高中数学培优作业同步辅导 必修5第二章数列 含答案解析改好65页.docx
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高中数学同步培优作业
同步培优作业
第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法
(一)
课时目标
1.理解数列及其有关概念;
2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;
3.对于比较简单的数列,会根据其前n项写出它的通项公式.
1.按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个数列的第n项.
2.数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
3.项数有限的数列称有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
4.如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
一、选择题
1.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为( )
A.an=nB.an=n+1
C.an=n+2D.an=2n
答案 B
2.已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的前4项依次为( )
A.1,0,1,0B.0,1,0,1
C.,0,,0D.2,0,2,0
答案 A
3.若数列的前4项为1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是( )
A.an=[1+(-1)n-1]
B.an=[1-cos(n·180°)]
C.an=sin2(n·90°)
D.an=(n-1)(n-2)+[1+(-1)n-1]
答案 D
解析 令n=1,2,3,4代入验证即可.
4.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该数列的( )
A.第5项B.第6项
C.第7项D.非任何一项
答案 C
解析 n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
5.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( )
A.an=n2-n+1B.an=
C.an=D.an=n2+1
答案 C
解析 令n=1,2,3,4,代入A、B、C、D检验即可.排除A、B、D,从而选C.
6.设an=+++…+(n∈N*),那么an+1-an等于( )
A.B.
C.+D.-
答案 D
解析 ∵an=+++…+
∴an+1=++…+++,
∴an+1-an=+-=-.
二、填空题
7.已知数列{an}的通项公式为an=.则它的前4项依次为____________.
答案 4,7,10,15
8.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),那么是这个数列的第______项.
答案 10
解析 ∵=,
∴n(n+2)=10×12,∴n=10.
9.用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________.
答案 an=2n+1
解析 a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,∴an=2n+1.
10.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第10个三角形数是______.
答案 55
解析 三角形数依次为:
1,3,6,10,15,…,第10个三角形数为:
1+2+3+4+…+10=55.
三、解答题
11.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…
(2)0.8,0.88,0.888,…
(3),,-,,-,,…
(4),1,,,…
(5)0,1,0,1,…
解
(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:
后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5)(n∈N*).
(2)数列变形为(1-0.1),(1-0.01),
(1-0.001),…,∴an=(n∈N*).
(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为-,因此原数列可化为-,,-,,…,
∴an=(-1)n·(n∈N*).
(4)将数列统一为,,,,…对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,
∴可得它的一个通项公式为an=(n∈N*).
(5)an=或an=(n∈N*)
或an=(n∈N*).
12.已知数列;
(1)求这个数列的第10项;
(2)是不是该数列中的项,为什么?
(3)求证:
数列中的各项都在区间(0,1)内;
(4)在区间内有、无数列中的项?
若有,有几项?
若没有,说明理由.
(1)解 设f(n)=
==.
令n=10,得第10项a10=f(10)=.
(2)解 令=,得9n=300.
此方程无正整数解,所以不是该数列中的项.
(3)证明 ∵an===1-,
又n∈N*,∴0<<1,∴0 ∴数列中的各项都在区间(0,1)内. (4)解 令 即.∴ 又∵n∈N*,∴当且仅当n=2时,上式成立,故区间上有数列中的项,且只有一项为a2=. 能力提升 13.数列a,b,a,b,…的一个通项公式是______________________. 答案 an=+(-1)n+1 解析 a=+,b=-, 故an=+(-1)n+1. 14.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有多少个点. 解 图 (1)只有1个点,无分支;图 (2)除中间1个点外,有两个分支,每个分支有1个点;图(3)除中间1个点外,有三个分支,每个分支有2个点;图(4)除中间1个点外,有四个分支,每个分支有3个点;…;猜测第n个图中除中间一个点外,有n个分支,每个分支有(n-1)个点,故第n个图中点的个数为1+n(n-1)=n2-n+1. 1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质: (1)确定性: 一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性: 数列中的数可以重复. (3)有序性: 一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式. 3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.例如: 数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,还可以写成 an=其中k∈N*. §2.1 数列的概念与简单表示法 (二) 课时目标 1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项; 3.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列. 1.如果数列{an}的第1项或前几项已知,并且数列{an}的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. 2.数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值. 3.一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,那么这个数列叫做递增数列.如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1 一、选择题 1.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( ) A.递增数列B.递减数列 C.常数项D.不能确定 答案 A 2.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是( ) A.an+1=an+n,n∈N* B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2 C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2 D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2 答案 B 3.已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an+1=an+,则此数列第4项是( ) A.1B.C.D. 答案 B 4.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3…an=n2,则: a3+a5等于( ) A.B. C.D. 答案 C 解析 a1a2a3=32,a1a2=22, a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42, 则a3==,a5==. 故a3+a5=. 5.已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a2010的值为( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 计算得a2=,a3=,a4=,故数列{an}是以3为周期的周期数列, 又知2010除以3能整除,所以a2010=a3=. 6.已知an=,则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A.a1,a30B.a1,a9 C.a10,a9D.a10,a30 答案 C 解析 ∵an= =+1 ∴点(n,an)在函数y=+1的图象上, 在直角坐标系中作出函数y=+1的图象, 由图象易知 当x∈(0,)时,函数单调递减. ∴a9 当x∈(,+∞)时,函数单调递减, ∴a10>a11>…>a30>1. 所以,数列{an}的前30项中最大的项是a10,最小的项是a9. 二、填空题 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=3,4Sn=6an-an-1+4Sn-1,则an=________. 答案 3·21-n 8.已知数列{an}满足: a1=a2=1,an+2=an+1+an,(n∈N*),则使an>100的n的最小值是________. 答案 12 9.若数列{an}满足: a1=1,且=(n∈N*),则当n≥2时,an=________. 答案 解析 ∵a1=1,且=(n∈N*). ∴··…· =···…·, 即an=. 10.已知数列{an}满足: an≤an+1,an=n2+λn,n∈N*,则实数λ的最小值是________. 答案 -3 解析 an≤an+1⇔n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1) ⇔λ≥-(2n+1),n∈N*⇔λ≥-3. 三、解答题 11.在数列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,n∈N*). (1)求证: an+3=an; (2)求a2011. (1)证明 an+3=1-=1- =1- =1-=1-=1- =1-(1-an)=an. ∴an+3=an. (2)解 由 (1)知数列{an}的周期T=3, a1=,a2=-1,a3=2. 又∵a2011=a3×670+1=a1=,∴a2011=. 12.已知an=(n∈N*),试问数列{an}中有没有最大项? 如果有,求出这个最大项;如果没有,说明理由. 解 因为an+1-an=n+1·(n+2)-n·(n+1) =n+1·=n+1·,则 当n≤7时,n+1·>0, 当n=8时,n+1·=0, 当n≥9时,n+1·<0, 所以a1 故数列{an}存在最大项,最大项为a8=a9=. 能力提升 13.已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N*,则通项公式an=________. 答案 - 解析 ∵an+1-an=, ∴a2-a1=; a3-a2=; a4-a3=; … … an-an-1=; 以上各式累加得,an-a1=++…+ =1-+-+…+- =1-. ∴an+1=1-,∴an=-. 14.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)·a-na+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是________. 答案 解析 ∵(n+1)a-na+anan+1=0, ∴[(n+1)an+1-nan]·(an+1+an)=0, ∵an>0,∴an+an+1>0, ∴(n+1)an+1-nan=0. 方法一 =. ∴····…· =····…·, ∴=. 又∵a1=1,∴an=a1=. 方法二 (n+1)an+1-nan=0, ∴nan=(n-1)an-1=…=1×a1=1, ∴nan=1,an=. 函数与数列的联系与区别 一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题. 另一方面,还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N*或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性,如研究单调性时,由数列的图象可知,只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an-1),则图象呈上升趋势,即数列递增,即{an}递增⇔an+1>an对任意的n(n∈N*)都成立.类似地,有{an}递减⇔an+1 §2.2 等差数列 (一) 课时目标 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式. 1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,并且A=. 3.若等差数列的首项为a1,公差为d,则其通项an=a1+(n-1)d. 4.等差数列{an}中,若公差d>0,则数列{an}为递增数列;若公差d<0,则数列{an}为递减数列. 一、选择题 1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为( ) A.2B.3 C.-2D.-3 答案 C 2.△ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则角B等于( ) A.30°B.60° C.90°D.120° 答案 B 3.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N*),则a101的值为( ) A.49B.50 C.51D.52 答案 D 4.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于( ) A.B. C.D. 答案C 解析 ∴a=,b=x. ∴=. 5.设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( ) A.1B.2C.4D.6 答案 B 解析 设前三项分别为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=12且a(a-d)(a+d)=48,解得a=4且d=±2,又{an}递增,∴d>0,即d=2,∴a1=2. 6.等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是( ) A.an=2n-2(n∈N*) B.an=2n+4(n∈N*) C.an=-2n+12(n∈N*) D.an=-2n+10(n∈N*) 答案 D 解析 由⇒⇒ 所以an=a1+(n-1)d,即an=8+(n-1)×(-2), 得an=-2n+10. 二、填空题 7.已知a=,b=,则a、b的等差中项是 ________________________________________________________________________. 答案 8.一个等差数列的前三项为: a,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为________. 答案 an=n+1 解析 ∵a+(3-a)=2(2a-1),∴a=. ∴这个等差数列的前三项依次为,,. ∴d=,an=+(n-1)×=+1. 9.若m≠n,两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2,则的值为________. 答案 解析 n-m=3d1,d1=(n-m). 又n-m=4d2,d2=(n-m). ∴==. 10.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是________. 答案 解析 设an=-24+(n-1)d, 由解得: 三、解答题 11.已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数. 解 设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题设得 ∴ 解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 12.已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=. (1)求证: 数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 ∵an=4-(n≥2), ∴an+1=4-(n∈N*). ∴bn+1-bn=-=-=-==. ∴bn+1-bn=,n∈N*. ∴{bn}是等差数列,首项为,公差为. (2)解 b1==,d=. ∴bn=b1+(n-1)d=+(n-1)=. ∴=,∴an=2+. 能力提升 13.一个等差数列的首项为a1=1,末项an=41(n≥3)且公差为整数,那么项数n的取值个数是( ) A.6B.7C.8D.不确定 答案 B 解析 由an=a1+(n-1)d,得41=1+(n-1)d, d=为整数,且n≥3. 则n=3,5,6,9,11,21,41共7个. 14.已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N*时,有=,设bn=, n∈N*. (1)求证: 数列{bn}为等差数列. (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项? 如果是,是第几项;如果不是,请说明理由. (1)证明 当n>1,n∈N*时,=⇔= ⇔-2=2+⇔-=4⇔bn-bn-1=4,且b1==5. ∴{bn}是等差数列,且公差为4,首项为5. (2)解 由 (1)知bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1. ∴an==,n∈N*. ∴a1=,a2=,∴a1a2=.令an==, ∴n=11. 即a1a2=a11,∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项. 1.判断一个数列{an}是否是等差数列,关键是看an+1-an是否是一个与n无关的常数. 2.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以求出通项公式,反过来,在a1、d、n、an四个量中,只要知道其中任意三个量,就可以求出另一个量. 3.三个数成等差数列可设为: a-d,a,a+d或a,a+d,a+2d;四个数成等差数列可设为: a-3d,a-d,a+d,a+3d或a,a+d,a+2d,a+3d. §2.2 等差数列 (二) 课时目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式. 2.熟练运用等差数列的常用性质. 1.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是关于n的常函数;当d≠0时,an是关于n的一次函数;点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点. 2.已知在公差为d的等差数列{an}中的第m项am和第n项an(m≠n),则=d. 3.对于任意的正整数m、n、p、q,若m+n=p+q.则在等差数列{an}中,am+an与 ap+aq之间的关系为am+an=ap+aq. 一、选择题 1.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为( ) A.4B.6 C.8D.10 答案 C 解析 由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80, ∴a6=16,∴a7-a8=(2a7-a8) =(a6+a8-a8)=a6=8. 2.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( ) A.B.± C.-D.- 答案 D 解析 由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π, ∴a7=. ∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan=-. 3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为( ) A.12B.8 C.6D.4 答案 B 解析 由等差数列性质a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32, ∴a8=8,又d≠0, ∴m=8. 4.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( ) A.14B.21 C.28D.35 答案 C 解析 ∵a3+a4+a5=3a4=12, ∴a4=4.∴a1+a2+a3+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28. 5.设公差为-2的等差数列{an},如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于( ) A.-182B.-78 C.-148D.-82 答案 D 解析 a3+a6+a9+…+a99 =(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d) =(a1+a4+…+a97)+2d×33 =50+2×(-2)×33 =-82. 6.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为( ) A.p+qB.0 C.-(p+q)D. 答案 B 解析 ∵d===-1, ∴ap+q=ap+qd=q+q×(-1)=0. 二、填空题 7.若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,则a75=________. 答案 24 解析 ∵a60=a15+45d,∴d=, ∴a75=a60+15d=20+4=24. 8.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=________. 答案 1 解析 ∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,a3=35. ∴a2+a4+a6=3a4=99. ∴a4=33,∴d=a4-a3=-2. ∴a20=a4+16d=33+16×(-2)=1. 9.已知是等差数列,且a4=6,a6=4,则a10=______. 答案 解析 -=-=2d,即d=. 所以=+4d=+=,所以a10=. 10.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则 |m-n|=________. 答案 解析 由题意设这4个根为,+d,+2d,+3d. 则+=2,∴d=,∴这4个根依次为,,,, ∴n=×=, m=×=或n=,m=, ∴|m-n|=. 三、解答题 11.等差数列{an}的公差d≠0,试比较a4a9与a6a7的大小. 解
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