概率论与数理统计习题集及答案.docx
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概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章概率论的基本概念
§1.1随机试验及随机事件
1.
(1)一枚硬币连丢3次,观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是:
S=
(2)—枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数.样本空间是:
S=;
2.
(1)丢一颗骰子.A:
出现奇数点,贝UA=;B:
数点大于2,则B=
(2)一枚硬币连丢2次,A:
第一次出现正面,则A=;
B:
两次出现同一面,则=;C:
至少有一次出现正面,则C=
§1.2随机事件的运算
1•设A、BC为三事件,用ABC的运算关系表示下列各事件:
(1)A、B、C都不发生表示为:
.
(2)A与B都发生,而C不发生表示为:
(3)A与B都不发生,而C发生表示为:
.(4)A、BC中最多二个发生表示为:
(5)A、B、C中至少二个发生表示为:
.(6)A、BC中不多于一个发生表示为:
2.设S
{x:
0x5},A{x:
1
x3},B{x:
2
4}:
则
(1)
A
B,
(2)
AB
(3)Ab
(4)
A
B=,
(5)
AB=
。
§1
.3
概率的定义和性质
1.已知P(AB)0.8,P(A)0.5,P(B)0.6,则
(1)P(AB),
(2)(P(AB))=,(3)P(AB)=.
2.已知P(A)0.7,P(AB)0.3,则P(AB)=.
§1.4古典概型
1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:
(1)正好有2个女同学的概率
(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.
2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1.5条件概率与乘法公式
1•丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是
2.已知P(A)1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)1/2,则P(AB)。
§1.6全概率公式
1.有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中’的概率相同。
2.第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。
§1.7贝叶斯公式
1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求
(1)该厂产品能出厂的概率,
(2)任取一出厂产品,求未经调试的概率。
2.将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,
B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3:
2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?
§1.8
随机事件的独立性
1.电路如图,其中A,B,C,D为开关。
设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。
AB
/
L1
Cd
R
CD
/
3.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立,求下列概率:
(1)恰好命中一次,
(2)至少命中一次。
第1章作业答案
§1.11:
(1)S{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};
(2)S{0,1,2,3}
2:
(1)A{1,3,5}B{3,4,5,6};
(2)A{正正,正反},B{正正,反反},C{正正,正反,反正}。
§1.21:
(1)ABC;
(2)ABC;(3)ABC;(4)ABC;(5)ABACBC;
(6)AB
AC
BC
或ABCABCABCABC;
2:
(1)AB
{x:
1
x4}
;⑵AB
{x:
2x3};(3)AB{x:
3x4};
(4)A
B{x:
:
0x
1或2
x5};(5)AB{x:
1x4}。
§1.31:
(1)P(AB)=0.3,
(2)P(AB)=0.2,(3)P(AB)=0.7.2:
P(AB))=0.4.
1.4
28101019
1:
(1)C8C22/C30,
(2)((C22C8C22
c;c;2)/c30,(3)1-(c22c8c;2)/c30.
2:
P43/43.
§1.51:
.2/6;2:
1/4。
§1.61:
设A表示第一人“中”,则P(A)=2/10
设B表示第二人“中”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
=_21_82_2
10910910
两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。
2:
随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:
p=0.5X0.4+0.5X0.5=0.45
§1.71:
(1)94%
(2)70/94;2:
0.993;
§1.8.1:
用A,B,C,D表示开关闭合,于是T=ABUCD,
从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性
P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)
=P(A)P(B)+P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)
22424
PPP2pp
2:
(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38;
(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第2章随机变量及其分布
§2.1随机变量的概念,离散型随机变量
1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球
中的最大号码.,试写出X的分布律.
2某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,—次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为
止,用X表示射击的次数,试写出X的分布律。
§2.201分布和泊松分布
1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;
(2)每分钟只少有1次呼叫的概率;
⑶每分钟最多有1次呼叫的概率;
2设随机变量X有分布律:
X23,Y〜n(X),试求:
p0.40.6
(1)P(X=2,Y<2);
(2)P(YW2);(3)已知Y<2,求X=2的概率。
§2.3贝努里分布
1一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算
机是否被使用相互独立,问在同一时刻
(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少?
(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少?
(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少?
(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少?
2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率
不小于0.9?
§2.4随机变量的分布函数
0
x
1
1设随机变量X的分布函数是:
F(x)=
0.5
1
x1
1
x1
(1求P(X<0);P0X
1;P(X>1),
(2)写出X的分布律。
Ax°
x0
2设随机变量X的分布函数是:
F(x)=
1x,求
(1)常数A,⑵P1
0x0
§2.5连续型随机变量
(3)用二种方法计算P(-0.5 0x1 2设连续型随机变量x0勺分布函数为: F(x)=inx1xe ⑵并用二种方法计算P(X>0.5). 1xe (1)求X的密度函数f(x),画出f(x)的图形, §2.6均匀分布和指数分布 4x2+4Kx+K+2=0 1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程 有实根的概率。 2假设打一次电话所用时间(单位: 分)X服从0.2的指数分布,如某人正好在你前面 走进电话亭,试求你等待: (1)超过10分钟的概率; (2)10分钟到20分钟的概率。 §2.7正态分布 1随机变量X〜N(3,4),⑴求P(2 (2)确定c,使得P(X>c)=P(X 2某产品的质量指标X服从正态分布,卩=160,若要求P(120 §2.8随机变量函数的分布 1设随机变量X的分布律为; X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3 Y=2X-1,求随机变量X的分布律。 YX2;求随机变量Y的密度函数。 3. 2lnX,求随机变量Y的密度函数。 设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布,丫 第2章作业答案 §2.11: X|345 p0.10.30.6 2: X12345 p0.40.6为.40.6为.6J0.40.6&6为.6E.40.6为.6J0.6E.6X §2.21: (1)P(X=1)=P(X>1)-P(X>2)=0.981684-0.908422=0.073262, (2)P(X>1)=0.981684, (3)P(X<1)=1-P(X>2)=1-0.908422=0.091578 P(X=2,YW2)=P(X=2)P(YW2|X=2)=0.4(e^2e22e2)=2e2 由全概率公式: P(Y<2)=P(X=2)P(YW2|X=2)+P(X=3)P(Y<2|X=3) 2173 =0.4+0.61e=0.27067+0.25391=0.52458 2 由贝叶斯公式: P(X=2|YW2)=旦冬空引0.270670.516 P(Y2) 2: (1) f(x) 1/x1 0其 xe 他 (2)P(X 2) 1In2 §2.61 3/5 2 : (1)e2 (2)e2e4 §2.71: (1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5; (2)c=3 2: dW31.25。 §2.81: Y -1 1 3 P 0.3 0.4 0.3 2: fY(y) 1 (1 0y1 3: fY(y) 1y/2 _e 2 0 其他 0 第3章多维随机变量 §3.1二维离散型随机变量 1.设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到的红球个数,用Y表示取到的白球个数,写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。 2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: x\y 0 1 2 试根据卜列条件分别求a和b的值; 0 0.1 0.2 a (1)P(X1)0.6; 1 0.1 b 0.2 ⑵P(X1|Y2)0.5;(3)设F(x)是Y的分布函数,F(1.5)0.5。 §3.2二维连续型随机变量 求 (1)常数k; (2)P(X+Y<1);(3)P(X<1/2)o §3.3边缘密度函数 f(x,y) xc f(x,y) e0yx 0其他 §3.4随机变量的独立性 1.(X,Y)的联合分布律如下, 试根据下列条件分别求a和b的值; ⑴P(Y1)1/3; 1/9 ⑵P(X1|Y2)0.5;(3)已知X与Y相互独立。 2.(X,Y)的联合密度函数如下,求常数 c,并讨论X与丫是否相互独立? f(x,y) 2 cxy0x1,0y1 0其他 第3章作业答案 §3.11: X\Y 1 2 1 0.4 0.3 0.7 2 0.3 0. 0.3 0.7 0.3 1 §3.2 2: (1)a=0.1b=0.3 (2)a=0.2b=0.2 (3)a=0.3b=0.1 §3.4 1: (1)k= : 1; 2: (1)k= : 8; 1: fx (x) §3.3 J(y) 2: fx(x) 1: 2: §4.1 1.盒中有 (A)1; (2)P(X<1/2,Y<1/2)=1/8 (2)P(X+Y<1)=1/6;(3)P(X<1/2)=1/16。 (3)P(X+Y<1)=1/3 21厂dy 2(1x2)(1y2) (1x (4)P(X<1/2)=3/8。 2(1 )(1 -^dx y)(1 y2) x xe J(y) (1)a=1/6c=6, b=7/18; X与Y相互独立。 ⑵a=4/9b=1/9; 随机变量的数字特征 数学期望 5个球,其中2个红球,随机地取3个,用 1.5; (B)1.2; (C) (3) a=1/3,b=2/9。 X表示取到的红球的个数,则EX是: (D)2. 3x2 2.设X有密度函数: f(x)8 求E(X),E(2X1),E(匕),并求X X 大于数学期望E(X)的概率。 3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: 已知E(XY)0.65, 则a和b的值是: (A)a=0.1,b=0.3;(B)a=0.3,b=0.1; X\y 0 1 2 0 0.1 0.2 a 1 0.1 b 0.2 (C)a=0.2,b=0.2; (D)a=0.15,b=0.25。 4•设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下: EX,EY,E(XY 1)。 f(x,y) xy 0 1,0 §4.2数学期望的性质 相互独立。 §4.3方差 §4.4常见的几种随机变量的期望与方差 1设X〜 (2),丫〜B(3,0.6),相互独立,则E(X2Y),D(X2Y)的值分别是: (A)-1.6和4.88;(B)-1和4;(C)1.6和4.88;(D1.6和-4.88. (A)0和8; (B)1和7;(C)2和6;(D)3和5. §4.6独立性与不相关性矩 1.下列结论不正确的是() (A)X与丫相互独立,则X与丫不相关; (B)X与Y相关,则X与Y不相互独立; (C)E(XY)E(X)E(Y),则X与Y相互独立; (D)f(x,y)fx(x”Y(y),则X与丫不相关; 2.若COV(X,Y)0,则不正确的是() (D)既不必要,也不充分。 X与丫不相关,但不独立。 D(X)D(Y); (C)D(XY)D(X)D(Y);(D)D(XY) X、Y -1 0 1. - -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 3.(X,Y)有联合分布律如下,试分析 X与Y的相关性和独立性。 4.E(XY)E(X)E(Y)是X与丫不相关的() (A)必要条件;(B)充分条件: (C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 5.E(XY)E(X)E(Y)是X与丫相互独立的() (A)必要条件;(B)充分条件: (C)充要条件; 6.设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下: 试验证 第4章作业答案 §4.11: B;2: 3/2,2,3/4,37/64;3: D;4: 2/3,4/3,17/9; §4.21: D; §4.31: 7/2,35/12;2: 11/36; §4.41: A2: B; §4.51: 0.2,0.355;2: -1/144,—1/11; §4.61: C;2: C;3: X与Y不相关,但X与Y不相互独立;4: C;5: A; 第5章极限定理 *§5.1大数定理§5.2中心极限定理 1.一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用,其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元 件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。 2.某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。 第5章作业答案 §5.22: 0.1788;3: 0.889,0.841; 第6章数理统计基础 §6.1数理统计中的几个概念 1.有n=10的样本;1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4,则样本 均值X=,样本均方差S,样本方差S2。 2•设总体方差为b2有样本X1,X2,,Xn,样本均值为X,则Cov(X-X)。 §6.2数理统计中常用的三个分布 1.查有关的附表,下列分位点的值: Z°.9=,為(5)=,t0.9(10)= 2•设X1,X2,,Xn是总体2(m)的样本,求E(X),D(X)。 §6.3一个正态总体的三个统计量的分布 22 1•设总体X~N(,),样本X1,X2,,Xn,样本均值X,样本方差S,贝y xX §6.3 1.N(0,1),t(n1),2(n 1), 2(n); 第6章作业答案 第7章参数估计 §7.1矩估计法和顺序统计量 鼠法 1.设总体X的密度函数为: f(x) ■,x 一10x 1 ”r, 有样本X1,X2,,Xn,求未 0 其 丿、 他 知参数的矩估计。 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X ~() ,为估计 的值, 在实地随机地调查了20次, 每次1分钟,结果如下: 次数: 2 34 5 6 量数: 9 53 7 4 试求的一阶矩估计和二阶矩估计。 §7.2极大似然估计 1.设总体X的密度函数为: f(x) (、 1)x0 x 1 ,有样本X1,X2,,Xn,求 0 其 丿、 他 未知参数的极大似然估计。 §7.3估计量的评价标准 1.设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布,有样本X1,X2,,Xn,证明召2X1是a的无偏估计。 2 2.设总体X〜(),有样本X1,X2,,Xn,证明aX(1a)S是参数的无偏估计 (0a1)。 §7.4参数的区间估计 1.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量,某厂化纤纤度X~N(,2),抽取9根纤维,测 量其纤度为: 1.36,1.49,1.43,1.41,1.27,1.40,1.32,1.42,1.47,试求的置信度为0.95的置信区间, (1)若20.0482, (2)若2未知 2.2.为分析某自动设备加工的另件的精度,抽查16个另件,测量其长度,得x12.075mm,s=0.0494mm,设另件长度X~N(,2),取置信度为0.95, (1)求2的置信区间, (2)求的置信区间。 第7章作业答案 X2 §7.11: ()2;2: 5,4.97; 1X §7.211)2; InXi i1 §7.3 §7.41: (1.377,1.439),(1.346,1.454);2: (0.0013,0.0058);(0.036,0.076) 第8章假设检验 §8.1假设检验的基本概念 1.某种电子元件的阻值(欧姆)X〜N(1000,400),随机抽取25个元件,测得平均电 阻值X992,试在0.1下检验电阻值的期望是否符合要求? 2.在上题中若2未知,而25个元件的均方差S25,则需如何检验,结论是什么? §8.2假设检验的说明 1.设第一道工序后,半成品的某一质量指标X~N(,64),品质管理部规定在进入下一工 序前必需对该质量指标作假设检验H0: 0,H1: 0;n16,当X与0的绝 对偏差不超过3.29时,许进入下一工序,试推算该检验的显著性水平。 §8.3一个正态总体下参数的假设检验 1.成年男子肺活量为3750毫升的正态分布,选取20名成年男子参加某项体育锻练一 定时期后,测定他们的肺活量,得平均值为x3808毫升,设方差为21202,试检 验肺活量均值的提高是否显著(取0.02)? 第8章作业答案 §8.1 1: 拒绝H0: 1000-2: ? J• 接受H。 : 1000; §8.2 1: 0.1; §8.3 1: 拒绝H0;
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