B05 南通市届高三数学第一次模拟考试数学试题.docx
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B05南通市届高三数学第一次模拟考试数学试题
南通市2017届高三第一次调研测试
数学试题Ⅰ
一:
填空题
1.函数
的最小正周期为。
2.设集合
,则
=。
3.复数
,其中
为虚数单位,则
的实部为。
4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球。
摸出红球
的概率为0.48,摸出黄球的概率是0.35,则摸出蓝球的概率为。
5.如图是一个算法流程图,则输出的
的值为。
6.若实数
满足
,则
的最大值为。
7.抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位:
分),
结果如下:
学生
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
65
80
70
85
75
乙
80
70
75
80
70
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为。
8.如图,在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB=3cm,AA1=1cm,
则三棱锥D1–A1BD的体积为cm3。
9.在平面直角坐标系
中,直线
为双曲线
的一条渐近线,则该双曲线的离心率为。
10.《九章算术》中的“竹九节”问题:
现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为
11.在
中,若
,则
的值为。
12.已知两曲线
相交于点P。
若两曲线在点P处的切线互相垂直,则实数
的值为。
13.已知函数
,则不等式
的解集用区间表示为。
14.在平面直角坐标系
中,已知B,C为圆
上两点,点
,且
,则线段BC的长的取值范围是。
二:
解答题
15.(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系
中,以
轴正半轴为始边作锐角
,其终边与单位圆交于点A,以OA为始边作锐角
,其终边与单位圆交于点B,
。
(1)求
的值;
(2)若点A的横坐标为
,求点B的坐标。
16.(本题满分14分)如图,在四棱锥P–ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC、BD相交于点O,点E为PC的中点,OP=OC,PA⊥PD。
求证:
(1)直线PA∥平面BDE;
(2)平面BDE⊥平面PCD。
17.(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系
中,已知椭圆
的离心率为
,焦点到相应准线的距离为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为椭圆上的一点,过点O作OP的垂线交直线
于点Q,求
的值;
18.(本题满分16分)如图,某机械厂要将长6m,宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪。
已知点F为AD的中点,点E在边BC上,裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C,D分别落在直线BC下方点M,N处,FN交边BC于点P),再沿直线PE裁剪。
(1)当
时,试判断四边形MNPE的形状,并求其面积;
(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由。
19.(本题满分16分)已知函数
。
(1)当
时,求函数
的最小值;
(2)若
,证明:
函数
有且只有一个零点;
(3)若函数
又两个零点,求实数
的取值范围。
20.(本题满分16分)
已知等差数列
的公差
不为0,且
成等比数列,公比为
。
(1)若
,求
的值;
(2)当
为何值时,数列
为等比数列;
(3)若数列
为等比数列,且对于任意
,不等式
恒成立,求
的取值范围。
21、【选做题】
[选修4-2:
矩阵与变换]
已知向量
是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量,在平面直角坐标系
中,点
在矩阵A对应的变换作用下变为
,求矩阵A.
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在极坐标系中,求直线
被直线
所截得的弦长.
【必做题】(每小题10分)
22、如图,在棱长为2的正方体
中,P为棱
的中点,Q为棱
上的点,且
.
(1)若
,求AP与AQ所成角的余弦值;
(2)若直线
与平面APQ所成的角为
,求实数
的值.
23、在平面直角坐标系
中,已知抛物线
上的点
到焦点F的距离为2.
(1)求抛物线的方程;
(2)如图,点E是抛物线上异于原点的点,抛物线在点E处的切线与
轴相交于点P,直线PF与抛物线相交于A,B两点,求
面积的最小值。
南通市2017届高三第一次调研测试
数学试题Ⅰ参考答案
一:
填空题
1.
2.
3.
4.0.175.56.77.208.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
二:
解答题
15.解
(1)在
中,由余弦定理得:
,
所以
…………………………………………2分
,即
;…………………………………………6分
(2)因为
,且
为锐角,所以
,……8分
因为点A的横坐标为
,由三角函数定义可得:
,
因为
为锐角,所以
,…………………………10分
所以
,…………12分
,
所以点
。
……………………………………………………………………14分
16.证明:
(1)连结OE,因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以O为AC的中点,
又E为PC的中点,所以OE//PA,………………4分
因为OE
平面BDE,PA
平面BDE,
所以直线PA//平面BDE;…………………………6分
(2)因为OE//PA,PA⊥PD,所以OE⊥PD,……8分
因为OP=OC,E为PC的中点,所以OE⊥PC,……10分
又PC∩PD=P,PD
平面PCD,PC
平面PCD,
所以OE⊥平面PCD,………………………………12分
因为OE
平面BDE,所以平面BDE⊥平面PCD。
………………………………14分
17.解:
(1)由题意得:
,………………2分
解得:
,所以椭圆的标准方程为
;……4分
(2)由题意知OP的斜率存在,
当OP的斜率为0时,
,所以
=1,……6分
当OP的斜率不为0时,设直线OP的方程为
,
由
得:
,解得:
,所以
,
所以
,…………………………………………………………9分
因为
,所以直线OQ的方程为
,
由
得:
,所以
,……………………12分
所以
=
,
综上,可知
=1.………………………………………………14分
18.解:
(1)当
时,
,
所以
,即
,所以四边形MNPE为矩形,………………3分
所以四边形MNPE的面积为
;…………………………5分
(2)设
,由条件知:
,
,
,
,……8分
由
得:
,所以
解得:
,
所以四边形MNPE的面积为
………………………………………………………………12分
当且仅当
,即
,
时取“=”……14分
答:
当
时,沿直线PE裁剪,四边形MNPE面积最大,为
。
…16分
19.解:
(1)当
时,
,
所以
,…………………………2分
令
=0,得
,
当
时,
<0,当
时,
>0,
所以函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以当
时,
有最小值
;…………………………4分
(2)由
,得:
所以当
时,
,函数
在
上单调递减,
所以当
时,函数
在
上最多有一个零点,……………………6分
又当
时,
,
所以当
时,函数
在
上有零点,
综上,当
时,函数
有且只有一个零点;……………………8分
(3)由
(2)知:
当
时,函数
在
上最多有一个零点,
因为函数
有两个零点,所以
,……………………………………9分
由
,得:
令
,因为
,
所以函数
在
上有且只有一个零点,设为
,
当
时,
<0,
<0,当时
,
>0,
>0,
所以函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
要使得函数
在
上有两个零点,只需要函数
的最小值
,
即
,又因为
,
消去
得:
,
又因为
在
上单调递增,且
,所以
>1,
则
,因为
,所以
,
所以2
在
上单调递增,所以
,………………………………………13分
以下验证当
时,函数
有两个零点。
当
时,
,所以
,
因为
,且
,
所以函数
在
上有一个零点,
又因为
(因为
),且
,
所以函数
在
上有一个零点,
所以当
时,函数
在
上有两个零点。
综上,实数
的取值范围是
。
…………………………………………16分
(注:
的证明过程,同学不妨自己证明书写)
20.解:
(1)由已知可得:
成等比数列,所以
,…2分
整理得:
,因为
,所以
;………………………………4分
(2)设数列
为等比数列,则
,又因为
成等比数列,
所以
,
整理,得
,
因为
,所以
,
因为
,所以
=
,即
=1;………………………………6分
当
=1时,
,所以
,
又因为
,所以
,
所以
,数列
为等比数列,
综上,当
=1时,数列
为等比数列;……………………………………8分
(3)因为数列
为等比数列,由
(2)知:
=
,
,
因为对于任意
,不等式
恒成立,
所以不等式
,所以
,
即
恒成立,…………………………10分
下面证明:
对于任意的正实数
,总存在正整数
,使得
,
要证
,即证
,
因为
,则
,
解不等式
,即
,
可得
,所以
,
不妨取
,则当
时,原式得证,
所以
,所以
,即得
的取值范围是
。
…………16分
附加题
- 配套讲稿:
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