人教版九年级数学圆的专题复习.docx
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人教版九年级数学圆的专题复习
第二十四章圆的专题复习
专题一、与圆的切线有关的计算与证明
1.如图,I是△ABC的内心,∠1+∠2=65°,求∠BAC的度数.
2.(黄石中考)如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC交⊙O于D,D是BC的中点.
(1)求BC的长;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E,求证:
直线DE是⊙O的切线.
3.如图,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)作DG⊥AB交⊙O于G,垂足为F,若∠A=30°,AB=8,求弦DG的长.
分别交于A,D两点,过C作CE⊥BD于点E.
(1)求证:
CE是⊙O的切线;
(2)若∠D=30°,BD=2+23,求⊙O的半径r.
(1)如图1,当直线l与⊙O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小;
(2)如图2,当直线l与⊙O相交于点E,F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小.
6.如图,⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆,点D为BC的中点,过点D作DE∥BC,DE交AC的延长线于点E,连接AD,CD.
(1)DE与⊙O的位置关系是
(2)求△ADC的内切圆半径r.
7.(桂林中考)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,AB=4,PC,PD是⊙O的两条切线,C,D为切点.
(1)如图1,求⊙O的半径;
(2)如图1,若点E是BC的中点,连接PE,求PE的长度;
(3)
M为直角顶点,在BC的上方作∠AMN=
如图2,若点M是BC边上任意一点(不含B,C),以点90°,交直线CP于点N,求证:
AM=MN.
专题二、证明切线的两种常用方法
类型1直线与圆有交点
方法归纳:
直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需“连半径,证垂直,得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角,如直径所对的圆周角等于90°等.
【例1】如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M.求证:
DM与⊙O相切.
变式练习
1.(朝阳中考)如图,AB是⊙O的弦,OA⊥OD,AB,OD交于点C,且CD=BD.
(1)判断BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)当OA=3,OC=1时,求线段BD的长.
2.(德州中考)如图,已知⊙O的半径为1,DE是⊙O的直径,过D作⊙O的切线,C是AD的中点,AE交⊙O于B点,四边形BCOE是平行四边形.
(1)求AD的长;
(2)BC是⊙O的切线吗?
若是,给出证明,若不是,说明理由.
3.(毕节中考)如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,AC=FC.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)已知圆的半径R=5,EF=3,求DF的长.
类型2不确定直线与圆是否有公共点方法归纳:
直线与圆没有已知的公共点时,通常“作垂直,证半径,得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.求证:
AC与⊙D相切.
变式练习
4.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M,与AB,AD分别相交于点E,F.求证:
CD与⊙O相切.
5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作⊙D,AB=5,EB=3.
(1)求证:
AC是⊙D的切线;
(2)求线段AC的长.
专题三、教材P90习题第14题的变式与应用
【例3】(人教版九年级上册教材第90页第14题)如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,判断△ABC的形状,并证明你的结论.
变式练习
1.如图,延长BP至E,若∠EPA=∠CPA,判断△ABC的形状并证明你的结论.
2.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,DB=DC.求证:
AD是△ABC外角∠EAC的平分线.
3.如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60
(1)求证:
△ABC是等边三角形;
(2)求圆心O到BC的距离OD.
4.如图,△ABC内接于⊙O,P为弧AB上异于A,B两点的一动点时,当△ABC满足什么条件时,PA能否平分∠BPC的外角∠CPE.若能,请证明,若不能,请说明理由.
5.
(1)如图1,△ABC内接于⊙O,AD为∠BAC的平分线,过D作DE垂直于AB于E,AE与△ABC的两边AB,AC有怎样的关系呢?
(2)如图2,若AD为△ABC的外角∠CAG的平分线时,AE与△ABC的两边AB,AC又有怎样的关系呢?
6.如图,平面直角坐标系中,O′为y轴上一点,⊙O′交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点.直线AE交⊙O′于F点,连接FC.过C作CH垂直AF交其延长线于H.试问:
当点F在弧AC上运动时,FB-FA与FH的比值是否为定值?
并说明理由.
I,延长AI交⊙O于点D,
7.如图,△ABC的三个顶点均在⊙O上,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点连接BD,DC.
(1)求证:
BD=DC=DI;
(2)若⊙O的半径为10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积.
专题四、切线长的变式与应用
类型1“单个”切线长定理
方法归纳:
通常利用切线长相等以及圆外这点与圆心的连线平分两切线的夹角解决问题.
1.(曲靖中考)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度数;
(2)当∠1为多少度时,OP=OD,并说明理由.
类型2“两个”切线长定理方法归纳:
常常利用圆心与圆外两点构成直角三角形解决问题.
2.已知:
如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G,且AB∥CD,BO=6,CO=8,求OF的长.
类型3“三个”切线长定理
方法归纳:
如图1中,有结论△PDE的周长=2PA=2PB.
如图2中,有结论AE=AF=b+2c-a;BF=BD=a+c2-b;CD=CE=a+2b-c.
3.如图,AD,AE分别是⊙O的切线,D,E为切点,BC切⊙O于F,交AD,AE于点B,C,若AD=
8.则△ABC的周长是()
52,求AD,CE,BD的长.
5.如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别切于点D,E,F,且AC=13,AB=12,∠ABC=90°,求⊙O的半径长.
类型4“四个”切线长定理
方法归纳:
圆的外切四边形的两组对边的和相等.
6.⊙O是四边形ABCD的内切圆,切点分别为E,F,G,H.已知AD=10,BC=7,求四边形ABCD的周长.
7.如图,⊙O是四边形ABCD的内切圆,切点为E,F,G,H,已知AD∥BC,AB=CD,DO=6cm,CO=8cm.求四边形ABCD的周长.
专题五、物体滚动中的圈数或者路线长
类型1直线上的滚动
方法归纳:
滚动中物体上某点走的路径长,实际上就是弧的长度.因此找准圆心角和半径是解决问题的关键.
【例1】(黄冈中考改编)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,边CD在直线l上,将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚,当点A第一次翻滚到点A1位置时,求点A经过的路线长.
变式练习
1.(恩施中考)如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后把半圆沿直线b进行
无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合为止,则圆心O运动路径的长度等于.
2.如图所示,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC=3,∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线长为.(结果
用含π的式子表示)
5.如图,边长为2的正六边形ABCDEF在直线l上按顺时针方向作无滑动的翻滚.
(1)当正六边形绕点F顺时针旋转度时,A落在点A1位置;
(2)当点A翻滚到点A2的位置时,求点A所经过的路径长.
类型2折线上的滚动
方法归纳:
转动整数圈时,圆面上的所有点走的路程相同,通常将圆心所走的路程作为突破口解决问题.注意:
拐角处,圆心走的路程分类讨论.拐角为钝角时,圆心走的路程是线段+线段;拐角为锐角时,圆心走的路程为线段+弧线+线段.
【例2】如图,一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动滚动,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了()
A.4圈B.3圈C.5圈D.3.5圈
变式练习
6.如图,⊙P的半径为r,正方形ABCD的边长为2πr,⊙P在正方形外部沿正方形的边无滑动地滚动.如
果⊙P从点A的正上方出发,沿正方形的边无滑动地滚动,⊙P至少自转周后再次回到点A的正
上方.
7.如图,⊙P的半径为r,长方形ABCD的周长为8πr,如果⊙P从点A的正上方出发,沿长方形的边无滑动地滚动,⊙P至少自转周后再次回到点A的正上方.
8.如图,⊙P的半径为r,任意四边形ABCD的周长为8πr,如果⊙P从点A的正上方出发,沿长方形的边无滑动地滚动,⊙P至少自转周后再次回到点A的正上方.
9.(芜湖中考)一个小朋友在粗糙不滑动的“Z”字型平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘,如图所示,
AB与CD是水平的,BC与水平面的夹角为60°,其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图,并求出此路线的长度.
专题六、求阴影部分的面积
方法归纳:
求阴影部分(或不规则图形)的面积时,常用图形割补的方法(图形变换),或用几个特殊图形
的面积和或差来求.
【例1】(盐城中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=5cm
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