高考数学教学指导书.docx
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高考数学教学指导书
高考数学指导教学书
一.数学教学总则
借助约定,运用锚定和桥接等手段引领学生从对数学知识的水平理解、朴素的直觉认同到工具性理解,并逐步将学生对数学知识的理解提升至关系性理解和垂直理解的层次,然后培养学生根据自己通过关系性理解和垂直理解获得的数学思维模型解决问题,同时强化学生的数学信息感知和信息加工能力。
根据高考数学思想,选择原型,通过水平理解——工具性理解——关系性理解——垂直理解引领学生数学思维模型形成,然后进行数学课题研究。
二.高考数学指导教学书
(一)平面向量
I.教学目标:
1.形成平面向量基本思想:
(1)有向线段:
三角形法则;
(2)坐标法:
二维向量与一维向量算法相容。
(3)数量积的几何意义。
(4)坐标系的平移:
参考系。
2.掌握平面向量基本技能:
(1)平面几何问题的向量表示;
(2)向量的坐标运算。
(3)数量积。
II.教学过程:
模块一、知识梳理。
1.自学:
自学提示:
以一个具体的平面向量比如
为例,构造下列知识点的实例,并参考图例描绘思维导图(由图表、示例、知识点等组成的网络图)。
(1)共线向量的概念.
(2)向量的加法和减法.
(3)实数与向量的积,两个向量共线的充要条件.
(4)平面向量的坐标运算.
(5)平面向量的数量积及其几何意义,向量垂直的条件.
(6)线段的定比分点和中点坐标公式,坐标平移公式.
2.互帮
小组互相评价平面向量的思维导图,以实例的正确和丰富为主要标准,选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次,选取一幅作品为代表,借助辅助例题,侧重“有向线段”运算法则、几何问题向量化(基向量)、数量积的几何意义引领(比如射影)和坐标系平移中的“参考系”意识(培养学生“相对距离”的感觉)。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示:
阅读下列已知条件,并写出根据已有条件可以确定的向量或构造的图形。
2.互帮
小组分享各自的发现和答案,并汇总小组能确定的向量和图形。
3.释疑
(1)强调未知量的“维度”和相关的“秩”(等式的个数);
(2)侧重“有向线段”运算的“三角形法则”、“定比分点”。
如果已知∠A,还能确定哪些量?
(3)朝“射影”和“基向量”引领(可以求这两个向量任意线性组合的模和方向;这三道题都可以归结为“基向量”)。
模块三、研究课题。
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,先尝试将问题“向量化”、给出“向量的几何意义”、或“向量的表示”,然后尝试解答。
(1)四边形对角线互相垂直的充要条件是两种对边平方和相等。
2.互帮
小组分享各自“向量化”的形式、“几何意义”、“向量表示”的代数式以及答案,并总结心得。
3.释疑
(1)强调基向量的选择。
(2)侧重“坐标法”和“有向线段”运算的选择标准,并辅以例题强化。
(3)将距离看做向量在直线法向量方向的摄影并借此引领基于数量积的“轨迹”。
(二)集合与简易逻辑
I.教学目标:
1.形成集合与简易逻辑的基本思想:
(1)对象与整体;
(2)逻辑真;
(3)等价命题。
2.掌握集合与简易逻辑的基本技能:
(1)集合的交、并、补运算;
(2)逻辑联结词“或”、“且”、“非”的真值表;
(3)充分、必要条件的判断。
II.教学过程
模块一、知识梳理。
1.自学
自学提示:
以一个具体的集合为例,比如{1,2,3,5,8},构造下列知识点的实例,并描绘思维导图。
(1)子集、补集、交集、并集,属于、包含、相等关系.
(2)逻辑联结词"或"、"且"、"非",四种命题,充分条件、必要条件及充要条件。
2.互帮
小组互相评价集合与简易逻辑的思维导图,以实例的正确和丰富为主要标准,选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次,选取一幅作品为代表,借助辅助例题,侧重集合的“对象”和假命题的“举反例”。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示:
阅读下列已知条件,并根据已知条件确定集合的对象、命题的“逆否命题”。
(1)已知集合
,
,且
求实数a的取值范围。
是两个向量集合,则
(3)甲:
x≠1且x≠2;乙:
x+y≠3,甲是乙的____条件(充分、必要)
2.互帮
小组分享各自确定的集合对象、逆否命题以及答案。
3.释疑
(1)数轴上解集的表示以及临界点问题;
(2)集合的元素和集合这一整体所表示的意义;
(3)逆否命题在命题真假判断方面的应用。
模块三、研究课题。
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,用集合的语言描述下列问题,然后尝试解答。
(1)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为____。
(2)设含有集合A={1,2,4,8,16}中三个元素的集合A的所有子集记为B1,B2,B3,…,Bn(其中n∈N*),又将Bk(k=1,2,……,n)的元素之和记为
则
=_____
2.互帮
小组分享各自的集合描述方法,以及计算结果。
3.释疑
(1)文氏图和容斥原理;
(2)辅以实例介绍枚举法和“代表元”(等可能性)。
(三)函数
I.教学目标
1.形成函数基本思想:
(1)对应和运动;
(2)解析式决定性质,性质决定图像。
(3)函数图像的对称和解析式的满足条件。
2.掌握函数基本技能:
(1)掌握函数单调性、奇偶性判断方法;
(2)熟悉幂、指、对函数的基本性质;
(3)掌握原函数和反函数的对应关系。
II.教学过程
模块一、知识梳理。
1.自学
自学提示:
以一个具体的函数为例,比如
,构造下列知识点的实例,并描绘思维导图。
(1)函数的单调性、奇偶性。
(2)反函数.
(3)指数函数的概念、图象和性质;对数函数的图像、性质。
(4)函数的值域.
2.互帮
小组互相评价函数的思维导图,以实例的正确和丰富为主要标准,选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次,选取一幅作品为代表,借助辅助例题,侧重函数的“单调性”和“奇偶性”判断、指对数换算、反函数的图像特征。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,并尝试根据函数性质的判断方法和函数性质解决问题。
(1)
(2)已知函数
的反函数为
,则
(3)已知函数
在区间
是增函数,求实数
的取值范围。
2.互帮
小组分享各自的绘图方法、求值方法以及参数范围的求解策略。
3.释疑
(1)性质决定图像,辅以实例从坐标系平移(强调相对)和点的平移(强调函数值对应)两个角度解释函数图像平移对应解析式的变化。
(2)原函数和反函数的对应关系,拓展至抽象函数。
(3)做差比较法(二元极值),或借助一阶求导。
模块三、研究课题。
1.自学
自学提示,阅读下列问题,根据函数解析式判定定函数奇偶性、单调性、周期性,并根据函数性质做出函数“草图”,然后根据“草图”给出问题答案。
(1)已知定义在R上的奇函数
,满足
且在区间[0,2]上是增函数,试研究该函数的单调区间。
(3)若a>2,研究函数
的零点分布。
2.互帮
小组分享各函数的性质、“草图”以及答案,并交流绘制草图的依据和方法。
3.释疑
(1)借助辅助例题,侧重训练学生根据函数方程判断函数对称性、周期性的方法。
(2)学会直接利用“初等函数”的和与差对函数的单调性作出“粗略”判断。
(3)由“一阶导数”判定函数单调区间和“驻点”,从而确定函数“草图”。
(四)不等式
I.教学目标
1.形成不等式基本思想:
(1)实数有序:
正数大于0,负负得正,正负得负。
(2)图像:
x轴上方大于0。
(3)利用函数性质确定不等关系:
函数单调性、函数的值域。
2.掌握不等式基本技巧:
(1)做差比较法证明不等式;
(2)解二次不等式及可以转化为二次不等式不等式(比如“分式”不等式)。
II.教学过程
模块一、知识梳理。
1.自学
自学提示:
以一个具体的不等式为例,比如
,构造下列知识点的实例,并描绘思维导图。
(1)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
(2)比较法证明简单的不等式.
(3)不等式的解法.
(4)│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│.
2.互帮
小组互相评价不等式的思维导图,以实例的正确和丰富为主要标准,选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次,选取一幅作品为代表,借助辅助例题,侧重不等式做差比较法的证明、不等式解集和对应函数图像的关系以及绝对值不等式的几何意义。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,并尝试绘制不等式左边“函数”图像,并根据图像解不等式。
(1)关于x的不等式x2+2ax-a>0的解集是R,求a的取值范围。
(2)解不等式
(3)若不等式
的解集为非空集合,求实数
的取值范围。
2.互帮
小组分享各自绘制的函数图像、不等式的解集以及不等式的解法。
3.释疑
(1)根据解集判断函数图像特征,从而确定参数取值范围——心中有图。
(2)分式不等式的解法。
(3)既强调图像法,兼顾绝对值不等式的性质。
模块三、研究课题。
1.自学
自学提示,阅读下列问题,根据不等式构造“函数”、“平面区域”,并利用函数的值域和区域的界限解决相应问题。
2.互帮
小组分享各自构造的“函数”、“区域”,并交流构造的方法。
3.释疑
(1)教师辅以小例,强化学生“借助一阶导数,确定函数的“驻点”和单调性,从而算出函数的值域。
”的体验。
(2)构造半圆。
教师辅以圆锥曲线的图像,训练学生“区域”和不等式的对应。
(3)打破思维定势,将“二次式”看做“一次式”,这是处理二元问题的另一种思想。
(五)三角函数
I.教学目标
1.形成三角函数基本思想:
(1)终边定值;
(2)周期性;
(3)回归到同角、同名、基本三角函数。
2.掌握三角函数基本技能
(1)同角三角比的换算;
(2)两角和与差的正、余弦;
(3)五点法作图;
(4)解斜三角形。
II.教学过程
模块一、知识梳理。
1.自学
自学提示:
以sin175°求值和
为例,构造下列知识点的实例,并描绘思维导图。
(1)同角三角函数的基本关系式;
(2)最小正周期;
(3)两角和与两角差的正弦、余弦;
(4)函数y=Asin(ωx+φ)的简图;
(5)arcsinxarccosxarctanx.
(6)解斜三角形.
2.互帮
小组互相评价三角函数的思维导图,以实例的正确和丰富为主要标准,选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次,选取一幅作品为代表,借助辅助例题说明利用终边上点的坐标计算同角三角比、两角和与差的终边位置确定方法、二倍角降次方法,强调三角函数y=Asin(ωx+φ)五点法作图时的对应关系以及两种图像平移动和压缩路径,明晰解三角形和全等判定的关系以及边角互换的问题解决意识。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,首先描述在给定条件下可以确定的“角”或“图形”,并计算结果。
(4)在三角形
中,
,求三角形
的面积
。
2.互帮
小组分享各自确定的“角”、“图形”,交流确定的方法。
3.释疑
(1)根据正切值,预判断α的终边位置,尝试借助余弦、正弦确定终边位置。
(2)扩充“已知角”的概念。
(3)降次和转化为y=Asin(ωx+φ)是处理复杂三角函数问题的基本思想。
(4)先从类似于“全等”的角度判定三角形的“确定性”,然后再求值。
判定“确定性”的过程,通常为解三角形提供了“路径”。
模块三.课题研究
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,先根据已知条件绘制对应函数或方程的“草图”,然后根据图像或选择合适的参数解决问题。
(1)函数
的图象与
轴交于点
,且在该点处切线的斜率为
.
2.互帮
小组分享各自绘制的“草图”,并交流绘制的方法。
3.释疑
(1)根据已知条件点和斜率,可以确定点对应五点法作图中一个周期内的位置。
根据这个对应位置可以确定θ的值。
(2)根据图像草图和借助周期,是涉及周期函数零点、交点的基本思想。
(3)根据二次曲线的特点,选择合适的参数,有利于将二元条件极值问题转化为一元函数问题。
(六)数列
I.教学目标
1.形成数列的基本思想:
(1)数值发生器:
通项和递推;
(2)数值特征:
函数。
(3)转化:
通过换元、迭加转化为等差、等比数列。
2.掌握数列的基本技能
(1)求通项公式;
(2)求和;
(3)离散问题用“数列”表示。
II.教学过程
模块一.知识梳理。
1.自学
自学提示:
以1,3,5,7,9,…为例,构造下列知识点的实例,并描绘思维导图:
(1)数列通项公式;
(2)数列递推公式;
(3)等差数列、等比数列;
(4)数列求和。
2.互帮
小组互相评价数列的思维导图,以实例的正确和丰富为主要标准,选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次,选取一幅作品为代表,借助辅助例题说明等差数列“平均数”求和方法、等比数列“错位相加”求和方法以及数列求和的迭代法、前n项和与第n项的关系以及子数列,并强调数列本质就是“离散函数”,可以用函数的方法研究数列。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,首先根据已知条件确定数列的类型(或转化为等差、等比数列的组合),并计算结果。
2.互帮
小组分享各自发现的数列类型,并交流问题解决的方法。
3.释疑
(1)引领学生构建一段“离散”的“线段”。
(2)引领学生在“母数列”的基础上,发现“新数列”的规律。
(3)等差数列求和的“平均数”思想。
(4)引领学生将一个陌生数列尽可能转化为等差、等比的线性组合。
(5)利用前n项和求通项时,需要关注推导的流程(n≥2)
模块三、课题研究
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,尝试用“转化”的方法将原数列转化为“等差、等比”数列,运用“函数”的思想研究数列各项的取值特点,运用“迭代”或“错位相加”的思想处理“求和”问题,以及借助数列描述实际问题。
(5)一台计算机装置示意图如下图,J1,J2表示数据入口,C是计算结果的出口。
计算规则:
①当J1、J2分别输入1时,输出结果为1;
②若J1输入数值不变,J2输入数值增大1,输出结果比原来增大2;
③若J2输入1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍。
问,J1、J2分别输入自然数m和n时,输出结果是多少?
(6)有A,B两家企业生产桶装矿泉水.市场价P(元/每桶)与消费者需求量Q(万桶)间的关系:
P=30-Q/50.最初只有A一家生产,后来B发现有利可图,也加入生产的行列.两家企业按利润最大化原则调整产量时,都认为对方会在原有产量的基础上进行生产.由于生产成本较低,因此忽略生产成本.
①当只有A一家生产时,矿泉水市场价为多少?
②B刚进入时,如何确定产量?
③最终,当市场达到平衡时,市场价为多少?
2.互帮
小组分享各自“转化”、“迭代”的方法以及构造的数列。
3.释疑
(1)辅以更多的实例,说明常见的“数列”变形;
(2)强调函数求导、图像法在数列中的应用;
(3)辅以更多实例,强化错位相加减的求和方法;
(4)通过前面几个具体项,找规律,并用数学归纳法证明;
(5)多元数列的分步处理思想;
(6)用数列表示变化着的价格(或产量),辅以更多实例训练学生借助数列描述实际问题的能力。
(七)直线和圆的方程
I.教学目标
1.形成解析几何基本思想:
(1).坐标法。
(2).几何和运动的解析。
2.掌握直线和圆的基本技能:
(1)求点的轨迹方程;
(2)求解直线和圆的方程;
(3)直线和圆的方程的几何意义;
(4)求直线夹角和点到直线的距离;
(5)求解简单线性规划。
II.教学过程
模块一、知识梳理
1.自学
自学提示:
以
,构造下列知识点的实例,并描绘思维导图:
(1)直线的斜率和方向向量、法向量;
(2)两条直线所成的角和点到直线的距离公式;
(3)二元一次不等式表示平面区域;
(4)轨迹方程;
(5)圆的标准方程和一般方程、参数方程.
2.互帮
小组互相评价直线和圆的思维导图,以实例的正确和丰富为主要标准,选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次,选取一幅作品为代表,借助辅助例题说明确定一条直线的条件、坐标法求点的轨迹方程、确定圆的条件以及以坐标法为基础的关于圆的计算。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示:
尝试解决下列问题,并总结“心得”。
(1)求点A(2,3)关于直线x+y+1=0的对称点。
2.互帮
小组分享各自解决方法、交流求解“对称点”、“弦长”、“轨迹”、“规划”问题的经验。
3.释疑
(1)强调确定性,几何的角度(对称点唯一),坐标法的角度(二维变量,中点和垂直两个条件)。
(2)圆的计算,强调数形结合的“弦心距”。
(3)解释轨迹方程求解的基本方法,“坐标法”转译,引领“寻找关于二维变量的满足条件”。
(4)线性规划的基本思想,区域和“临界点”(从二元变量的角度和直线平移两个角度明晰)。
模块三、课题研究。
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,从数形结合以及“转换”的角度寻求关于动点的“满足条件”,以及根据已知条件勾勒“动直线”、“动圆”的基本特征,并尝试求解。
(1)求直线x+y+1=0与直线2x-y+2=0相交所成锐角的角平分线的直线方程。
(2)墙面和地面光滑,长一米的木条滑落(滑落过程中一端不离开墙面,另一端不离开地面),求木条0.6米处点P的滑动轨迹。
(4)若圆
与圆
的公共弦长为
,则a=________.
(5)在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动,求△ABC外心的轨迹方程。
2.互帮
小组分享各自的关于“动点”的满足条件,以及“动直线、动圆的关系”,并交流经验总结。
3.释疑
(1)确定直线的基本方法,点和方向向量;另由数形结合的方法可以发现“二次式”的两条互相垂直的角平分线。
(2)辅助更多例题,强化寻找二维变量的满足条件的重要方法:
转化(“借鸡生蛋”)。
(3)强化直线与圆相交的等价条件。
(4)过定点、交点的“曲线系”
(5)辅以更多实例,强化“解析法”求点的轨迹的方法,并注意“限制条件”。
(八)圆锥曲线
I.教学目标:
1.形成圆锥曲线的基本思想:
(1)几何的性质,焦点弦,光学性质;
(2)运动的特征,焦点和离心率,参数方程;
(3)方程的特点,二次型。
2.掌握圆锥曲线的基本技能
(1)根据几何性质、运动特征和其他条件求解标准方程。
(2)掌握用解析法研究直线与曲线的关系和描述圆锥曲线相关的动弦、动点。
II.教学过程
模块一、知识梳理
1.自学
自学提示:
以以椭圆
,
为例,构造下列知识点的实例,并描绘思维导图:
(1)焦点、轴、离心率、渐近线、准线;
(2)几何性质;
(2)弦长、切线;
2.互帮
小组互相评价圆锥曲线思维导图,以实例的正确和丰富为主要标准,选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次,选取一幅作品为代表,借助辅助例题说明确定圆锥曲线的条件、圆锥曲线的光学性质、直线与圆锥曲线相交的基本问题、曲线的参数方程。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,选择合适的方式表达“未知”的点和“直线”,然后尝试求解答案,并总结“心得”。
(4)已知双曲线的渐进线上一点P(2,1),双曲线实轴和虚轴相差2,求双曲线标准方程。
2.互帮
小组分享比较各自的“表达方式”,并讨论合理的“表达方式”。
3.释疑
(1)韦达定理以及弦中点的两个满足条件;
(2)焦点弦的几何意义,并拓展到椭圆、双曲线。
另,附上“解析法”的韦达定理;
(3)过圆锥曲线上定点的弦另一个端点的表示方法(韦达定理);
(4)双曲线渐近线的二次式;
(5)辅以更多实例,说明二次曲线的“参数选择”。
模块三、课题研究
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,并尝试运用“几何”和“解析”的方法解决,并总结心得。
(1)光源位于椭圆的一个焦点上,经椭圆镜面反射后将聚焦于另一个焦点。
2.互帮
小组分享、交流,并汇总各自的问题解决方法。
3.释疑
(1)二次曲线的光学性质;
(2)数形结合以及二次曲线“渐近线”的“近似意义”;
(3)参数方程和标准方程的转化;
(4)辅以更多实例,强化学生“动点轨迹方程”的转化(或代换)思想。
(5)曲线的切线方程,以及引领学生意识到曲线的方程隐含“点在曲线上”甚至“定点”。
(九)空间向量和立体几何
I.教学目标
1.形成空间向量和立体基本思想:
(1)点在平面内的射影;
(2)直线的方向向量、平面的法向量;
(3)利用几何的平行和垂直,确定方向向量或法向量。
2.掌握空间向量和立体几何的基本技能:
(1)判定线面平行和垂直;
(2)用空间向量表示异面直线夹角、线面夹角、线面距离、面面夹角。
II.教学过程
模块一、知识梳理
1.自学
自学提示:
以正四面体为例,构造下列知识点的实例,并描绘思维导图:
(1)斜二侧画法、截面
(2)异面直线、三垂线定理及其逆定理.
(3)空间向量的数量积、法向量.
(4)二面角。
2.互帮
小组互相评价立体几何思维导图,以实例的正确和丰富为主要标准,选出小组代表作品。
3.释疑
教师根据实例的代表性和网络的层次,选取一幅作品为代表,借助辅助例题说明线线关系、线面关系、面面关系、数量积和射影。
模块二、原型问题。
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,分别以“几何”的方法和“向量”的方法表示平面的“法向量”。
(1)作图:
平面外一点在平面内的射影。
(2)如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点,若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线BN与平面MEF所成的角。
2.互帮
小组分享各自平面法向量的“表示”,并交流各自的方法。
3.释疑
(1)三垂线定理的“原型”,并辅助例题说明该方法在线面夹角、二面角问题中的应用;
(2)运用几何的方法“寻找”平面“法向量”,然后借助空间向量“表示”;同时,介绍纯粹的“坐标法”。
教师释疑,“射影”和“空间向量”。
模块三、课题研究
1.自学
自学提示:
阅读下列问题,构造空间模型,并尝试将立体问题转化为平面问题,或者借助空间向量,转化为代数问题。
(1)BC是BA在平面P内的摄影,求证∠ABC<∠ABD。
(2)证明:
球面三角形两边之和大于第三边。
(3)给定平面法向量和平面上一点求平面方程,以及求平面外一点到平面的距离。
2.互帮
小组分享各自构造的空间模型以及平面化或向量化的方法。
3.释疑
(1)转化和表示,引导学生获得更多推论;
(2)转化和表示,球面问题平面化;
(3)空间问题向量表示,法向量和射影是空间线面关系的支柱;
(十)排列组合、二项式定理
I.教学目标
1.形成计数的基本思想:
(1)任务的过程:
分类和分步;
(2)构造“等价任务”或“母函数”。
2.掌握计数的基本技能
(1)利用排列组合计
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