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北京高考数学及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试
B.-C.-D.—
12
结束后,将本试卷和答题卡一并交回•
第部分(选择题共40分)
5
一、选择题共8小题,每小题成,共40分.
1.已知集合Axx2,B2,0,1,2,则AB
1,0,1,2
A0,1B.1,0,C.2,0,1,2
11
复数・
2.在复平面内,
।的共宛复数对应的点位于(
1i
4•“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献-十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率
为()
>432fB.322fC.1225fD.1227f
5.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为
、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.设an是等差数列,a2a536,贝Uan的通项公式为
10.在极坐标系中,直线cossinaa0与圆2cos相切,则a
11.设函数fxcosx—。
,若,%,7对任意的实数x都成立,则的最小值为
6
四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的
离心率为
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程
1
13.(本小题13分)在ABC中,a7,b8,cosB
7
(I)求A;
(n)求AC边上的高.
16.(本小题14分)
如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CC,平面ABC,D,E,F,G分别为AA,,AC,AG,BB.
的中点,ABBC、5,ACAA2.
(I)求证:
AC平面BEF;
(n)求二面角BCDC1的余弦值;
(川)证明:
直线FG与平面BCD相交.
17.(本小题12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指:
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
门”表示第k类电影得
(n)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(川)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“到人们喜欢,“kO”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Di,D2
D3,D4,D5,D6的大小关系.
18.(本小题13分)设函数fxax24a1x4a3ex.
(i)若曲线yfx在点1,f1处的切线与x轴平行,求a;
(n)若fx在x2处取得极小值,求a的取值范围.
2
19.(本小题14分)已知抛物线C:
y2px经过点P1,2.过点Q0,1的直线I与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(i)求直线I的斜率的取值范围;
——,~111
为定值.
(n)设0为原点,QMQ。
,QNQ0,求证:
20.(本小题14分)设n为正整数,集合A|
Jnln
0,1,k1,2,,n,对于集合A中的
任意元素
XZ,
Xn和
,yn
,记
(口)当
奇数;当
1
2x1y1
3时,若
4时,设
XiyiX272
1,1,0,0,1,1
X2
y2
yn
yn
求M,
的
侑:
B是A的子集,且满足:
对于B中的任意元素
是偶数-求集合B中元素个数的最大值;
(川)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意两个不同的元素
M,0•写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
13.y=sinx(答案不唯一)
三、解答题
(15)(共13分)
解:
⑴在AABC中,•,・cosB=-,•••B€(,n),「・sinB=Jicos2B空。
.
72
由正弦定理得J—b/广匚3,•sinA=-3.
cinAuinRuinA-2
7
TB€(n,n/A€(0,n),•/个11
223
o
(n)®AABC中,TsinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=—(-4-3=
14
2727
如图所示,在^ABC中,・--sinC=±,-h=BCsinC=7沁沁BC142,
•
AC边上的高为出.
解:
(I)在三棱柱ABC・AiBiC中,
TCCi_L平面ABC,
•四边形AiACC为矩形.
又E,F分别为AC,AQ的中点,
•AC±EF.
•/AB=BC.
•••AC±BE,•••AC_L平面BEF.
(口)由⑴知AC±EF,AC±BE,EFIICG.
又CC,平面ABC,:
EF_L平面ABC.
•/BE平面ABC,-EF±BE
如图建立空间直角坐称系E-xyz.
由题意得B(0,2,0),C(-1,0,uuiuir
•CD=(2,0,1),CB=(1,2,0),
设平面BCD的法向量为n(a,b,c),uuu
nCD02ac0a2b
uur,
nCBO°,
令a=2,则b=-1,c=-4,
•平面BCD的法向量n(2,1,4),
uir
又・・・平面CDC的法向量为EB=(O,2,0),
(17)(共12分)
解:
(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25=50
故所求概率为匹J0025.2000
(n)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.
故所求概率为P(ABAB)=P(AB)+P(AB)
=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).
由题意知:
P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0.25X0.8+0.75X0.2=0.35
(山)Dl>D4>D2=D5>D3>D6.
(18)(共13分)
解:
(I)因为f(x)=[ax2(4a1)x4a3]ex,
所以f*(x)=:
2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex(x€R)=[ax2-(2a+1)x+2]ex.
f
(1)=(1-a)e.
由题设知f⑴=0,即(1・a)e=0,解得a=1.
此时f
(1)=3eA0.
所以a的值为1.
(n)由⑴得f1(x)=:
ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-)(x-0ex.
11
若a>一,则当x€(-,2)时,f(x)v0;2a
当x€(2,+s)时,f*(x)>0.
所以f(x)<0在x=2处取得极小值.
21
若aw—,则当x€(0,2)时,x-2v0,ax-<-x-1<0,
32
所以f1(x)>0.
所以2不是f(x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是I,+R).
2
(19)(共14分)
解:
⑴因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),
所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
由题意可知直线I的斜率存在且不为0,设直线I的方程为丫=1^+1(k老).
4X得k2x2(2k4)xkx1
X3,X4中1的个数为1或3.
(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.
将上述集合中的元素分成如下四组:
1,0,0,0),;(0,1,0,0),;(0,0,1,0),
(1);(0,0,07),(0,1,1,1).
经验证,对于每组中两个元素a,伏均有M(a,3)=1.
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.
所以集合B中元素的个数不超过4.
又集合{(1,00,0),(0,1,0,0),(0,0,1,。
),(0,0。
,1)
所以集合B中元素个数的最大值为4.
(川)设Sk=(Xi,X2,…,Xn)I(Xi,X2,…,Xn)€A,2,…,n),
Sn+1={(Xi,X2,…,Xn)|Xl=X2二•••=Xn=0},
则A=SiuSiU…USn+1.
对于S.(k=1,2,…,n-1)中的不同元素a,3经验证,M(a,3)生
所以3(k=1,2,…,n.)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.
所以B中元素的个数不超过n+1.
取ek=(X1,X2,»Xn)€Sk£LXk+i=••・=Xn=0(k=1,2,・••,n.).
令8=(ei,e2,…,en.)USUs+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.
故B是一个满足条件且元素个数最多的集合・
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