八年级数学第12章全等三角形教案.docx
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八年级数学第12章全等三角形教案
第十二章全等三角形
第1课时
12.1全等三角形
教学目标:
1、知识与技能:
掌握怎样的两个图形是全等形,了解全等形,了解全等三角形的的概念及表示方法。
掌握全等三角形的性质。
初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算。
2、过程与方法:
围绕全等三角形的对应元素这一中心,通过观察、操作、想象、交流、等展开教学活动。
设计一系列问题,给出三组组合图形,让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角,进而引入本节问题的主题,强化了本课的中心问题——全等三角形的性质,经历理解性质的过程。
3、情感态度与价值观:
学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习,提供学生发现规律的空间,激发学生学习兴趣。
给学生以充分的思考时间,有利于不同层次学生的学习。
教学重点:
全等三角形的性质
教学难点:
寻找全等三角形中的对应元素
教学准备:
三角板,全等图形模型
教学教程:
一、创设情境,引入新课
引导学生观察课本第31页图12.1-1,然后提出问题:
各组图形的形状与大小有什么特?
二、新课讲解
像这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
引导学生完成课本P31——思考:
如图(p32图12.1-2),将△ABC沿直线BC平移得△DEF;将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC;将△ABC旋转180°得△AED.
ADADE
BC
BCEFDBC
(1)
(2)(3)
归纳:
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等.
在图
中,点A与点D重合.点B与点E重合.我们把这样互相重合的一对顶点叫做对应顶点;AB边与DE边重合,这样互相重合的边就叫做对应边;∠A与∠D重合,它们就是对应角.△ABC与△DEF全等,我们把它记作:
“△ABC≌△DEF”.读作“△ABC全等于△DEF”.“全等”用“≌”表示,读作“全等于”
两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如⊿ABC和⊿DEF全等时,点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点,记作⊿ABC≌⊿DEF。
把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。
思考:
如课本P32—思考图11.1-1中,⊿ABC≌⊿DEF,对应边有什么关系?
对应角呢?
归纳:
全等三角形性质:
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
三、例题讲解
例1如右图
(1),⊿ABC≌⊿DCB,指出所有的对应边和对应角。
解:
对应边有AB与DC,AC与DB,BC与CB;
对应角有∠ABC与∠DCB,∠A与∠D,∠ACB与∠DBC.
例2如右图
(2),已知⊿ABC≌⊿DEF,⊿DEF的周长为32cm,
DC=9cm,EF=12cm,求⊿ABC各边的长。
解:
∵⊿DEF的周长为32cm,DC=9cm,EF=12cm,
∴DF=32-9-12=11cm
又∵⊿ABC≌⊿DEF
∴AB=DE=9cm,BC=EF=12cm,AC=DF=11cm。
答:
⊿ABC的各边长分别为9cm,12cm,11cm。
三、课堂练习
课本第32页练习
四、课堂小结
通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质,探索了找两个全等三角形对应元素的方法,并且利用性质解决简单的问题。
找对应元素的常用方法有三种:
(一)从运动角度看
1.平移法:
沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
2.翻转法:
找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.
3.旋转法:
三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.
(二)根据位置元素来推理
1.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.
2.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
(三)根据经验来判断
1.大边对应大边,大角对应大角
2.公共边是对应边,公共角是对应角
五、作业
课本P33习题12.1-第1、2题
第2课时
12.2三角形全等的判定
(1)
教学目标:
1、知识与技能:
掌握三角形全等的“边边边”的条件;了解三角形的稳定性.
2、过程与方法:
经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神.
3、情感态度与价值观:
让学生在自主探索三角形全等的过程中,经历画图、观察、比较、推理、交流等环节,从而获得正确的学习方法和享受良好的情感体验.
教学重点:
三角形全等的条件.
教学难点:
寻求三角形全等的条件.
教学准备:
三角板、彩色粉笔、三角形纸片、圆规
教学过程:
一、创设情境、引入新课
回忆前面研究过的全等三角形.如图12.2-1图12.2-1
已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.(图中相等的边是:
AB=A′B、
BC=B′C′、AC=A′C.相等的角是:
∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′.)
这里有一个三角形纸片(出示三角形纸片),你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
根据定义,先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等.请问,是否一定需要六个条件呢?
条件能否尽可能少呢?
现在我们就来探究这个问题.
二、新课讲解
探究1:
先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C',满足上述条件中的一个或两个.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
让学生按照下面给出的条件作出三角形.
(1)三角形的两个角分别是30°、50°.
(2)三角形的两条边分别是4cm,6cm.
(3)三角形的一个角为30°,—条边为3cm.
再通过画一画,剪一剪,比一比的方式,得出结论:
只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.
探究2:
先任意画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
让学生充分交流后,在教师的引导下作出△A'B'C',并通过比较得出结论:
三边对应相等的两个三角形全等.
通过观察,我们得到一个规律:
三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
三、例题讲解
例l(课本P36-例1)如下图△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证:
△ABD≌△ACD.
证明:
∵D是BC的中点
∴BD=DC
在△ABD和△ACD中
∵
∴△ABD≌△ACD(SSS).
例2用圆规和直尺画一个角等于已知角的方法:
已知:
∠AOB.求作:
∠A/O/B/,使∠A/O/B/=∠AOB
作法:
(1)以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB与点C,D;
(2)画一条射线O,A,,以点O,为圆心,OC长为半径画弧,交O,A,于点C,;
(3)以点C,为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画D的弧相交于点D,;
(4)过点D,画射线O,B,,则∠A/O/B/=∠AOB
四、课堂练习:
五、课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件,发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
六、作业
课本P45习题12.2-第9题
第3课时
12.2三角形全等的判定
(2)
教学目标:
1、知识与技能:
理解三角形全等的“边角边”的条件.掌握三角形全等的“SAS”条件.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
2、过程与方法:
经历探究全等三角形条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学规律的过程.掌握三角形全等的“边角边”条件.在探索全等三角形条件及其运用过程中,培养有条理分析、推理,并进行简单的证明.
3、情感态度与价值观:
通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性,并使学生了解一些研究问题的经验和方法,开拓实践能力与创新精神.
教学重点:
三角形全等的判定定理.
教学难点:
寻求三角形全等的条件.
教学准备:
三角板、彩色粉笔、圆规、三角形模型
教学过程:
一、创设情境、引入新课
在上节课的讨论中,我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.给出三个条件时,有四种可能,能说出是哪四种吗?
(三内角、三条边、两边一内角、两内角一边.)
这四种情况中我们已经研究了两种,三内角对应相等不能保证两三角形一定全等;三条边对应相等的两三角形全等.今天我们接着研究第三种情况:
“两边一内角”.
二、新课讲解
问题:
如果已知一个三角形的两边及一内角,那么它有几种可能情况?
(1.两边及其夹角.2.两边及一边的对角.)
按照上节方法,我们有两个问题需要探究.
探究1:
先画一个任意△ABC,再画出一个△A/B/C/,使AB=A/B/、AC=A/C/、
∠A=∠A/(即保证两边和它们的夹角对应相等).把画好的三角形A/B/C/剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
探究2:
先画一个任意△ABC,再画出△A/B/C/,使AB=A/B/、AC=A/C/、∠B=∠B/(即保证两边和其中一边的对角对应相等).把画好的△A/B/C/剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
归纳总结:
“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等.即:
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.(简记为“边角边”或“SAS”)
三、例题讲解
例如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,使CD=CA.连结BC并延长到E,使CE=CB.连结DE,那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么?
证明:
在△ABC和△DEC中
∵
∴△ABC≌△DEC(SAS)
∴AB=DE(全等三角形的对应边相等).
四、课堂练习
1.已知:
AD∥BC,AD=CB(图3).
求证:
△ADC≌△CBA.
2.已知:
AB=AC、AD=AE、∠1=∠2(图4).求证:
△ABD≌△ACE.
五、课堂小结
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.
六、布置作业
课本P43习题12.2-第2、10题
第4课时
12.2三角形全等的判定(3)
教学目标:
1、知识与技能:
理解三角形全等的条件:
角边角.探索并掌握两个三角形全等的条件:
“ASA”,并能应用它判别两个三角形是否全等.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
2、过程与方法:
经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维.
3、情感态度与价值观:
通过画图、探究、归纳、交流,使学生获得一些研究问题的经验和方法,发展实践能力和创新精神
教学重点:
理解,掌握三角形全等的条件:
“ASA”“AAS”.
教学难点:
探究出“ASA”“AAS”以及它的应用.
教学准备:
三角板、三角形纸板、圆规
教学过程:
一、创设情境,导入新课
1、复习:
到目前为止,可以作为判别两个三角形全等的方法有几种?
各是什么?
(三种:
①定义;②SSS;③SAS.)A
2.今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
二、新课
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了,如右图,B你能制作一张与原来同样大小的新教具?
能恢复原来三角形的原貌吗?
探究4:
先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,
∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
问题:
怎样画出△A'B'C'?
先自己独立思考,动手画一画。
教师演示:
在黑板上画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,
∠B'=∠B(即:
使两角和它们的夹边对应相等).把△ABC放到△A'B'C'上,它们全等吗?
由此得出判定方法:
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)
三、例题讲解
例1(教科书第40页例3)已知:
点D在AB上,点E在AC上,BE和CD
相交于点O,AB=AC,∠B=∠C。
求证:
AD=AE
证明:
在△ACD和△ABE中,
∵
∴△ACD≌△ABE(ASA)
∴AD=AE
在两个三角形中,是不是只要有两个角对应相等,一条边对应相等,这两个三角形就全等呢?
下面,我们来看一个问题:
例2(教科书第40页例4)在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,
求证:
△ABC≌△DEF
证明:
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°
∴∠C=180°-∠B-∠C,
∠F=180°-∠D-∠E,
∵∠A=∠D,∠B=∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∵
∴△ABC≌△DEF(ASA).
由此得出:
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
四、课堂练习
教科书第41页—练习第1、2题
五、课堂小结
我们现在学了四种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:
边边边(SSS)边角边(SAS) 角边角(ASA)角角边(AAS)
六、课后作业
课本习题12.2—第4、5题
第5课时
11.2三角形全等的判定(4)
教学目标:
1、知识与技能:
直角三角形全等的条件:
“斜边、直角边”.
2、过程与方法:
经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.掌握直角三角形全等的条件:
“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
3、情感态度与价值观:
通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法.发展实践能力和创新精神
教学重点:
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点:
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学准备:
三角板、圆规、彩色粉笔
教学过程:
一、创设情境,引入新课
1、判定两个三角形全等的方法:
、、、
2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,斜边是
二、新课讲解
对于两个直角三角形,除了直角相等的条件外,还要满足几个条件,这两个直角三角形就全等了?
由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了。
如果满足斜边和一条直角边分别相等,这两个直角三角形全等吗?
探究:
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A′B′C,′,
使B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC上,它们全等吗?
画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=BC,AB=AB;
1、画∠MC′N=90°。
2、在射线C′M上取B′C′BC。
3、以B′为圆心,AB为半径画弧,交射线C′N于点A′。
连接A′B′。
画图分析,寻找规律.如下:
判定方法:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
角形是全等的.
四、例题讲解:
例1(课本P42例5)如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:
BC=AD.
证明:
∵AC⊥BC,BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABC和Rt△BAD中
∵
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)
∴BC=AD.
例2如图,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高
AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两滑梯
倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系?
解:
∠ABC+∠DFE=90°.理由如下:
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∵
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余.
五、课时小结
至此,我们有六种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义2.边边边(SSS)3.边角边(SAS)
4.角边角(ASA)5.角角边(AAS)6.HL(仅用在直角三角形中)
六、布置作业
课本P43习题11.2-第7,8题
第6课时
12.3角平分线的性质
(1)
教学目标:
1、知识与技能:
理解角平分线的画法.应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理.会用尺规作一个已知角的平分线.
2、过程与方法:
在探索角的平分线的画法和性质中培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心。
3、情感态度与价值观:
在利用尺规作图的过程中,培养学生动手操作能力与探索精神.
教学重点:
利用尺规作已知角的平分线。
。
教学难点:
角的平分线性质的应用。
教学准备:
三角板、彩色粉笔、圆规、纸
教学过程:
一、创设情境、导入新课
问题1:
三角形中有哪些重要线段.(三角形的高,三角形的中线,三角形的角的平分线.)
问题2:
你能作出这些线段吗?
如果老师手里只有直尺和圆规,你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗?
二、新课讲解:
1、探究:
右图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB.
在△CAD和△CAB中
∵
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠CAD=∠CAB.
即射线AC就是∠DAB的平分线.
通过上述探究,能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.同学们自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.
讨论结果展示:
作已知角的平分线的方法:
已知:
∠AOB.
求作:
∠AOB的平分线.
作法:
(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.
(2)分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)作射线OC,射线OC即为所求.
练一练:
任意画一角∠AOB,作它的平分线.
2、探索
按以下步骤折纸
1、在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C。
把角A对折,使得这个角的两
边重合。
2.在折痕(即平分线)上任意找一点C,
3.过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,其中,点D是折痕与OA的交点,即垂足。
4.将纸打开,新的折痕与OB边交点为E。
角平分线的性质:
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
下面用我们学过的知识证明发现:
如图,已知AO平分∠BAC,OE⊥AB,OD⊥AC。
求证:
OE=OD。
证明:
∵OE⊥AB,OD⊥AC
∴∠AEO=∠ADO=90°
在△AEO和△ADO中,
∵∠AEO=∠ADO,∠EAO=∠DAO,AO=AO
∴△AEO≌△ADO(AAS)
∴OE=OD
三、课堂小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,并探究了角平分线的性质。
四、布置作业
课本习题12.3第1、4题。
第7课时
12.3角平分线的性质
(2)
教学目标:
1、知识与技能:
理解角的平分线的性质会叙述角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.能应用这个性质解决一些简单的实际问题.
2、过程与方法:
会叙述角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.能应用这个性质解决一些简单的实际问题.探索、归纳的方法.
3、情感态度与价值观:
通过画图、文字、符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力,激发学生学习数学的兴趣.
教学重点:
角平分线的性质及其应用.
教学难点:
灵活应用性质解决问题.
教学准备:
三角板、彩色粉笔
教学过程:
一、创设情境,引入新课
上节课我们得角的平分线的性质:
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?
二、新课讲解
1、问题:
根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:
已知事项符合直角三角形全等的条件,所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项:
点P在∠AOB的平分线上.
于是,我们又可以得到一个性质:
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
2、思考:
如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:
20000)?
1.集贸市场建于何处,和本节学的角平分线性质有关吗?
用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1:
20000是什么意思?
讨论结果展示:
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上,并且要求离角的顶点500米处.
2.在纸上画图时,我们经常在厘米为单位,而题中距离又是以米为单位,这就涉及一个单位换算问题了.1m=100cm,所以比例尺为1:
20000,其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思.作图如下:
第一步:
尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步:
在射线OP上截取OC=2.5cm,确定C点,C点就是集贸市场所建地了.
三、例题讲解
例(课本第50页例题)如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证:
点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明:
过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足为D、E、F.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上.
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
四、课堂练习
1、如图,直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有_______处.()
A.一B.二C.三D.四
2、如图,一块三角形玻璃片碎成如图所示的三块碎片,现要去玻璃店配一块完全一样的玻璃片,最省事的办法是()
A.只带ⅠB.只带Ⅱ;C.只带ⅢD.只带Ⅰ、Ⅱ
第1题第2题第3题
3、如图,∠B=∠C=90°,M是BC上一点,且DM平分∠ADC,AM平分∠DAB.
求证:
AD=CD+AB.
五、课堂小结
这节课我们学了角平分线的另一个性质:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为:
∵OE⊥AB,OD⊥AC,OE=OD.
∴点O在∠AOB的平分线上.
六、布置作业
课本P51习题12.3中的第2、3题.
12.1全等三角形
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- 八年 级数 12 全等 三角形 教案
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