高中数学第一章空间几何体12空间几何体的三视图和直.docx
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高中数学第一章空间几何体12空间几何体的三视图和直
§1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图学习目标
1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图(重点).3.能识别三视图所表示的立体模型(难点).
知识点1 投影的概念及分类
1.投影的定义
由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中,我们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面.
2.投影的分类
3.当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影都具有下述性质:
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段;
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线;
③平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;
④与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等;
⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法.(√)
(2)正投影不具有平行投影的性质.(×)
知识点2 三视图
1.三视图
2.三视图的画法要求
(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方看到的几何体的正投影.
(2)一个物体的三视图排放规则是:
俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样,侧视图放在正视图的右面,高度与正视图一样,宽度与俯视图的宽度一样.
(3)在视图中,被遮挡的轮廓线画成虚线,尺寸线用细实线标出.
(4)确定正视、侧视、俯视的方向,同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.
特别提醒 画三视图时务必做到“正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽”.
【预习评价】
1.三视图是平行投影还是中心投影所成的?
提示 平行投影
2.画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗?
提示 是.由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直
题型一 中心投影与平行投影
【例1】 下列说法中:
①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中心投影后,直线还是直线,但平行线可能变成了相交的直线;③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
解析 由平行投影和中心投影的定义可知①正确;空间图形经过中心投影后,直线可能变成直线,也可能变成一个点,如当投影中心在直线上时,投影为点;平行线有可能变成相交线,如照片中由近到远物体之间的距离越来越近,最后相交于一点,②不正确;两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线,③不正确.
答案 B
规律方法 判断几何体投影形状的方法及画投影的方法:
(1)判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断.
(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影.
【训练1】 已知△ABC,选定的投影面与△ABC所在平面平行,则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC( )
A.全等B.相似C.不相似D.以上都不对
解析 本题主要考查对中心投影的理解.根据题意画出图形,如图所示.
由图易得
=
=
=
=
=
,则△ABC∽△A′B′C′.
答案 B
互动探究
题型二 画空间几何体的三视图
【探究1】 如图是按不同方式放置的同一个圆柱,阴影面为正面,画出其三视图.
解 三视图分别如图所示.
【探究2】 螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体,如图,画出它的三视图.
解 它的三视图如图所示.
规律方法 画三视图应遵循的原则和注意事项:
(1)务必做到“长对正、高平齐,宽相等”.
(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置,且正视图在左,侧视图在右,俯视图在正视图的正下方.
(3)在三视图中,要注意实、虚线的画法.
(4)画完三视图草图后,要再对照实物图来验证其正确性.
题型三 由三视图联想实物图
【例2】 根据下列图中所给出的几何体的三视图,试画出它们的形状.
解 由三视图的特征,结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推.
图①对应的几何体是一个正六棱锥,图②对应的几何体是一个三棱柱,则所对应的空间几何体的图形分别如下:
规律方法 1.由三视图还原空间几何体的策略
(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体.若正视图和侧视图为矩形,则原几何体为柱体;若正视图和侧视图为等腰三角形,则原几何体为锥体;若正视图和侧视图为等腰梯形,则原几何体为台体.
(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形,则原几何体为多面体;若俯视图为圆,则原几何体为旋转体.
2.由三视图还原空间几何体的步骤
【训练2】 根据三视图(如图所示)想象物体原形,指出其结构特征并画出物体的实物草图.
解该几何体是由一个圆柱和一个底面为正方形的长方体组合而成,且圆柱下底面圆的直径等于长方体底面正方形的边长,其草图如图所示.
课堂达标
1.中心投影的投影线( )
A.相互平行B.交于一点
C.是异面直线D.在同一平面内
解析 由中心投影的定义知,中心投影的投影线交于一点,故选B.
答案 B
2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )
解析 从左往右看,主体的轮廓是一个长方形,长方体的对角线可以看见,且该对角线是从左下角往右上角倾斜的.
答案 D
3.若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是带圆心的圆,则这个几何体可能是________.
解析 由圆锥的三视图可知这个几何体可能是圆锥.
答案 圆锥
4.有一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示,则这个三棱柱的高和底面边长分别为________.
解析 由正三棱柱三视图中的数据,知三棱柱的高为2,底面边长为2
×
=4.
答案 2,4
5.如图,四棱锥的底面是正方形,顶点在底面上的投影是底面正方形的中心,试画出其三视图.
解 所给四棱锥的三视图如图所示:
课堂小结
1.三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线,画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正,正视图、侧视图高平齐,俯视图、侧视图宽相等,前后对应,画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.
2.画组合体的三视图的步骤
特别提醒 画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,看不见的轮廓线和棱用虚线表示.
基础过关
1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )
A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台
解析 先观察俯视图,再结合正视图和侧视图还原空间几何体.
由俯视图是圆环可排除A,B,由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C,故选D.
答案 D
2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )
A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱
解析 由三视图知识,知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正视图不可能为三角形,故选A.
答案 A
3.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( )
解析 正视图中小长方形在左上方,对应俯视图应该在左侧,排除B,D,侧视图中小长方形在右上方,排除A,故选C.
答案 C
4.下列物品:
①探照灯;②车灯;③太阳;④月亮;⑤台灯中,所形成的投影是中心投影的是________(填序号).
解析 探照灯、车灯、台灯的光线是由光源发出的光线,是中心投影;太阳、月亮距离地球很远,我们认为是平行光线,因此不是中心投影,故答案为①②⑤.
答案 ①②⑤
5.一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是________(填序号).
解析 该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等,因此填②.
答案 ②
6.根据以下三视图想象物体原形,并画出物体的实物草图.
解
(1)此几何体上面为圆柱,下面为圆台,实物草图如图①.
(2)此几何体上面为圆锥,下面为圆柱,实物草图如图②.
能力提升
7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A.3
B.2
C.2
D.2
解析 由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部,四棱锥为D-BCC1B1,最长棱为DB1=
=
=2
.故选B.
答案 B
8.如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是( )
A.①②③B.②③C.①②④D.②④
解析 因为正方体是对称的几何体,所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为:
自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影,
也就是在面ABCD、面BCC1B1、面DCC1D1上的射影.
四边形BFD1E在面ABCD和面DCC1D1上的射影相同,如图②所示;
四边形BFD1E在该正方体的对角面ABC1D1内,它在面BCC1B1上的射影显然是一条线段,如图③所示.故②③正确.
答案 B
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是上底面A1B1C1D1内一动点,则三棱锥P-ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________.
解析 依题意得三棱锥P-ABC的正视图与侧视图分别是一个三角形,且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长,底边上的高也都等于正方体的棱长,因此三棱锥P-ABC的正视图与侧视图的面积的比值为1.
答案 1
10.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于________.
解析 由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图、侧视图、俯视图的内切圆最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图中直角三角形的内切圆的半径r.
由题意,得8-r+6-r=
.解得r=2.
答案 2
11.画出下列几何体的三视图.
解 题图①为正六棱柱,可按棱柱的画法画出,其三视图如图a;题图②为一个圆锥与一个圆台的组合体,按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状,其三视图如图b.
12.(选做题)一个物体由几块相同的小正方体组成,其三视图如图所示,试据图回答下列问题:
(1)该物体有多少层?
(2)该物体的最高部分位于哪里?
(3)该物体一共由几个小正方体构成?
解
(1)该物体一共有两层,从正视图和侧视图都可以看出来.
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排.
(3)从侧视图及俯视图可以看出,该物体前后一共三排,第一排左侧2个,右侧1个;第二排左侧2个,右侧没有;第三排左侧1个,右侧1个.该物体一共由7个小正方体构成.
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- 高中数学 第一章 空间 几何体 12 视图