高中数学总复习集合.docx
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高中数学总复习集合
集合总复习一、本章复习建议:
解不等式是高中数学的主要工具之一,建议将“不等式”拆开,把不等式的解法安排在第一章.二、考试内容:
(1)集合、子集、补集、交集、并集.
(2)不等式的解法.含绝对值的不等式.(3)逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.三、考试要求:
(1)理解集合、子集、补集、交集、交集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
(2)掌握简单不等式的解法.(3)理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.四、知识回顾:
基本概念:
集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.集合的表示法:
列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征:
确定性、互异性、无序性.集合间的交、并、补运算.集合运算的性质;集合的分类、特性、表示法、常用数集专用符号;元素与集合、集合与集合的关系;集合的文氏图、数轴法表示的应用.交:
AB{x|xA,且xB}并:
AB{x|xA或xB}补:
CA{xU,且xA}U主要性质和运算律CAA,A,AU,AU,U包含关系:
AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.C等价关系:
ABABAABBABUU集合的运算律:
(注意结合“文氏图”)交换律:
ABBA;ABBA.结合律:
(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)
分配律:
.A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)0-1律:
A,AA,UAA,UAU等幂律:
AAA,AAA.求补律:
A∩A=φA∪A=UU=φφ=U(A)=AUUUUUU反演律:
(A∩B)=(A)∪(B)(A∪B)=(A)∩(B)UUUUUU有限集的元素个数定义:
有限集A的元素的个数叫做集合A的基数,记为card(A)规定card(φ)=0.基本公式:
(1、2、3、5了解;4要记住)
(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)
(2)card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)(3)card(A)=card(U)-card(A)U(4)设有限集合A,card(A)=n,则nn(ⅰ)A的子集个数为;(ⅱ)A的真子集个数为;221nn(ⅲ)A的非空子集个数为;(ⅳ)A的非空真子集个数为.2221(5)设有限集合A、B、C,card(A)=n,card(B)=m,m 集合里的元素是什么及集合中元素满足的条件。 集合的辨别: 注意数集与点集的区别2例1: 已知,,则.Ax|yx1By|yx1AB解析: 集合中的元素为,由易知,∴;xx0AxA{x|x0}2集合的元素是,由得,∴.x0Byy1B{y|y1}∴.AB{x|x0}{y|y1}{x|x1}评注: 虽然集合、元素的一般符号不同,但它们的本质是相同的,即都是数集,所以它们AB 之间可进行运算,集合元素的一般符号用或都可以.ABxy22例2: 已知,,则.A(x,y)|yx1By|yx1AB解析: 集合A中的元素为点(x,y),而集合B中的元素为,表示一个数.它们之间可进行不y能运算,所以φAB例3: (1)已知A={(x,y)|x+y=1,x∈R},B={(x,y)|2x-y=2,x∈R},则A∩B=______;22 (2)已知A={y|y=x-1,x∈R},B={y|y=7-x,x∈R},则A∩B=________.分析: 第 (1)题中A、B为点集,所以xy1x1(列举法): ,=AB(x,y)|(x,y)|(描述法)({1,0)}2xy2y022第 (2)题,因为A、B都表示数集,它们分别表示函数y=x-1,x∈R和y=7-x,x∈R的值域,从整体上把握,应该有A={y|y≥-1},B={y|y≤7},因此A∩B={y|-1≤y≤7}.【2】判断元素与集合、集合与集合关系题注意符号“”、“”与“”、“”各自的用法.Þ“”与“”只能用于元素与集合之间;而符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系;“”与“”是用在两个集合之间.如符号“”用在两集合间表示包含关系Þ1{1,2};3{1,2};{1}{1,2};{a}{a,b}等等.Þ例4: M={x∈R|x≤},a=3,则下列关系正确的是: Aa∈MBaMC{a}∈MD{a}M10解: a是元素,{a}与M是集合,由于3,故选(D).10判断策略: 1、具体化: 对于离散的数集或点集等具有明显特征的集合,可以将集合中的元素一一列举出来,使之具体化,然后从中寻长解题方法.k1k1例5设集合,,则()Mx|x,kZNx|x,kZ2442A.B.C.D.MNMÜNMÝNMN,解析一: (列举法)分别取1,0,1,,2k,11357113537得,.N1M,,,,,,,,,,,,,,444444244241易看出,中的元素在中都有,而中的元素如.,故选(B).MÜNNNMM2解析二: 比较集合中元素的特征: 分式通分k12k1Mx|x,kZx|x,kZ244k1k2Nx|x,kZx|x,kZ424因为k∈z即k为整数,所以2k+1为奇数,k+2为整数MÜN2、图示法: 数形结合思想可帮助我们理解集合的本质含义,如在进行有些集合的运算时,借助数轴示意图表示集合与集合的关系,既易于理解,又能提高解题效率;又如对于集合的交、并、补等运算,用Venn图描述,比单纯用数学语言要形象直观. 已知M={x|x1},N={x|xa}且MN,则()例6(A)a≤1(B)a1(C)a≥1(D)a1【3】有关集合运算题: 设全集为U,已知集合A、B则且,即求公共元素构成的集合AB{x|xA,xB}或,即两集合中的元素并在一起,相同元素只写一次AB{x|xA,xB}且.即全集中的元素去掉A中的元素。 CA{x|xU,xA}U注意: 有的集合问题比较抽象,解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象,采用数形结合思想方法,往往可使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.例7: 集≤,.UR,A{x|xB{x|x1}2} (1)求及; (2)求及.ABAB(AB)(AB)解: (1)如图,利用数轴可直观地得到结果: 。 ≤;.ABRAB{x|1x2}21x (2)≤,或;.1(AB){x|x(AB)x2}2例8: 求实数的值.ðA5,aU=2,3,a2a3,A|2a1|,2,U分析;根据补集的定义,表示了,抓住了这两层,就能准确作答.ðA55U且5AU解;由可得,ðA55U且5AU2所以a2a35,解得a2或a4当=2时,|2-1|=3符合题意.5aa当=-4时,|2-1|=9,但是值为2.59UaaC=例9已知全集U={x|x取不大于20的质数},A、B是U的两个子集,且A(B){3,5},UCCC=(A)B={7,19},(A)(B){2,17},求集合A、B.UUU解: 由于U={2,3,5,7,11,13,17,19},作出如右图所示的Venn图.集合A、B将全集U划分成了四部分.C;CCCC①A(B)②(A)B;③AB;④(A)(B)(也就是(AB)),UUUUU它们的并集为全集U.CCCC已知A(B)、(A)B、(A)(B)UUUU的元素让他们对号入座,剩下的元素组成了AB.A(CB)AB故AB={11,13},(CA)BUU11、可得A={3,5,11,13},3、5B={7,11,13,19}.7、19(CA)(CB)2、17UU评析: 元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系,一般都能通过Venn图形象表达,再加上由于题设条件比较抽象,也应借助于Venn图寻找解题思路,这样做有助于直观地分析问题、解决问题.例10全集U={x|0<x≤10,x∈N*},若A∩B={3},A∩B={1,5,7},A∩B={9},ðððUUU求A,B.分析: 本题关系较为复杂,由推理的方法较难,而用韦恩图,则显得简捷.解: 由U={1,2,3,„,9},据题意,画韦恩图,如右图,9UBA易得A={1,3,5,7},B={2,4,6,8}.24315【4】已知集合关系,求字母参数的范围687 22例11、知集合,,且M2,N0,,3a4a7,a4a2,2a2,求实数的值.MN3,7a2剖析: ,.解得,或.MN3,7a1a5a4a27当时,中的元素为0,7,3,7,这与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.a5Na5当时,,故正确结果是N0,,73,1a1a1例12: 若,求实数的取值范围.x|a2xa2,Bx|2x3aABA分析;化简集合,利用数轴作图,可形象直观地表达出所满足的条件.aA与集合B解: 由已知得Ax|a2xa2,Bx|2x3由可得,注意: A集合确定,直接数轴作图求解。 ABAAB。 。 。 。 a2a2x-23a22所以解得0a1a23评注: 1.注意端点值的舍取,一个难点和易错点,我们看到取等号时,集合是相等的,A与集合B此时满足.若把条件改为呢? 显然就取不到等号了.ABABAAB2.将转化为,以数轴直观地表达出了两集合的包含关系.ABAAB例13: 已知集合A={∣≥4,或<-5},B={∣+1≤≤+3},xxxxaxa若A∪B=A,求得取值范围.a解: 由A∪B=A得BA.注意: A集合确定,直接数轴作图求解∴+3<-5,或+1≥4,解得<-8,或≥3.aaaa分析: 当=-8时,不符合题意;当=3时,符合题意,aa评注: 在求集合中字母取值范围时,要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号,否则会导致解题结果错误.例14、设集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若BA,求实数m的取值范围.注意: BA.B集合不确定,即当m+1>2m-1时,B=Φ,所以需讨论解析: (1)当m+1>2m-1,即m<2时,B=Φ也符合BA.m2m12m1 (2)B≠Φ时BA,∴∴即3m3m3m12m32m15因此所求实数m的范围应为m<2或2≤m≤3,即m≤3.2例15: 已知A={x|x-3x+2=0},B={x|ax-2=0},并且A∪B=A,求实数a组成的集合C.BA分析: 因为A∪B=A,可据此求a的值,但要注意B=Φ的情形.解: (1)当a=0时,B=Φ符合题意;2 (2)当a≠0时,B={},而A={1,2},a22BA∵A∪B=A∴=1或=2,∴a=2或a=1.综上,C={0,1,2}.aa注意“”的特殊性.“”是不含任何元素的集合.但它在集合大家庭中的地位却不可 小视,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;1、只有唯一的一个子集(即它本身),而无真子集;2、任何一个集合与作交集运算都等于;任何一个集合A与作并集运算都等于A.遇到时,你是否注意到“极端”情况: 或;同样当时,你ABABAB是否忘记的情形? An2例16: 知集合A={m,,1},集合B={m,m+n,0},若A=B,求实数m、n的值.mn0n0m解法一: 所以由集合的互异性可知m≠1.所以m=-1,n=02m1m1解法二: 由A=B,得集合中三个数相加对应相等,三个数相乘对应相等,所以n2m1mmn0,n0,mm1.n2m1m(mn)0.m由集合的互异性可知m≠1.所以m=-1,n=0.六、基础训练一、选择题: 1.集合的子集个数是()M1,2,3,4,5A.32B.31C.16D.152xaxxa2.如果集合A={|+2+1=0}中只有一个元素,则的值是()A.0B.0或1C.1D.不能确定a11b3.设集合,,其中,则下列关系中正确的是()b0,1Mx|x23MA.B.C.D.aMaaMaMxxxxaa4.设集合A={|1<<2},B={|<}满足AB,则实数的取值范围是()A.B.C.D.2,,11,,25.满足{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是()A.8B.7C.6D.5AB6.设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则∪=()CCIIA.{0}B.{0,1}C.{0,1,4}D.{0,1,2,3,4}22aaaaa7.集合A={,+1,-1},B={2-1,|a-2|,3+4},A∩B={-1},则的值是()A.-1B.0或1C.2D.0 xyxyxyxy8.已知集合M={(,)|4+=6},P={(,)|3+2=7},则M∩P等于()A.(1,2)B.{1}∪{2}C.{1,2}D.{(1,2)}xxxxxx9.设集合A={|∈Z且-10≤≤-1},B={|∈Z且||≤5},则A∪B中元素的个数为()A.11B.10C.16D.15xxnnxxnn()10.已知全集I=N,集合A={|=2,∈N},B={|=4,∈N},则A.I=A∪BB.I=∪BC.I=A∪D.I=∪AABCBCCCIIIIk1k1()11.设集合M=,则{x|x,kZ},N{x|x,kZ}2442MNA.=B.C.D.∩MNMNNMxxyykk()12.集合A={|=2n+1,n∈Z},B={|=4±1,∈Z},则A与B的关系为A.ABB.AD.A≠BBC.A=B13.(04年全国Ⅰ理)设A、B、I均为非空集合,且满足,则下列各式中错误的是ABI(B)(A)(B)(CA)BI(CA)(CB)IIII(C)(D)A(CB)(CA)(CB)CBIIII14.(05全国卷Ⅰ)设为全集,是的三个非空子集,且,则下面SSSIS、S、SII123123论断正确的是(C)(A)(B)(SS)CS(CSCS)S23I1I2I31(D)(C)(CSCS)SCSCSCS)I1I2I3I2I3115.(05湖北卷)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q=,则P+Q中元素的个数是(B)Q{1,2,6}{ab|aP,bQ},若P{0,2,5},A.9B.8C.7D.616.设集合A和B都是坐标平面上点集{(x,y)︳x∈R,y∈R},映射f: A→B把集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y),则在映射f下,象(2,1)的原象是()3131(A)(3,1)(B)()(C)()(D)(1,3),,2222xxP17.(04年北京理)函数,其中P、M为实数集R的两个非空子集,又规定f(x)xxMf(P)={y︱y=f(x),x∈P},f(M)={y︱y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断,其中正确判断有(B)①若P∩M=则f(P)∩f(M)=②若P∩M≠则f(P)∩f(M)≠ ③若P∪M=R则f(P)∪f(M)=R④若P∪M≠R则f(P)∪f(M)≠RA1个B2个C3个D4个218.(06安徽卷)设集合,,则CABAxx22,xRBy|yx,1x2R等于()A.B.C.D.0RxxR,x0解: ,,所以,故选B。 CABC{0}A[0,2]B[4,0]RR19(06卷)若A、B、C为三个集合,,则一定有ABBC(A)(B)(C)(D)ACCAACA【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算,集合之间关系的理解。 【正确解答】因为由题意得所以选AABCBACAAB且CBC【解后反思】对集合的子、交、并、补运算,以及集合之间的关系要牢固掌握。 本题考查三个抽象集合之间的关系,可以考虑借助与文氏图。 220.(06卷I)设集合,,则Mxxx0Nxx2A.B.C.D.MNMNMMNMMNR2{x|0x1}{x|2x2}解: =,=,Mxxx0Nxx2∴,选B.MNMUABAB21.(06重庆卷)已知集合={1,2,3,4,5,6,7},={2,4,5,7},={3,4,5},则()∪()=uu(A){1,6}(B){4,5}(C){1,2,3,4,5,7}(D){1,2,3,6,7}AB解析: 已知集合,()={1,3,6},()={1,2,U1,2,3,4,5,6,7,A2,4,5,7,B3,4,5uuAB6,7},则()∪()={1,2,3,6,7},选D.uu22.(06辽宁卷)设集合,则满足的集合B的个数是A{1,2}AB{1,2,3}(A)1(B)3(C)4(D)8【解析】,,则集合B中必含有元素3,即此题可转化为求集合A{1,2}AB{1,2,3}A{1,2}2的子集个数问题,所以满足题目条件的集合B共有个。 故选择答案C。 24二、填空题: y2CUxyyxAxyA23.设集合={(,)|=3-1},={(,)|=3},则=.Ux16aa24.集合M={|∈N,且∈Z},用列举法表示集合M=________.5a25.设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则T/S的值为.2xxxxmxm26.设A={|+-6=0},B={|+1=0},且A∪B=A,则的取值范围是. 三、解答题: AxxABABB27.已知集合={|-1<<3,∩=,∪=R,求集合.}AxxBxxaABa28.已知集合={|1≤<4},={|<};若,求实数的取值集合.2xxpxqpq29.已知集合A={-3,4},B={|-2+=0},B≠φ,且BA,求实数,的值.222xxxxxaxaa30.设集合A={|+4=0},B={|+2(+1)+-1=0},A∩B=B,求实数的值.31.已知集合A=,,且,求实数的取值范x2x5Bxm1x2m1mABA围。 2222AxxaxaBxxxCxxx32.集合={|-+-19=0},={|-5+6=0},={|+2-8=0}.ABABa (1)若∩=∪,求的值;ABACa (2)若∩,∩=,求的值.222233.已知集合A=,B=,A=B,求x,y的值。 xy,xy,xyxy,xy,015222234.已知集使A=,B=,yyxx,0x3yy(aa1)ya(a1)022A∩B=φ,求实数a的取值范围.23235.已知函数y=3x+1的定义域为A=,值域为B=求3,b,c,d4,7,a3a,a5a2a20a+b+c+d.七、实战训练A一、选择题b1.(07全国1理)设,集合,则ba{1,ab,a}{0,,b}a,bRaA.1B.C.2D.121x12、(07山东文理2)已知集合,则()MNM{1,,1}Nx|24,xZ2A.B.C.D.{1,1}{0}{1,0}{1}13、(07广东理1)已知函数的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=f(x)ln(1x)1x(A)(B)(C)(D){x|x1}{x|x1}{x|1x1}4、(07广东理8)设S是至少含有两个元素的集合,在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)。 若对于任意的a,b∈S,有a*(b *a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是A.(A)(a*b)*a=a(B)[a*(b*a)]*(a*b)=a(C)b*(b*b)=b(D)(a*b)*[b*(a*b)]=b2x5、(07安徽理5)若,,则的元素BxR|logx|1}Ax228A(CB)2R个数为(A)0(B)1(C)2(D)326、(07江苏2)已知全集,,则为(A)UZACBA{1,0,1,2},B{x|xx}UA.B.C.D.{1,2}{1,0}{0,1}{1,2}7、(07福建理3)已知集合A={x|x28、(07湖南理3)设是两个集合,则“”是“”的()M,NMNMNA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件都是的含两个元素的子集,9、(07湖南文理10)设集合,,SS,S,MM{1,2,3,4,5,6}k12且满足: 对任意的,(,,都有)S{a,b}S{a,b}iji、j{1,2,3,,k}jjjiiiababjjii(表示两个数中的较小者),则的最大值是()kmin,min,min{x,y}x,ybabaiijjA.10B.11C.12D.131,2M0,,10、(07江西理6)若集合N,则中元素的个数为()N(x,y)x2y1≥0且x2y1≤0,x,yM96A.B.C.D.4211、(0
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