7抛物线与几何变换.docx
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7抛物线与几何变换
7-例1
7-例2
7-例3
(2006•大连)如图,抛物线E:
y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于M点,抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点.
(1)求F的解析式;
(2)在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N,使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若将抛物线E的解析式改为y=ax2+bx+c,试探索问题
(2).
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题;开放型.
分析:
(1)令y=0,可求出抛物线E与x轴的两个交点坐标,再令x=0,可求出与y轴的交点M,可以得到这三点关于y轴对称的点,设抛物线F的解析式是y=ax2+bx+3,直接把AB的对称点的坐标代入F的解析式,即可求出F的解析式.
(2)若使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形,那么应有MN∥AC,即N,M两点的纵坐标相同,可将M点的总坐标代入两抛物线的解析式中求出N点的坐标,然后看MN是否与AC的长相等即可判断出是否存在符合条件的N点.
(3)同
(2)一样,也要先用代数式表示出A、C、M的坐标,然后用M的纵坐标求出N点的坐标,进而去比较MN和AC的长是否相等.
7-例4
7-例5
7-例6
(2010•保定二模)已知二次函数y=ax2+4ax+4a-1的图象是C1.
(1)求C1关于点R(1,0)中心对称的图象C2的函数解析式;
(2)在
(1)的条件下,设抛物线C1、C2与y轴的交点分别为A、B,当AB=18时,求a的值.
考点:
二次函数综合题.
专题:
综合题.
分析:
(1)因为C1和C2关于点R(1,0)中心对称,所以它们的顶点也中心对称.先求出y=ax2+4ax+4a-1的顶点坐标,再根据中心对称的定义求出C2的顶点坐标,便可进一步求出C2的函数解析式;
(2)把x=0代入解析式即可得到A、B点的纵坐标,将纵坐标相减,其差的绝对值即为18,可列出等式求出a的值.
解答:
解:
(1)由y=a(x+2)2-1,可知抛物线C1的顶点为M(-2,-1).
由图知点M(-2,-1)关于点R(1,0)中心对称的点为N(4,1),
以N(4,1)为顶点,与抛物线C1关于点R(1,0)中心对称的图象C2也是抛物线,
且C1与C2的开口大小相同且方向相反,
故抛物线C2的函数解析式为y=-a(x-4)2+1,
即y=-ax2+8ax-16a+1.(3分)
(2)令x=0,
得抛物线C1、C2与y轴的交点A、B的纵坐标分别为4a-1和-16a+1.
7-1
抛物线y=x2-4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为。
考点:
二次函数图象与几何变换.
分析:
先把抛物线的解析式化为顶点式的形式,再根据函数图象平移的法则进行解答即可.
解答:
解:
∵抛物线y=x2-4x+3可化为:
y=(x-2)2-1,
∴其顶点坐标为(2,-1),
∴向右平移2个单位得到新抛物线的解析式,所得抛物线的顶点坐标是(4,-1).
故答案为(4,-1).
点评:
本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
7-2
7-3
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则它关于y轴对称的抛物线的解析式是。
考点:
二次函数图象与几何变换.
分析:
根据图形求出关于y轴对称的抛物线经过的点的坐标以及对称轴,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可.
解答:
解:
y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线的解析式是y=ax2-bx+c.
故答案为:
y=ax2-bx+c.
点评:
本题考查了二次函数图象与几何变换,利用点的变化确定抛物线的变化可以使求解更加简便.
7-5
(2012•宿迁)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( )
A.(-2,3)
B.(-1,4)
C.(1,4)
D.(4,3)
考点:
二次函数图象与几何变换.
专题:
压轴题;探究型.
分析:
先把抛物线y=2x2-4x+3化为顶点式的形式,再根据函数图象平移的法则求出向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式,求出其顶点坐标即可.
解答:
解:
∵抛物线y=2x2-4x+3化为y=2(x-1)2+1,
∴函数图象向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为:
y=y=2(x-1-3)2+1+2,即y=2(x-4)2+3,
∴其顶点坐标为:
(4,3).
故选D.
点评:
本题考查的是二次函数的图象与几何变换,先把原抛物线的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键.
7-4
(1997•重庆)抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线y=x2,则b与c的值分别为( )
A.6,4
B.-8,14
C.-6,6
D.-8,-14
考点:
二次函数图象与几何变换.
专题:
压轴题.
分析:
把抛物线y=x2按照“左加右减,上加下减”的规律,向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得抛物线y=x2+bx+c则可.
解答:
解:
y=x2向右平移4个单位,再向下平移2个单位得y=(x-4)2-2=x2-8x+14.
所以b=-8,c=14.
故选:
B.
点评:
此题考查了二次函数的平移,利用变化规律:
左加右减,上加下减得出是解题关键.
7-6
(2012•陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-x-6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.6
考点:
二次函数图象与几何变换.
专题:
压轴题;探究型.
分析:
计算出函数与x轴、y轴的交点,将图象适当运动,即可判断出抛物线移动的距离及方向.
解答:
解:
当x=0时,y=-6,故函数图象与y轴交于点C(0,-6),
当y=0时,x2-x-6=0,即(x+2)(x-3)=0,
解得x=-2或x=3,
即A(-2,0),B(3,0);
由图可知,函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点,
故|m|的最小值为2.
故选B.
点评:
本题考查了二次函数与几何变换,画出函数图象是解题的关键.
7-7这题看书本P7及P218
将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象绕y轴翻转180°,再绕x轴翻转180°,所得的函数图象对应的解析式为( )
A.y=-ax2+bx-c
B.y=-ax2-bx-c
C.y=ax2-bx-c
D.y=-ax2+bx+c
考点:
二次函数图象与几何变换.
专题:
计算题.
分析:
图象绕y轴翻转180°,即图象关于y轴轴对称,横坐标变为相反数,纵坐标不变;图象绕x轴翻转180°,即图象关于x轴轴对称,横坐标不变,纵坐标变为相反数;改变其中对应字母的符号即可.
解答:
解:
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称的图象是y=ax2-bx+c(即以-x代x)的图象,
而y=ax2-bx+c的图象关于x轴对称的是y=-ax2+bx-c(即以-y代y)的图象,
∴所求解析式为y=-ax2+bx-c.故选A.
点评:
本题考查了抛物线的轴对称变换.与点的轴对称类似,关于x轴对称时,横坐标不变,纵坐标变为相反数,关于y轴对称时,纵坐标不变,横坐标变为相反数.
7-8
作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2,将抛物线C2向左平移2个单位,向上平移1个单位,得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2-1,则抛物线C1所对应的函数解析式是。
考点:
二次函数图象与几何变换.
专题:
应用题.
分析:
根据题意易得抛物线C的顶点,进而可得到抛物线B的坐标,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线B的解析式,而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,二次项系数互为相反数可得到抛物线C1所对应的函数表达式.
解答:
解:
根据题意易得抛物线C的顶点为(-1,-1),
∵是向左平移2个单位,向上平移1个单位得到抛物线C的,
∴抛物线B的坐标为(1,-2),
可设抛物线B的坐标为y=2(x-h)2+k,代入得:
y=2(x-1)2-2,
易得抛物线A的二次项系数为-2,顶点坐标为(1,2),
∴抛物线A的解析式为y=-2(x-1)2+2,
故答案为y=-2(x-1)2+2.
点评:
本题主要考查了讨论两个二次函数的图象的平移问题,只需看顶点坐标是如何平移得到的即可,关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,二次项系数互为相反数,难度适中.
7-9
(2006•旅顺口区)已知抛物线y=x2-4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度,得到一
条新的抛物线.
(1)求平移后的抛物线解析式;
(2)若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;
(3)若将已知的抛物线解析式改为y=ax2+bx+c(a>0,b<0),并将此抛物线沿x轴方向向左平移-
个单位长度,试探索问题
(2).
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题;探究型.
分析:
平移的实质可以可作顶点的平移,先将已知抛物线y=x2-4x+1写成顶点式,再按平移规律写出平移后的函数顶点式.
解答:
解:
(1)y=x2-4x+1
配方,得y=(x-2)2-3,
向左平移4个单位,得y=(x+2)2-3
∴平移后得抛物线的解析式为y=x2+4x+1;
(2)由
(1)知,两抛物线的顶点坐标为(2,-3),(-2,-3)
7-10
(2006•曲靖)如图,已知抛物线l1:
y=x2-4的图象与x有交于A、C两点,
(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式;
(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合),以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D,求证:
点D在l2上;
(3)探索:
当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图象上时,平行四边
形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?
若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题.
分析:
(1)因为关于x轴对称的点的特点是横坐标不变,纵坐标互为相反数,所以可得l2的解析式;
(2)设点B的坐标为(x1,x12-4),根据题意求的点D的坐标,代入解析式即可证明:
点D在l2上;
(3)首先表示出S的值,根据函数值的范围即可得当点B在x轴上方时,y1>0,
S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,∴S既无最大值也无最小值;
当点B在x轴下方时,-4≤y1<0,S最大=16.
解答:
(1)解:
设l2的解析式为y=a(x-h)2+k
∵l1与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,
∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4)(1分)
∴y=ax2+4(2分)
∴0=4a+4得a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4(3分)
(2)证明:
设B(x1,y1)
∵点B在l1上
∴B(x1,x12-4)(4分)
∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D(-x1,-x12+4).(6分)
将D(-x1,-x12+4)的坐标代入l2:
y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上.(7分)
(3)解:
设平行四边形ABCD的面积为S,
则S=2S△ABC=AC×|y1|=4|y1|
a.当点B在x轴上方时,y1>0
∴S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,
∴S既无最大值也无最小值(8分)
b.当点B在x轴下方时,-4≤y1<0
∴S=-4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,
∴当y1=-4时,S由最大值16,但他没有最小值
此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.(9分)
∴AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形(10分),
此时S最大=16.(11分)
点评:
考查一次函数、二次函数的解析式、图象、性质等知识点,考查综合应用知识,分析问题解决问题的能力
7-11
(2011•南昌)如图所示,抛物线m:
y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.
(1)当a=-1,b=1时,求抛物线n的解析式;
(2)四边形AC1A1C是什么特殊四边形,请写出结果并说明理由;
(3)若四边形AC1A1C为矩形,请求出a,b应满足的关系式.
考点:
二次函数综合题.
专题:
代数几何综合题;压轴题.
分析:
(1)根据a=-1,b=1得出抛物线m的解析式,再利用C与C1关于点B中心对称,得出二次函数的顶点坐标,即可得出答案;
(2)利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明;
(3)利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形,必须满足AB=BC,即可求出.
解答:
解:
(1)当a=-1,b=1时,抛物线m的解析式为:
y=-x2+1.
令x=0,得:
y=1.∴C(0,1).
令y=0,得:
x=±1.
∴A(-1,0),B(1,0),
∵C与C1关于点B中心对称,
∴抛物线n的解析式为:
y=(x-2)2-1=x2-4x+3;
(2)
四边形AC1A1C是平行四边形.
理由:
连接AC,AC1,A1C1,
∵C与C1、A与A1都关于点B中心对称,
∴AB=BA1,BC=BC1,
∴四边形AC1A1C是平行四边形.
7-12
分析:
(1)过点A作AD⊥x轴于点D,根据正方形的对角线平分一组对角可得∠AOC=45°,所以∠AOD=45°,从而得到△AOD是等腰直角三角形,设点A坐标为(-a,a),然后利用点A在抛物线上,把点的坐标代入解析式计算即可得解;
(2)①过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,先利用抛物线解析式求出AE的长度,然后证明△AEO和△OFB相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系,然后利用点B在抛物线上,设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解;
②过点C作CG⊥BF于点G,可以证明△AEO和△BGC全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=OE,BG=AE,然后求出点C的坐标,再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式,把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C,如果经过点C,把抛物线解析式转化为顶点式解析式,根据顶点坐标写出变换过程即可.
解答:
解:
(1)如图,过点A作AD⊥x轴于点D,
∵矩形AOBC是正方形,
∴∠AOC=45°,
∴∠AOD=90°-45°=45°,
∴△AOD是等腰直角三角形,
设点A的坐标为(-a,a)(a≠0),
则(-a)2=a,
解得a1=1,a2=0(舍去),
∴点A的横坐标-a=-1,
故答案为:
-1;
点评:
本题是对二次函数的综合考查,包括正方形的性质,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,待定系数法求抛物线解析式,综合性较强,难度较大,要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换,利用点研究线也是常用的方法之一.
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- 抛物线 几何 变换