专题30运动与变化函数思想.docx
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专题30运动与变化函数思想
阅读与思考
所谓函数思想,就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系,通过函数的形式,把这种关系表示出来,运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题
函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用:
1.禾U用函数图象解决问题;
2•用函数的观点研究方程(组)、不等式(组)的解;
3•建立目标函数,运用函数的性质去解决问题
方程与函数有着深刻的内在联系,这种联系体现在:
方程的解是对应的函数图象交点的横坐标•函数图象的直观性,使得我们对方程的理解有了一种新的途径,
函数是初中数学的主要内容,有正比例函数、反比例函数、一次函次和二次函数,要研究它们的性质和图象•函数的思想方法就是用变化运动的观点来观察、分析问题.
应熟悉以下基本问题:
1常见函数的性质、图象、画法;
2常见函数的图象与该函数的解析式中各个系数的符号的关系;
3确定常见函数解析式的方法;函数与方程(组)的联系
例题与求解
【例1】同学们都知道,一次函数y=kx•bk=0的图象是一条直线,它可以表示许多实际意义,
比如在图1中,x表示时间(小时),y表示路程(千米)•那么从图象上可以看出,某人出发时(x=0),
离某地(原点)2千米,出发1小时,由x=1,得y=5,即某人离某地5千米,他走了3千米.
在图2中,OA,BA分别表示甲、乙两人的运动图象,请根据图象回答下列问题:
(1)如果用t表示时间,y表示路程,那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式:
甲,
乙;
(2)甲的运动速度是千米/时;
(常州市中考试题)
(3)甲、乙同时出发,相遇时,甲比乙多走千米.
解题思路:
本例采用新视角将行程问题用图示法表示,解题的关键是领会“一次函数”表示行程问题的意义,从图象获得与行程问题相关量的信息
对于某些从正面直接求解比较困难的数学问题,通过对题设与结论的观察与分析,构造辅助元素,使问题结构更加清晰,解题过程更加简化,目标结论更为明确,这种解题方法称为构造法.
构造法的基本形式是以已知条件为“原料”,以所求结论为“方向”,构造出一种新的数学形式,常用的构造方法有:
①构造实例;②构造反例;③构造方程;④构造函数;⑤构造图形.
【例2】对于方程X2-2x+2=m,如果方程实根的个数恰为3个,则m值等于()
A.1B..3C.2D.2.5
解题思路:
可将m值一一代入原方程,逐一验证,直至筛选出符合条件的m的值•本例的另一解
法是把讨论方程解的个数转化为讨论函数
2
y=x-2x+2与函数y=m图象交点,利用函数图象解题.
【例3】已知b,c为整数,方程5x2bx^0的两根都大于—1且小于0,求b和c的值.
(全国初中数学联赛试题)
解题思路:
解本例的基本思路是利用求根公式,通过解不等式组求出b,c的值,显然较繁•可以
2
构造二次函数,讨论二次函数y=5xbxc与x轴交点在—1与0之间时所满足的约束条件入手.
【例4】在直角坐标系中.有以A(-1,—1),B(1,一1),C(1,1),D(—1,1)为顶点的正方
形,设它在折线y=x-a+a上侧部分的面积为S.试求S关于a的函数关系式,并画出它们的图象.
(河北省竞赛试题)
解题思路:
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- 关 键 词:
- 专题 30 运动 变化 函数 思想