯主要處理與“tobe”動詞連結的關係(relation)。
譬如說吧,他的典型三段論法(syllogism)例子如下:
大前提:
凡人都會死(Allmenaremortal);
小前提:
蘇格拉底是人(Socratesisaman);
結論:
蘇格拉底會死(Socratesismortal)。
此外,他當然也討論了諸如『矛盾律』(thelawofcontradiction)與『排中律』(thelawof
excludedmiddle)等邏輯推論的基本原理。
這種三段論法中所涉及的大、小前提與結論
等語句(sentence)都是命題(proposition),所以,亞氏邏輯也被歸屬為『命題邏輯』
(propositionallogic)中的一種。
這種命題邏輯是英國數學家布爾(GeorgeBoole,1815-1864)所引進。
其實,他也
將代數符號運算引進邏輯推論,為邏輯的形式化奠定了基礎。
譬如說,他以x代表狗
所成的類(class),以1代表所有的物體,則1-x代表非狗的物體。
如此一來,下列方程
式『x+(1-x)=1』,就可以解讀成為『每一個物體不是狗就是非狗』了。
同時,將此一符
號『翻譯』引入命題之中,如果令p代表『約翰是男子』為真,那麼,-p或1-p就代
表『約翰是男子』為偽。
於是,『命題演算』(propositionalcalculus)當然就可行了。
另一方面,針對亞氏邏輯,英國數學家狄摩根(AugustusDeMorgan,1806-1871)也指出:
如何從『馬是一種動物』(Ahorseisananimal)推論出『馬頭是一種動物的頭』(Ahorse’sheadisananimal’shead),三段論法是無能為力的。
其實,在這個例子中,我們還需要一個前提,那就是:
『凡動物都有頭』。
事實上,如利用布爾的符號法則,社設x代表馬所成的集合,y代表有頭的動物之集合,並且令xy代表同時在前述兩集合中的物體之集合(亦即前述兩集合之交集),則因為xy是y的一部份,所以,可以推論出:
馬頭是一種動物的頭。
顯然,為了做這種推論,我們需要『一般關係的邏輯』(logicofgeneralrelations)。
上述那些純粹建立在“tobe”動詞的關係上之命題推論是不夠的。
譬如下列推論當然無效:
約翰是兄或弟(Johnisabrother,亦即有兄弟);
彼得是兄或弟(Peterisabrother);
故:
約翰與彼得彼此是兄弟(HenceJohnandPeterarebrothers(eachother))。
又如下列推論:
蘋果是酸的(Anappleissour);
酸是一種味道(Sourisataste);
故:
蘋果是一種味道(Henceanappleisataste)。
當然也很荒謬。
上述這兩種無效推論,乃是對於『述詞』(或『謂詞』)(predicate)所指定的關係之誤用。
事實上,在上述這些命題中,述詞所說的的不外乎是:
『主詞是述詞所指定的集合內的一個元素』(thesubjectisincludedinaclassspecifiedbythepredicate)。
這種『主詞』-“tobe”動詞-『述詞』的關係,當然無法涵蓋下列命題:
『2小於3(2islessthan3)』;或『Q點介於P與R之間』(PointQisbetweenPandR)。
另一方面,正如朱水林所指出:
『命題邏輯把簡單命題作為整體考察,不把它們再分析為詞項。
這樣,有的推理形式不能在命題邏輯中加以表述反映,顯示了極大的侷限性。
』他的『三段論法』例子是:
所有的科學定律是不以人們意志為轉移的,
邏輯學的規律是科學定律,
所以,邏輯學的規律是科學定律。
可是,如果我們利用命題邏輯做工作來處理這個三段論推理,則無法證明它是一個套套邏輯(tautology),這是因為上述的推論形式可以改寫成:
『(p且q)
r』(其中p,q與r分別代表上述三個命題)。
面對這種不足,美國哲學家裴士(CharlesSandersPeirce,1841-1902)率先指出『關係邏輯』(logicofrelations)的重要性。
他特別強調『命題函數』(propositionalfunction)的重要性,將函數的變元(variable)概念引進命題之中,因此,「約翰是男人」(Johnisaman)是一個命題,至於「x是男人」(xisaman)則是一個命題函數,其中x是一個變元。
有了變元,皮爾斯進一步引進『量詞』(quantifier)的概念,以便消解如下兩句的含混:
一位美國人領導了獨立戰爭(AnAmericanledtheWarofIndependence)。
一位美國人信仰民主(AnAmericanbelievesindemocracy)。
顯然,前一句中的『一位』美國人專指喬治華盛頓,後一句的『一位』則指『每一位』(every)。
也就是說,前一句的『一位』是指『存在有一位』(thereexistsanAmerica),而後一句的『一位』則是指『所有的』(forall)。
事實上,這也是我們現在所熟悉的『存在有一個…』、『對於所有的…』等句子的來源。
十九世紀邏輯理論的發展,由德國數學家弗列格(GottlobFrege,1848-1925)做了集大成的工作。
他接收了命題邏輯、涉及關係的命題、命題函數以及量詞的理念,然後,據以完成他自己的很多貢獻。
他區別了一個命題的單純敘述句(merestatementofaproposition)及其為真的斷言(assertionthatistrue)。
還有,他也分辨了一個物體譬如x及其所成的集合{x},以及集合之間的包含關係。
此外,他也將『實質蘊涵』(materialimplication)形式化,亦即他在語句『蘊涵』之外,還允許“
”中的p與q是任意可能的命題,其中它們可以完全沒有因果關係、或任何其他的關係。
在這種情況下,我們固然可以保持下列有效推論:
如果p為真,而且
,則q亦為真。
然而,卻也可以允許:
如果p為假時,則蘊涵式
恆為真。
只有在q為假時,蘊涵式
才為假。
以上主要由這些數學家或哲學家所完成的邏輯系統,包含了命題函數、像『x愛y』或『A介於B與C之間』這樣的關係式,以及量詞等,現在被稱之為『一階的述詞(或謂詞)演算』(thefirstorderpredicatecalculus)或『一階邏輯』(firstorderlogic)。
總之,誠如朱水林教授所刻劃,這種邏輯的內容如下:
「對簡單命題加以分析,分別其主詞和謂詞(按即述詞),考慮量詞的全稱和存在,區分一般與個別,總結出它們的形式結構,然後研究這些形式邏輯的邏輯性質,以及形式結構間的邏輯關係,從而導出相應的邏輯規律,這就構成謂詞邏輯(按即述詞邏輯)的研究內容。
謂詞邏輯中的命題形式,推理形式和量詞的特徵密切相聯,因此,它又稱為量詞邏輯。
」
這樣的邏輯體系對於數學知識而言,已經綽綽有餘了。
緊接著,我們將針對命題與論證提供一些必要的說明。
四、命題與論證
所謂『命題』(proposition),在邏輯上亦稱作『敘述句』(statement),它是一種敘述事態的『語句』(sentence)。
敘述句所陳述的內容如與事實相符,則該敘述句為真(true);否則即為假(false)。
這一個有關『真理』的概念,可以逆推回到古希臘哲學家亞裡斯多德。
根據他的觀點,如果一個命題所斷言的敘述符合事實,則此一命題為真(Apropositionistrueifthestatementassertedbyitcorrespondstoafact)。
譬如說吧,「如果雪是白色的,那麼,『雪是白色的』(這個敘述句)為真」(“Snowiswhite”istrueifsnowiswhite),應該足以說明所謂的『真假』是怎麼一回事。
然則這種涉及真假的『命題』或『敘述句』何以關聯到邏輯論證呢?
根據林正弘教授的看法,由於「任何事實都可用語句來敘述,因此我們要別人相信某一件事實,亦即要他相信敘述該事實的語句是真的(true)。
例如:
我們要朋友相信明天會下雨,亦即要他相信『明天會下雨』這句話是真的。
如果他不相信這句話為真,我們必須提出證據或理由,而證據或理由也可以用語句來敘述。
」換句話說,為了要說服別人某命題甲為真,我們通常會尋找另一個對方相信為真的命題乙當作證據或前提,然後用來支持或導出此一甲命題。
至於如何以及為何支持或導出,那就涉及說話技術(『修辭』)或推論形式了。
一般人評論某人說話不合邏輯時,通常是我們不能接受他(她)的結論為真。
不幸地是,某人所提出來的前提與結論都是真的,但是推論無效,卻很少被人批評,除非他(她)是處在數學的教學活動之中。
在數學上,所謂的『命題』或『敘述句』,是指像下列的『幾何事實』:
一個三角形的內角和(是)等於兩個直角的和(Thesumoftheanglesofatriangleis
equaltothesumoftworightangles)。
或是像下列的『算術事實』:
2(是)小於3(2islessthan3)。
上述這兩個語句的『是』(“tobe”動詞)在中文中經常被省略,因此,它們共通的文法
結構─主詞加上述詞―看來很容易被忽略。
當我們針對第一個命題的事實進行驗證
時,可以將一個紙上三角形的三個角剪下來,然後拼成一個平角(等於兩個直角的和)。
如此一來,『眼見為真!
』然而,如果我們不滿意這種『實驗幾何』的方法,那麼,利
用『論證』來進行說服自己與別人,就變得不可或缺了。
在數學上,『論證』通常意指『證明』,在此脈絡中,我們通常會被要求以有效的論證(validargument),從『前提』演繹出『結論』來,譬如:
「試證若一個三角形之兩邊相等,則它們的對角也相等」。
或者為某一命題(『結論』)尋找理由(『前提』)、並說明此一理由可以支持此一命題,譬如:
上述的「一個三角形的內角和(是)等於兩個直角的和」或「
為無理數」。
因此,一個成功的證明通常是運用了有效的論證,從一個或數個的真的命題(前提),一歩一歩地導出待證為真的命題(結論)。
總之,證明一個命題(譬如1994年才證明完成的『費瑪最後定理』)為真,是數學學習的任務之一。
至於邏輯學習的目的,正如上文第三節所述,只是要掌握用以判斷論證有效或無效的方法。
當我們在進行數學證明時,我們當然必須運用有效的論證(或推論形式)。
然而,一個結論如何從某(些)個前提成功地導出,或是某兩個真命題如何做邏輯連結,則主要必須訴諸數學能力而非邏輯思維。
儘管如此,在數學的教學與學習時,我們還是應該好好地對『數學vs.邏輯』作一點澄清。
在上述的例子中,「一個三角形之兩邊相等」、「一個三角形之兩角相等」以及「
為無理數」都是命題。
要決定它們的真假,方法不見得一樣。
嚴格說來,由於數學知識的特殊性,所以,前兩個命題能否訴諸經驗手段,亦即運用量尺或量角器,恐怕見仁見智,也因此,它們不被認為是幾何問題或數學問題。
這可以解釋這兩個命題何以在幾何學中,經常被連結成為「若一個三角形之兩邊相等,則它們的對角也相等」這樣的『條件句』(conditional),或上一節所謂的『實質蘊涵』。
如此,基於前一個命題為真的條件,那麼,我們可以證明後一個命題為真。
這種命題與上引的「一個三角形的內角和(是)等於兩個直角的和」是不一樣的,後者在歐氏幾何學的脈絡中,是一個可以由『平行設準』導出來的真命題,亦即:
它是一個歐氏幾何學的事實。
類似地,「
為無理數」這個命題所以為真,乃是它對『
』與『無理數』這兩個數學概念之間,做了一個(邏輯)連結。
如何提供(數學)證明呢,當然是為這個連結尋找一個『有效的』論證。
如何確定論證『有效』呢?
這就是邏輯問題了。
無論如何,數學證明都是在命題或概念之間建立一種邏輯的連結關係,這種關係一
旦建立,就表示我們已經證明了一個命題為真。
如此說來,「若一個三角形之兩邊相等,則它們的對角也相等」這種條件句當然也是一種命題了。
說得比較精確一點,它是將兩個『單句』(atomicstatement)利用『若…,則…』連起來的『複句』(compoundstatement)。
顯然,這裡利用了『若…,則…』這種『語句連詞』(sententialconnective),它所連起來的句子,也就是前述的『條件句』。
由於條件句斷定一事物情況是另一事物情況條件的判斷,因此,一個條件句的真假,只取決於該判斷的前件和後件的的條件關係,是否確實地反映了事物情況之間的條件關係,並不要求前件(antecedent)、後件(consequent)本身都真。
譬如說吧:
1.假如語言能夠生產物質資料,那麼,誇大其談的人就成為世界上最富有的人了。
2.假如鬍子長就是學識淵博,那麼,山羊也能講課了。
「儘管這兩個假言判斷(或條件句)的前件、後件都是假的,但是,由於前件確實可以看作是後件的存在條件,所以這兩個假言判斷可以看成是真的。
」如此看來,上述「若一個三角形之兩邊相等,則它們的對角也相等」這種條件句,當然也是一個真命題或真判斷了,這是因為經由我們的幾何證明,前件『一個三角形之兩邊相等』顯然是後件『它們的對角也相等』的存在條件。
這一個存在條件,說得精確一點,就是前件是後件的一個『充分條件』(sufficientcondition)。
事實上,在這種情況下,後件也稱作前件的『必要條件』(necessarycondition)。
當然,如有雙條件句,則它的前件與後件就互為『充要條件』(necessaryandsufficientcondition)了。
其他的語句連詞還有連言『且』(and)、選言『或』(or)與『否定』(negation)。
利用這些連詞,我們也可以從單句形式的命題連出複句形式的命題。
至於複句(命題)的真假,當然與單句(命題)的真假息息相關,同時,它也被語句連詞所決定。
這應該是『真值表』值得引進教材的主要理由之一了。
然而,誠如林正弘所指出:
「真值表只有在論證的前提與結論都已列出之後,才能用來判斷這個論證是有效或無效;當論證尚未構成之前,真值表並不能告訴我們如何從前提導出結論。
」譬如「
為無理數」的證明中,所謂的『前提』是甚麼就非常隱晦,以是『真值表』很難說明『歸謬法』的邏輯等價方法,這是我們在引進『歸謬法』時必須特別注意的一個面向。
因此,我們還是需要一些『推論規則』,依據它們,我們從前提一歩一歩地導出結論來。
這些是邏輯學的專門內容,由於數學推論不需要那麼複雜的邏輯知識,因此此處就不多說了。
有興趣的讀者,何妨參看任何一本邏輯專書。
五、高中數學教科書的『邏輯概念』內容
現在,針對命題與證明的相關概念,請容許我們引述高中數學教材各版本中的相關
論述。
依序是『三民版』、『翰林版』、『康熙版』、『龍騰版』、『南一版』。
(一)『三民版』
1-1.1『淺談敘述』:
在國中的數學課理,我們經常使用到各種『語句』,有的用來描述某一或某些是物的狀態或性質,如「
都是實數」、「
不是3的倍數」……就說話的當時狀況來說,這些語句可能是合乎事實的,我們說它是『真』的;反之,這些語句可能是不合乎事實的,我們說它是『偽』的。
……『真』與『偽』二者必有其一且僅有其一,像這種意含真偽性的語句,我們把它稱為一個『敘述』,這些敘述本身都是一個直述句。
在國中數學裡,經常會見到像這樣具有「若A則B」的格式的句子,其中A與B都是一個敘述。
這樣的語句我們把它叫做一個命題,其中的A稱為這個命題的假設,也可稱為這個命題的前提,其中的B稱為這個命題的結論,也可稱為這個命題的終結。
1-1.4『命題的真偽與證明』:
就命題『若A則B』而言,當假設A成立時,會導致結論B也成立的話,我們就說這個命題為真。
當假設A成立時,結論B也許成立也許不成立或者根本不成立,我們就說這個命題不真。
1-1.6『歸謬法』:
假定結論不真,推演出不合於假設的結果,為使命題的假設為真,其結論不得不真。
這是一種反證法,叫做歸謬法。
數學上,有某些命題並不容直接證明,而需借助反證法。
在用反證法時,因為要先假定結論不成立,而結論不成立的情況如果不只一種時,就要逐一列舉,所以把這種證法叫做窮舉法。
上述引文中的第一段介紹語句的真偽與敘述,解說淺顯易懂,值得肯定。
只是何以引進『直述句』一詞,實在無從理解。
在第二段中,『具有「若A則B」的格式的句子』之說訴諸常識並無不可,只是忽略了它與英文中的條件句之連結,而無法協助學生更好地理解邏輯蘊涵,實在非常可惜。
此外,假設(前提)與結論(終結)的說法,也可能對學生在了解充要條件時產生困擾。
此外,如果敘述與命題兩者之指涉應該相同,那麼,『一個敘述成立』與『一個命題為真』有何不同?
再有,本書所謂的『反證法』,不只包括『歸謬法』,也包括了『窮舉法』。
(二)『翰林版』
『敘述』:
在國中我們曾學習『三角形任意兩邊長的和大於第三邊長』、……『x等於多少』等,在數學上這些語句稱為『數學語句』。
能明確判斷真偽的數學語句稱為敘述。
一個敘述如果是對的,稱之為『真敘述』,如果是錯的,稱為「假敘述」。
『命題』:
以『若…,則…』形式表示的敘述稱為命題。
『若』後面的數學語句稱為命題的前提,『則』後面的數學語句稱為命題的結論。
『反證法』:
反證法是一種很重要的數學證明方法,一個數學問題使用『直接證明法』不容易證明時,這時可嘗試用反證法來證出。
反證法是一種間接證明法,又稱為『歸謬法』,它不是用直接的方法來證明命題結論的成立,而是先『假設命題結論不成立』,經由這個假設出發,並利用嚴密的邏輯推理,而導出與命題條件或已知定理矛盾的現象。
如此可推斷當初『假設命題結論不成立』是不正確的,故得證原命題的結論是正確的。
在上引文的第一段話中,『數學語句』一詞有一點過度限定。
第三段應該承第二
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