CRC从原理到实现.docx

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CRC从原理到实现

CRC从原理到实现

摘要：

CRC（CyclicRedundancyCheck）被广泛用于数据通信过程中的差错检测，具有很强的

检错能力。

本文详细介绍了CRC的基本原理，并且按照解释通行的查表算法的由来的思路介绍

了各种具体的实现方法。

1.差错检测

----------

数据通信中，接收端需要检测在传输过程中是否发生差错，常用的技术有奇偶校验（Parity

Check），校验和（Checksum）和CRC（CyclicRedundancyCheck）。

它们都是发送端对消息按照

某种算法计算出校验码，然后将校验码和消息一起发送到接收端。

接收端对接收到的消息按

照相同算法得出校验码，再与接收到的校验码比较，以判断接收到消息是否正确。

奇偶校验只需要1位校验码，其计算方法也很简单。

以奇检验为例，发送端只需要对所有消息

位进行异或运算，得出的值如果是0，则校验码为1，否则为0。

接收端可以对消息进行相同计

算，然后比较校验码。

也可以对消息连同校验码一起计算，若值是0则有差错，否则校验通过。

通常说奇偶校验可以检测出1位差错，实际上它可以检测出任何奇数位差错。

校验和的思想也很简单，将传输的消息当成8位（或16/32位）整数的序列，将这些整数加起来

而得出校验码，该校验码也叫校验和。

校验和被用在IP协议中，按照16位整数运算，而且其

MSB（MostSignificantBit）的进位被加到结果中。

显然，奇偶校验和校验和都有明显的不足。

奇偶校验不能检测出偶数位差错。

对于校验和，

如果整数序列中有两个整数出错，一个增加了一定的值，另一个减小了相同的值，这种差错

就检测不出来。

2.CRC算法的基本原理

-------------------

CRC算法的是以GF

（2）（2元素伽罗瓦域）多项式算术为数学基础的，听起来很恐怖，但实际上它

的主要特点和运算规则是很好理解的。

GF

（2）多项式中只有一个变量x，其系数也只有0和1，如：

   1*x^7+0*x^6+1*x^5+0*x^4+0*x^3+1*x^2+1*x^1+1*x^0

即：

   x^7+x^5+x^2 +x+1

（x^n表示x的n次幂）   

GF

（2）多项式中的加减用模2算术执行对应项上系数的加减，模2就是加减时不考虑进位和借位，

即：

   0+0=0   0-0=0

   0+1=1   0-1=1

   1+0=1   1-0=1

   1+1=0   1-1=0

显然，加和减是一样的效果（故在GF

（2）多项式中一般不出现"-"号），都等同于异或运算。

例

如P1=x^3 +x^2+1，P2=x^3 +x^1+1，P1+P2为：

   x^3 +x^2　　+1

 +x^3       +x+1

   ------------------

          x^2+x

GF

（2）多项式乘法和一般多项式乘法基本一样，只是在各项相加的时候按模2算术进行，例如

P1*P2为：

   （x^3+x^2+1）（x^3+x^1+1）

   =（x^6+x^4+x^3

    +x^5+x^3+x^2

    +x^3+x+1）

   =x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

GF

（2）多项式除法也和一般多项式除法基本一样，只是在各项相减的时候按模2算术进行，例

如P3=x^7+x^6+x^5+x^2+x，P3/P2为：

                                      x^4+x^3          +1

                   ------------------------------------------      

       x^3+x+1）x^7+x^6+x^5+            x^2+x

                    x^7      +x^5+x^4

                    ---------------------

                          x^6      +x^4

                          x^6      +x^4+x^3

                          ---------------------

                                            x^3+x^2+x

                                            x^3      +x+1

                                            -----------------

                                                  x^2    +1

CRC算法将长度为m位的消息对应一个GF

（2）多项式M，比如对于8位消息11100110，如果先传输

MSB，则它对应的多项式为x^7+x^6+x^5+x^2+x。

发送端和接收端约定一个次数为r的

GF

（2）多项式G，称为生成多项式，比如x^3+x+1，r=3。

在消息后面加上r个0对应的多

项式为M'，显然有M'=Mx^r。

用M'除以G将得到一个次数等于或小于r-1的余数多项式R，

其对应的r位数值则为校验码。

如下所示：

            11001100

        -------------                        

   1011）11100110000

         1011.......

         ----.......

          1010......

          1011......

          ----......          

             1110...

             1011...

             ----...

              1010..

              1011..

              ----

                 100 <---校验码                                    

发送端将m位消息连同r位校验码（也就是M'+R）一起发送出去，接收端按同样的方法算出收

到的m位消息的校验码，再与收到的校验码比较。

接收端也可以用收到的全部m+r位除以生

成多项式，再判断余数是否为0。

这是因为，M'+R=（QG+R）+R=QG，这里Q是商。

显

然，它也可以像发送端一样，在全部m+r后再增加r个0，再除以生成多项式，如果没有差错

发生，余数仍然为0。

3.生成多项式的选择

------------------

很明显，不同的生成多项式，其检错能力是不同的。

如何选择一个好的生成多项式需要一定

的数学理论，这里只从一些侧面作些分析。

显然，要使用r位校验码，生成多项式的次数应为

r。

生成多项式应该包含项"1"，否则校验码的LSB（LeastSignificantBit）将始终为0。

如果

消息（包括校验码）T在传输过程中产生了差错，则接收端收到的消息可以表示为T+E。

若E不

能被生成多项式G除尽，则该差错可以被检测出。

考虑以下几种情况：

   1）1位差错，即E=x^n=100...00，n>=0。

只要G至少有2位1，E就不能被G除尽。

这

     是因为Gx^k相当于将G左移k位，对任意多项式Q，QG相当于将多个不同的G的左移相加。

     如果G至少有两位1，它的多个不同的左移相加结果至少有两位1。

   2）奇数位差错，只要G含有因子F=x+1，E就不能被G除尽。

这是因为QG=Q'F，由1）

     的分析，F的多个不同的左移相加结果1的位数必然是偶数。

   3）爆炸性差错，即E=（x^n+...+1）x^m=1...100...00，n>=1，m>=0，显然只

     要G包含项"1"，且次数大于n，就不能除尽E。

   4）2位差错，即E=（x^n+1）x^m=100...00100...00，n>=0。

设x^n+1=QG+R，

     则E=QGx^m+Rx^m，由3）可知E能被G除尽当且仅当R为0。

因此只需分析x^n+1，根

     据[3]，对于次数r，总存在一个生成多项式G，使得n最小为2^r-1时，才能除尽x^n

     +1。

称该生成多项式是原始的（primitive），它提供了在该次数上检测2位差错的最高

     能力，因为当n=2^r-1时，x^n+1能被任何r次多项式除尽。

[3]同时指出，原始

     生成多项式是不可约分的，但不可约分的的多项式并不一定是原始的，因此对于某些

     奇数位差错，原始生成多项式是检测不出来的。

以下是一些标准的CRC算法的生成多项式：

   标准           多项式                                          16进制表示  

   --------------------------------------------------------------------------- 

   CRC12          x^12+x^11+x^3+x^2+x+1                 80F

   CRC16          x^16+x^15+x^2+1                           8005

   CRC16-CCITT    x^16+x^12+x^5+1                           1021

   CRC32          x^32+x^26+x^23+x^22+x^16+x^12+x^11  04C11DB7

                   +x^10+x^8+x^7+x^5+x^4+x^2+x+1

16进制表示去掉了最高次项，CCITT在1993年改名为ITU-T。

CRC12用于6位字节，其它用于8位

字节。

CRC16在IBM的BISYNCH通信标准。

CRC16-CCITT被广泛用于XMODEM,X.25和SDLC等通信

协议。

而以太网和FDDI则使用CRC32，它也被用在ZIP，RAR等文件压缩中。

在这些生成多项式

中，CRC32是原始的，而其它3个都含有因子x+1。

4.CRC算法的实现

---------------

要用程序实现CRC算法，考虑对第2节的长除法做一下变换，依然是M=11100110，G=1011，

其系数r为3。

            11001100                     11100110000    

        -------------                    1011   

   1011）11100110000                     -----------

         1011.......                      1010110000   

         ----.......                     1010110000

          1010......                     1011

          1011......       ===>         -----------

          ----......                      001110000    

             1110...                     1110000

             1011...                     1011

             ----...                     -----------

              1010..                      101000       

              1011..                     101000

              ----                       1011

                 100 <---校验码         -----------

                                           00100        

                                           100          <---校验码

程序可以如下实现：

   1）将Mx^r的前r位放入一个长度为r的寄存器；

   2）如果寄存器的首位为1，将寄存器左移1位（将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB），

     再与G的后r位异或，否则仅将寄存器左移1位（将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB）；

   3）重复第2步，直到M全部Mx^r移入寄存器；

   4）寄存器中的值则为校验码。

用CRC16-CCITT的生成多项式0x1021，其C代码（本文所有代码假定系统为32位，且都在VC6上

编译通过）如下：

unsignedshortdo_crc（unsignedchar*message,unsignedintlen）

{

   inti,j;

   unsignedshortcrc_reg;

   crc_reg=（message[0]<<8）+message[1];

   for（i=0;i

   {

       if（i

           for（j=0;j<=7;j++）

           {

               if（（short）crc_reg<0）

                   crc_reg=（（crc_reg<<1）+（message[i+2]>>（7-i）））^0x1021;

               else

                   crc_reg=（crc_reg<<1）+（message[i+2]>>（7-i））;     

           }

        else

           for（j=0;j<=7;j++）

           {

               if（（short）crc_reg<0）

                   crc_reg=（crc_reg<<1）^0x1021;

               else

                   crc_reg<<=1;            

           }        

   }

   returncrc_reg;

} 

显然，每次内循环的行为取决于寄存器首位。

由于异或运算满足交换率和结合律，以及与0异

或无影响，消息可以不移入寄存器，而在每次内循环的时候，寄存器首位再与对应的消息位

异或。

改进的代码如下：

unsignedshortdo_crc（unsignedchar*message,unsignedintlen）

{

   inti,j;

   unsignedshortcrc_reg=0;

   unsignedshortcurrent;

   for（i=0;i

   {

       current=message[i]<<8;

       for（j=0;j<8;j++）

       {

           if（（short）（crc_reg^current）<0）

               crc_reg=（crc_reg<<1）^0x1021;

           else

               crc_reg<<=1;

           current<<=1;           

       }

   }

   returncrc_reg;

}

以上的讨论中，消息的每个字节都是先传输MSB，CRC16-CCITT标准却是按照先传输LSB，消息

右移进寄存器来计算的。

只需将代码改成判断寄存器的LSB，将0x1021按位颠倒后（0x8408）与

寄存器异或即可，如下所示：

unsignedshortdo_crc（unsignedchar*message,unsignedintlen）

{

   inti,j;

   unsignedshortcrc_reg=0;

   unsignedshortcurrent;

   for（i=0;i

   {

       current=message[i];

       for（j=0;j<8;j++）

       {

           if（（crc_reg^current）&0x0001）

               crc_reg=（crc_reg>>1）^0x8408;

           else

               crc_reg>>=1;

           current>>=1;           

       }

   }

   returncrc_reg;

}   

该算法使用了两层循环，对消息逐位进行处理，这样效率是很低的。

为了提高时间效率，通

常的思想是以空间换时间。

考虑到内循环只与当前的消息字节和crc_reg的低字节有关，对该

算法做以下等效转换：

unsignedshortdo_crc（unsignedchar*message,unsignedintlen）

{

   inti,j;

   unsignedshortcrc_reg=0;

   unsignedchar index;

   unsignedshortto_xor;

   for（i=0;i

   {

       index=（crc_reg^message[i]）&0xff;

       to_xor=index;      

       for（j=0;j<8;j++）

       {

           if（to_xor&0x0001）

               to_xor=（to_xor>>1）^0x8408;

           else

               to_xor>>=1;          

       }

       crc_reg=（crc_reg>>8）^to_xor;

   }

   returncrc_reg;

}

现在内循环只与index相关了，可以事先以数组形式生成一个表crc16_ccitt_table，使得

to_xor=crc16_ccitt_table[index]，于是可以简化为：

unsignedshortdo_crc（unsignedchar*message,unsignedintlen）

{

   unsignedshortcrc_reg=0;

   while（len--）

       crc_reg=（crc_reg>>8）^crc16_ccitt_table[（crc_reg^*message++）&0xff];

   returncrc_reg;

}  

crc16_ccitt_table通过以下代码生成：

intmain（）

{

   unsignedcharindex=0;

   unsignedshortto_xor;

   inti;

   printf（"unsignedshortcrc16_ccitt_table[256]=\n{"）;

   while

（1）

   {

       if（!

（index%8））

           printf（"\n"）;

       to_xor=index;      

       for（i=0;i<8;i++）

       {

           if（to_xor&0x0001）

               to_xor=（to_xor>>1）^0x8408;

           else

               to_xor>>=1;