届山东省青岛市高三上学期期末考试理科数学试题及.docx
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届山东省青岛市高三上学期期末考试理科数学试题及
山东省青岛市2018届高三上学期期末考试
数学试题
第I卷(选择题共50分)
一、选择题:
本题共10个小题,每小题5分,共50分;在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.
1.已知集合
,则
A.
B.
C.
D.
2.若复数
是纯虚数,则实数
的值为
A.
B.
C.
D.
3.圆
和圆
的位置关系为
A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能
4.已知函数
,则函数
的大致图象为
5.下列命题:
①
是方程
表示圆的充要条件;
②把
的图象向右平移
单位,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的
,得到函数
的图象;
③函数
上为增函数;
④椭圆
的焦距为2,则实数m的值等于5.
其中正确命题的序号为
A.①③④B.②③④C.②④D.②
6.若圆台两底面周长的比是1:
4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是
A.1:
16B.39:
129
C.13:
129D.3:
27
7.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是
A.2016B.2
C.
D.
8.函数
的零点所在的大致区间是
A.
B.
C.
D.
9.有3位同学参加测试,假设每位同学能通过测试的概率都是
,且各人能否通过测试是相互独立的,则至少以后一位同学能通过测试的概率为
A.
B.
C.
D.
10.已知函数
有两个极值点
,则直线
的斜率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
第II卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.
的展开式中的常数项是_________.
12.当
时,函数
的图像恒过点A,若点A在直线
上,则
的最小值为_________.
13.两曲线
所围成的图形的面积是_________.
14.若数列
的通项公式为
试通过计算
的值,推测出
_________.
15.已知双曲线的方程为
,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率e为__________.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知直线两直线
中,内角A,B,C对边分别为
时,两直线恰好相互垂直;
(I)求A值;
(II)求b和
的面积
17.(本小题满分12分)
右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知80~90分数段的学员数为21人
(I)求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数
;
(II)现欲将90~95分数段内的
名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校,若向学校甲分配两名毕业生,且其中至少有一名男生的概率为
,求
名毕业生中男女各几人(男女人数均至少两人)?
(III)在(II)的结论下,设随机变量
表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数,求
的分布列和数学期望.
18.(本小题满分12分)
如图,ABCD为梯形,
平面ABCD,AB//CD,
,E为BC中点,连结AE,交BD于O.
(I)平面
平面PAE
(II)求二面角
的大小(若非特殊角,求出其余弦即可)
19.(本小题满分12分)
已知
是等差数列
的前n项和,数列
是等比数列,
恰为
的等比中项,圆
,直线
,对任意
,直线
都与圆C相切.
(I)求数列
的通项公式;
(II)若
时,
的前n项和为
,求证:
对任意
,都有
20.(本小题满分13分)
已知
处的切线为
(I)求
的值;
(II)若
的极值;
(III)设
,是否存在实数
(
,为自然常数)时,函数
的最小值为3.
21.(本小题满分14分)
已知抛物线
上一点
到其焦点F的距离为4;椭圆
的离心率
,且过抛物线的焦点F.
(I)求抛物线
和椭圆
的标准方程;
(II)过点F的直线
交抛物线
于A、B两不同点,交
轴于点N,已知
,求证:
为定值.
(III)直线
交椭圆
于P,Q两不同点,P,Q在x轴的射影分别为
,
,
,若点S满足:
,
证明:
点S在椭圆
上.
16.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)当
时,直线
的斜率分别为
,两直线相互垂直
所以
即
可得
所以
,所以
即
即
…………………………4分
因为
,
,所以
所以只有
所以
………………………………6分
(Ⅱ)
所以
即
所以
即
…………………………9分
所以
的面积为
……………………12分
(Ⅱ)
分数段内共
名毕业生,设其中男生
名,女生为
名
设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件
则
则
解得
或
(舍去)
即
名毕业生中有男生
人,女生
人…………………8分
(Ⅲ)
表示
名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,
所以
的取值可以为
当
时,
当
时,
当
时,
所以
的分布列为
所以随机变量
数学期望为
………………………12分
18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)连结
所以
为
中点,所以,
因为
所以
与
为全等三角形
所以
所以
与
为全等三角形
所以在
中,
即
………………3分
又因为
平面
平面
所以
……………………………4分
而
所以
平面
………………………5分
因为
平面
所以平面
平面
……………………6分
(Ⅱ)以
为原点,分别以
所在直线
为
轴,建立空间直角坐标系如图
二面角
即二面角
平面
平面
的法向量可设为
……………7分
设平面
的法向量为
所以
而
即:
可求得
………………………………10分
所以两平面
与平面
所成的角的余弦值
为
………………………………12分
设等比数列
的公比为
所以
恰为
与
的等比中项
所以
解得
………………………7分
所以
……………………8分
(Ⅱ)
时,
而
时,
………………………10分
所以
……………………………12分
说明:
本问也可用数学归纳法做.
20.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)
在
处的切线为
所以
即
又在
处
所以
所以
可得
所以
……………………………3分
(Ⅱ)
时
定义域为
极小值
可以看出,当
时,函数
有极小值
………………………………8分
(Ⅲ)因为
所以
假设存在实数
,使
有最小值
…………………9分
①当
时,
,所以
在
上单调递减,
(舍去)……………10分
②当
时,
(i)当
时,
,
在
上恒成立
所以
在
上单调递减,
(舍去)……11分
(ii)当
时,
,当
时,
所以
在
上递减
当
时
在
上递增
所以,
…………12分
所以
满足条件,综上,存在
使
时
有最小值
……………13分
所以
所以
(*)……………………5分
由
得:
得:
……………………………………7分
所以
将(*)代入上式,得
…………………9分
(Ⅲ)设
所以
则
由
得
(1)…………………………………11分
(2)
(3)
(1)+
(2)+(3)得:
即
满足椭圆
的方程
命题得证………………………………………………………14分
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