专题02 解三角形之判断三角形形状解析版新高考数学二轮复习提升微专题.docx
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专题02解三角形之判断三角形形状解析版新高考数学二轮复习提升微专题
解三角形之判断三角形形状
一、单选题
1.设的内角的对边分别为,且,则是()
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
先由降幂公式得,再由正弦定理得,众而得,于是有或,从而可得结论
【详解】
解:
因为,
所以,
所以由正弦定理得,,
所以,
因为
所以或,
所以或,
所以是等腰三角形或直角三角形
故选:
D
【点睛】
此题考查三角函数的降幂公式的应用,考查正弦定理的应用,属于基础题
2.在中,角的对边分别为,若,则的形状为()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式以及,可得,再利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可判断.
【详解】
由,
得,
即.
又,
则,
,
由正弦定理得,
即,
因为角在中,
所以.
故选:
B.
3.在中,若,则的形状为()
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
由已知条件,结合正弦定理得,有或,即可知正确选项.
【详解】
由知:
,即,
∴,即或,
∴或,
故选:
D
4.在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若角A,C,B成等差数列,且,则的形状为()
A.直角三角形B.等腰非等边三角形
C.等边三角形D.钝角三角形
【答案】C
【分析】
由已知利用等差数列的性质可得,由正弦定理可得,根据余弦定理可求,即可判断三角形的形状.
【详解】
解:
由题意可知,,
因为,
所以,
则,
所以,
所以,
故为等边三角形.
故选:
.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质,正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.
5.在中,角所对的边分别是,,则的形状为()
A.直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
利用降幂公式进行化简,再利用余弦定理即可得到三角形的形状.
【详解】
∵,
∴可得,可得,
∴,整理可得:
,
∴的形状为直角三角形.
故选:
A.
【点睛】
本题考查三角恒等变换、余弦定理,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
6.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论中正确的是()
A.若,则
B.若,则是等腰三角形
C.若,则是直角三角形
D.若,则是锐角三角形
【答案】C
【分析】
对选项A,利用正弦定理边化角公式即可判断A错;对选项B,首先利用正弦二倍角公式得到,从而得到是等腰三角形或直角三角形,故B错误;对选项C,利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C正确;对D,首先根据余弦定理得到为锐角,但,无法判断,故D错误.
【详解】
对选项A,,故A错;
对选项B,因为
所以或,则是等腰三角形或直角三角形.故B错误;
对选项C,因为,
所以,
即,即,
因为,所以,,是直角三角形,故C正确;
对D,因为,所以,为锐角.
但,无法判断,所以无法判断是锐角三角形,故D错误.
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,同时考查三角函数恒等变换,属于常考题型.
7.在中,角的对边分别为,且,则的形状为()
A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
根据降幂公式,先得到,化简整理,再由正弦定理,得到,推出,进而可得出结果.
【详解】
由已知可得,
即.
法一:
由余弦定理得,则,
所以,由此知为直角三角形.
法二:
由正弦定理得:
.
在中,,
从而有,
即.在中,,所以.
由此得,故为直角三角形.
故选:
B.
【点睛】
关键点点睛:
该题考查的是有关三角形形状判断的问题,在解题的过程中,可以利用勾股定理,也可以在三角形中利用三角恒等变换得到结果.
8.在中,若,则的形状一定是()
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
先利用数量积运算化简得到,再利用余弦定理化简得解.
【详解】
因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以三角形是直角三角形.
故选:
B
【点睛】
方法点睛:
判断三角形的形状,常用的方法有:
(1)边化角;
(2)角化边.在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理.
二、解答题
9.在中,内角、、的对边分别是、、.
(1)若,,,求;
(2)若,,试判断的形状.
【答案】
(1)或;
(2)等边三角形.
【分析】
(1)利用正弦定理求得的值,利用大边对大角定理结合角的取值范围可求得角的值;
(2)由正弦定理得出,代入可得出,进而可得出,由此可判断出的形状.
【详解】
(1)由正弦定理得,则,
,,因此,或;
(2)由得.
又,所以,所以.
因为,所以.所以是等边三角形.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形,同时也可考查了利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状,考查推理能力与计算能力,属于基础题.
10.已知,,若的内角,,的对边分别为,,.
(1)若,,且的面积为,求,的值.
(2)若,试判断的形状.
【答案】
(1);
(2)直角三角形或等腰三角形
【分析】
(1)根据题意,由正弦的二倍角及余弦的降幂公式,结合辅助角公式化简三角函数式,并结合即可求得.再根据面积公式可求得的值.在中应用余弦定理,代入即可求得,的值.
(2)由,代入后结合正弦的和角公式与差角公式化简,即可得.讨论与,即可判断三角形形状.
【详解】
(1)由正弦的二倍角及余弦的降幂公式,结合辅助角公式化简可得
又,
则,
又,
故,
所以
在中由余弦定理可知,
化简可得,
则可解得.
(2)由条件,
可知,
化简可得,
则或,
即或,
所以为直角三角形或等腰三角形.
【点睛】
本题考查了正余弦二倍角公式及辅助角公式的应用,三角形面积公式及余弦定理解三角形的应用,正弦的和角公式与差角公式对三角函数式进行变形化简,三角形形状的判断,综合性较强,属于中档题.
11.△ABC的内角、、的对边分别为、、,设.
(1)求;
(2)当时,求其面积的最大值,并判断此时的形状.
【答案】
(1);
(2),等边三角形.
【分析】
(1)利用角为边的思想,由余弦定理求出,再结合角的范围可求出角的值.
(2)利用余弦定理,结合基本不等式,求出的最大值,即可计算出三角形面积的最大值.
【详解】
(1),
由正弦定理可得:
,
,
由余弦定理得:
,
又,,
(2)由余弦定理和基本不等式得:
,
,当且仅当时,“=”成立,
的面积,
此时,由于,,则是等边三角形.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、三角形内角和定理、两角和与差的正弦函数公式、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题.
12.已知在中,角、、的对边分别为、、,且.
(1)若,,求的值;
(2)若,且的面积为,试判断的形状并说明理由.
【答案】
(1);
(2)为直角三角形,理由见解析.
【分析】
(1)求出的值,利用余弦定理可求得的值;
(2)利用三角恒等变换思想化简得出,可得出,再利用已知条件可求得的值,结合三角形的面积公式求出,解出、的值,利用勾股定理可判断出的形状.
【详解】
(1),,,.
;
(2),
,
即,
,
,,即.
,由正弦定理得,
,,故,从而.
又因为的面积为,所以,即,
,或,,
又因为,当,时,;当,时,.
所以为直角三角形.
【点睛】
方法点睛:
在解三角形的问题中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则如下:
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有、、的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;
(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
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